7第七讲误差传播定律ppt课件

数字测图原理与方法 第七讲 3 4误差传播定律 在实际工作中有许多未知量不能直接观测而求其值 需要由观测值间接计算出来 例如某未知点B的高程HB 是由起始点A的高程HA加上从A点到B点间进行了若干站水准测量而得来的观测高差h1 hn求和得出的 这时未知点B的高程H 是各独立观测值的函数 那么如何根据观测值的中误差去求观测值函数的中误差呢 阐述观测值中误差与观测值函数中误差之间关系的定律 称为误差传播定律 一 观测值的函数 1 和差函数设有函数 Z为x y的和或差的函数 x y为独立观测值 已知其中误差为mx my 求Z的中误差mZ 设x y和z的真误差分别为 x y和 z则若对x y均观测了n次 则将上式平方 得 求和 并除以n 得 由于 x y均为偶然误差 其符号为正或负的机会相同 因为 x y为独立误差 它们出现的正 负号互不相关 所以其乘积 x y也具有正负机会相同的性质 在求 x y 时其正值与负值有互相抵消的可能 当n愈大时 上式中最后一项 x y n将趋近于零 即 将满足上式的误差 x y称为互相独立的误差 简称独立误差 相应的观测值称为独立观测值 对于独立观测值来说 即使n是有限量 由于式残存的值不大 一般就忽视它的影响 根据中误差定义 得 两观测值代数和的中误差平方 等于两观测值中误差的平方之和 当z是一组观测值X1 X2 Xn代数和 差 的函数时 即 式中mxi是观测值xi的中误差 可以得出函数Z的中误差平方为 结论 n个观测值代数和 差 的中误差平方 等于n个观测值中误差平方之和 当诸观测值xi为同精度观测值时 设其中误差为m 即mx1 mx2 mxn m则为在同精度观测时 观测值代数和 差 的中误差 与观测值个数n的平方根成正比 例1 设用长为L的卷尺量距 共丈量了n个尺段 已知每尺段量距的中误差都为m 求全长S的中误差ms 解 因为全长S L L L 式中共有n个L 而L的中误差为m 结论 量距的中误差与丈量段数n的平方根成正比 例2 如以30m长的钢尺丈量90m的距离 当每尺段量距的中误差为 5mm时 全长的中误差为 当使用量距的钢尺长度相等 每尺段的量距中误差都为mL 则每公里长度的量距中误差mKm也是相等的 当对长度为S公里的距离丈量时 全长的真误差将是S个一公里丈量真误差的代数和 于是S公里的中误差为 式中 S的单位是公里 结论 在距离丈量中 距离S的量距中误差与长度S的平方根成正比 例3为了求得A B两水准点间的高差 今自A点开始进行水准测量 经n站后测完 已知每站高差的中误差均为m站 求A B两点间高差的中误差 解 因为A B两点间高差hAB等于各站的观测高差hi i l 2 n 之和 即hAB HB HA h1 h2 hn结论 水准测量高差的中误差 与测站数n的平方根成正比 2 倍数函数设有函数 Z为观测值的函数 K为常数 X为观测值 已知其中误差为mx 求Z的中误差mZ 设x和z的真误差分别为 x和 z则若对x共观测了n次 则将上式平方 得求和 并除以n 得 结论 观测值与常数乘积的中误差 等于观测值中误差乘常数 例4在1 500比例尺地形图上 量得A B两点间的距离SAB 23 4mm 其中误差msab 土0 2mm 求A B间的实地距离SAB及其中误差msAB 解 SAB 500Sab 500 23 4 11700mm 11 7m得msAB 500 mSab 500 士0 2 土100mm 0 1m最后答案为SAB 11 7m士0 1m 3 线性函救设有线性函数 则有例5设有线性函救观测量的中误差分别为 求Z的中误差 4 一般函数 式中xi i 1 2 n 为独立观测值 已知其中误差为mi i 12 n 求z的中误差 当xi具有真误差 时 函数Z相应地产生真误差 z 这些真误差都是一个小值 由数学分析可知 变量的误差与函数的误差之间的关系 可以近似地用函数的全微分来表达 式中 i l 2 n 是函数对各个变量所取的偏导数 以观测值代人所算出的数值 它们是常数 因此上式是线性函数可为 例6设有某函数z S sin 式中S 150 11m 其中误差ms 士005m 119 45 00 其中误差m 士20 6 求z的中误差mz 解 因为z S sin 所以z是S及a的一般函数 求观测值函数的精度时 可归纳为如下三步 1 按问题的要求写出函数式 2 对函数式全微分 得出函数的真误差与观测值真误差之间的关系式 式中 是用观测值代入求得的值 3 写出函数中误差与观测值中误差之间的关系式 二 一般函数的中误差 误差传播定律的应用 用DJ6经纬仪观测三角形内角时 每个内角观测4个测回取平均 可使得三角形闭合差m 15 误差传播定律的应用 例2 试用中误差传播定律分析视距测量的精度 解 1 测量水平距离的精度基本公式 求全微分 水平距离中误差 其中 误差传播定律的应用 例2 试用中误差传播定律分析视距测量的精度 解 2 测量高差的精度基本公式 求全微分 高差中误差 其中 误差传播定律的应用 例3 1 用钢尺丈量某正方形一条边长为求该正方形的周长S和面积A的中误差 解 1 周长 2 用钢尺丈量某正方形四条边的边长为其中 求该正方形的周长S和面积A的中误差 面积 周长的中误差为 全微分 面积的中误差为 全微分 2 3 5加权平均值及其精度评定一 不等精度观测及观测值的权 如果对某个未知量进行n次同精度观测 则其最或然值即为n次观测量的算术平均值 在相同条件下对某段长度进行两组丈量 第一组 第二组 算术平均值分别为 其中误差分别为 全部同精度观测值的最或然值为 令 若有不同精度观测值 其权分别为 该量的最或然值可扩充为 称之为加权算术平均值 当各观测值精度相同时 二 加权平均值中误差 定权的基本公式 c为任意正数 权等于1的中误差称为 单位权中误差 一般用m0表示 所以 权的特性 1 反映了观测值的相互精度关系 3 不在乎权本身数值的大小 而在于相互的比例关系 2 c值的大小和X值没有关系 4 若Li是同类量的观测值 此时 权无单位 若Li是不同类量的观测值 权是否