第六章-万有引力复习经典教案

万有引力与天体运动万有引力与天体运动 目标一 从日心说 地心说到万有引力定律提出的近代物理学的发展史 目标一 从日心说 地心说到万有引力定律提出的近代物理学的发展史 例 1 下列说法不符合事实的是 A 日心说和地心说都是错误的 B 英国科学家牛顿总结前人研究的基础上 发现了行星运动定律 C 卡文迪许第一次在实验室利用扭秤测出了万有引力常量 D 波兰天文学家哥白尼经多年对天体运动的观察提出了 地心说 目标二 开普勒行星运动三大定律目标二 开普勒行星运动三大定律 1 所有行星围绕太阳运动的轨道都是 太阳位于椭圆的一个 上 2 行星和太阳之间的连线 在相等的时间内扫过的相等的 3 行星绕太阳运动的 的平方和 的立方成正比 例 2 关于行星绕太阳运行的说法中正确的是 A 所有行星都在同一椭圆轨道上绕太阳运动 B 行星绕太阳运行时太阳位于行星轨道的中心处 C 离太阳越近的行星运动周期越长 D 所有行星轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等 例 3 关于开普勒行星运动的公式 以下理解正确的是 k T R 2 3 A 所有行星的轨道都是圆 R 是圆的半径 B 若地球绕太阳运转轨道的半长轴为 周期为 月球绕地球运转轨道的长半轴为 地 R 地 T 周期为 则 月 R 月 T 2 3 2 3 月 月 地 地 T R T R C T 表示行星运动的自转周期 D T 表示行星运动的公转周期 目标三 万有引力目标三 万有引力 万有引力定律宇宙间任意两个有质量的物体间都存在相互 力 其大小与两物体 的 成正比 与它们间 成反比 其数学表达式为 其中 G 叫做 G 1 内容 自然界中任何两个物体都相互吸引 引力的方向在它们的连线上 引力的大小与物体 的质量m1和m2的乘积成正比 与它们之间距离r的二次方成反比 2 公式 F G 其中G 6 67 10 11 N m2 kg2 叫引力常量 m1m2 r2 3 适用条件 公式适用于质点间的相互作用 当两物体间的距离远大于物体本身的大小时 物体可 视为质点 均匀的球体可视为质点 r是两球心间的距离 一个均匀球体与球外一个质点 的万有引力也适用 其中r为球心到质点间的距离 例 4 下列关于万有引力定律的说法中正确的是 A 一个苹果由于其质量很小 所以它受到的万有引力几乎可以忽略 B F Gm1m2 r2 中的 G 是一个比例常数 它和动摩擦因数一样是没有单位的 C 万有引力只有在天体与天体之间才能明显表现出来 D 当 r 趋近于零时 万有引力趋于无穷大 针对训练 1 2013 届佛山检测 在讨论地球潮汐成因时 地球绕太阳运行轨道与月球绕地球运 行轨道可视为圆轨道 已知太阳质量约为月球质量的 2 7 107倍 地球绕太阳运行的轨道 半径约为月球绕地球运行的轨道半径的 400 倍 关于太阳和月球对地球上相同质量海水的 引力 以下说法正确的是 A 太阳引力远大于月球引力 B 太阳引力与月球引力相差不大 C 月球对不同区域海水的吸引力大小相等 D 月球对不同区域海水的吸引力大小有差异 解析 设太阳质量为 M 月球质量为 m 海水质量为 m 太阳到地球距离为 r1 月球到地球距离为 r2 由题意 2 7 107 400 由万有引力公式 太阳对海水的引力 M m r1 r2 F1 月球对海水的引力 F2 则 故 A 选项 GMm r2 1 Gmm r2 2 F1 F2 Mr2 2 mr2 1 2 7 107 400 2 2 700 16 正确 B 选项错误 月球到地球上不同区域的海水距离不同 所以引力大小有差异 C 选项错 误 D 选项正确 答案 AD 目标四 目标四 万有引力和重力的关系万有引力和重力的关系 在纬度为 的地表处 物体所受的万有引力为 F G 而物 m1m2 r2 体随地球一起绕地轴自转所需的向心力为 cos 2R wmF 方向垂直于地轴指向地轴 这是物体所受到地球的万有引力的一个分 力充当的 而万有引力的另一个分力就是通常所说的重力 mg 两极 mg 赤道 mg 目标五 天体运动问题的处理方法目标五 天体运动问题的处理方法 一般来说有两个思路 一是环绕天体绕中心天体在较高轨道上做匀速圆周运动 所需要的向 心力由万有引力提供 即 m 2r mr man 2 2 2 r v m r Mm G 2 2 4 T 二是物体绕中心天体在中心天体表面附近作近地运动 物体受到的重力近似等于万有引力 R 为中心天体的半径 从而得出 GM g R 黄金代换 2 R Mm Gmg 2 2 圆周运动的有关公式 v r T 2 讨论 由可得 r 越大 v 越小 2 2 2 r v m r Mm G r GM v 由可得 r 越大 越小 rm r Mm G 2 2 3 r GM 由可得 r 越大 T 越大 r T m r Mm G 2 2 2 GMrT 3 2 由可得 r 越大 a向越小 向 ma r Mm G 22 r GM a 向 点评 点评 例题 2011 天津 天津 质量为 m 的探月航天器在接近 月球表面的轨道上飞行 其运动视为匀速 圆周运动 已知月球质量为 M 月球半径为 R 月球表面重力加速度为 g 引力常量为 G 不 考虑月球自转的影响 则航天器的 A 线速度 GM v R B 角速度gR C 运行周期2 R T g D 向心加速度 2 GM a R 解析 万有引力提供卫星做圆周运动的向心力 2 2 2 R MG a R GM vma R v m R Mm G 航天器在接近 月球表面的轨道上飞行 代入相关公式可 R T mRm R Mm Gmg 2 2 2 2 4 正确答案为 AC 例题 某人造地球卫星因受高空稀薄空气的阻力作用 绕地球运转的轨道会慢慢改变 每 次测量中卫星的运动可近似看作圆周运动 某次测量卫星的轨道半径为 r1 后来变为 r2 r2 r1 以 v1 v2 表示卫星在这两个轨道上的速度 T1 T2 表示卫星在这两个轨道 上绕地运动的周期 则 A v2 v1 T2 T1 B v2 v1 T2 T1 C v2 v1 T2 T1 D v2 v1 T2 T1 针对练习 1 2011 浙江 浙江 为了探测 X 星球 载着登陆舱的探测飞船在该星球中心为圆心 半径为 r1的圆轨道上运动 周期为 T1 总质量为 m1 随后登陆舱脱离飞船 变轨到离星球更 近的半径为 r2 的圆轨道上运动 此时登陆舱的质量为 m2则 A X 星球的质量为 2 1 1 2 4 GT r M B X 星球表面的重力加速度为 2 1 1 2 4 T r gX C 登陆舱在 1 r与 2 r轨道上运动是的速度大小之比为 12 21 2 1 rm rm v v D 登陆舱在半径为 2 r轨道上做圆周运动的周期为 3 1 3 2 12 r r TT 解析 根据 2 1 11 2 1 1 2M T rm r m G 2 2 22 2 2 2 2M T rm r m G 可得 2 1 1 2 4 GT r M 3 1 3 2 12 r r TT 故 A D 正确 登陆舱在半径为 1 r的圆轨道上运动的向心加速度 2 1 1 2 2 11 4 T r ra 此加速度与 X 星球表面的重力加速度并不相等 故 C 错误 根据 r v m r m 2 2 GM 得 r GM v 则 1 2 2 1 r r v v 故 C 错误 针对练习 2 湖南省 2012 年十二校联考 我国和欧盟合作正式启动伽利略卫星导航定位系统计划 这将结束美国全球卫星定位系统 GPS 统天下的局面 据悉 伽利略 卫星定位系统将由 30 颗轨道卫星组成 卫星的轨道高度为 2 4X104km 倾角为 56 分布在 3 个轨道面上 每个 轨道面部署 9 颗工作卫星和 1 颗在轨备份卫星 当某颗工作卫星出现故障时可及时顶替工作 若某颗替补卫星处在略低于工作卫星的轨道上 则这颗卫星的周期和速度与工作卫星相比较 以下说法中正确的是 A 替补卫星的周期大于工作卫星的周期 速度大于工作卫星的速度 B 替补 卫星的周期大于工作卫星的周期 速度小于工作卫星的速度 C 替补卫星的周期小于工作卫星的周期 速度大于工作卫星的速度 D 替补卫星的周期小于工作卫星的周期 速度小于工作卫星的速度 目标六 求天体的质量与密度目标六 求天体的质量与密度 质质量 量 方法一利用一个星体或者飞船绕天体作圆周运动时向心力由万有引力提供 即 m 2r mr man 2 2 2 r v m r Mm G 2 2 4 T 方法二 利用该天体表面的重力加速度 g 求出 GM g R 2 密度密度 又 得 3 3 4 RM 32 3 3 RGT r 例题 06 北京卷 北京卷 一飞船在某行星表面附近沿圆轨道绕该行星飞行 认为行星是密度均匀的 球体 要确定该行星的密度 只需要测量 A 飞船的轨道半径 B 飞船的运行速度 C 飞船的运行周期 D 行星的质量 解析 本题涉及万有引力定律的应用 主要考查灵活选用公式解决物理问题的能力 万有引 力提供向心力 则 由于飞行器在行星表面附近飞行 其运 2 2 2 4 T r m r Mm G 行半径 r 近似等于行星半径 所以满足 M 联立得 4 3 3 r 2 3 GT 即学即用 1 2013 届山东威海一中检测 如图 4 4 2 所示 是美国的 卡西尼 号探测器经过 长达 7 年的 艰苦 旅行 进入绕土星飞行的轨道 若 卡西尼 号探测器在半径为 R 的 土星上空离土星表面高 h 的圆形轨道上绕土星飞行 环绕 n 周飞行时间为 t 已知万有引力 常量为 G 则下列关于土星质量 M 和平均密度 的表达式正确的是 图 4 4 2 A M 4 2 R h 3 Gt2 3 R h 3 Gt2R3 B M 4 2 R h 2 Gt2 3 R h 2 Gt2R3 C M 4 2t2 R h 3 Gn2 3 t2 R h 3 Gn2R3 D M 4 2n2 R h 3 Gt2 3 n2 R h 3 Gt2R3 解析 设 卡西尼 号的质量为 m 卡西尼 号围绕土星的中心做匀速圆周运 动 其向心力由万有引力提供 G m R h 2 其中 T 解得 M 又 Mm R h 2 2 T t n 4 2n2 R h 3 Gt2 土星体积 V R3 所以 4 3 M V 3 n2 R h 3 Gt2R3 答案 D 例 10 多选 利用下列哪组数据 可以计算出地球的质量 已知引力常量 G A 已知地球的半径 R 和地面的重力加速度 g B 已知卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径 r 和线速度 v C 已知卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径 r 和周期 T D 已知卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度 v 和周期 T 变式 10 地球表面的平均重力加速度为 g 地球半径为 R 引力常量为 G 可以用下述 哪个式子来估算地球的平均密度 求中心天体质量的途径 依据万有引力等于向心力 可得以下四种求中心天体质量的途径 1 M 若已知卫星在某一高度的加速度 g 和环绕的半径 r gr2 G 2 M 若已知卫星绕天体做匀速圆周运动的线速度 v 和半径 r rv2 G 3 M 若已知卫星绕天体做匀速圆周运动的周期 T 和半径 r 4 2r3 GT2 4 M 若已知卫星运行的线速度 v 和周期 T v3T 2 G 例 中子星是恒星演化过程的一种可能结果 它的密度很大 现有一中子星 观测到 它的自转周期为 T s 问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星的稳定 不致因自转 1 30 而瓦解 计算时星体可视为均匀球体 引力常数 G 6 67 10 11m3 kg s2 解析 设想中子星赤道处一小块物质 只有当它受到的万有引力大于或等于它随星 体自转所需的向心力时 中子星才不会瓦解 设中子星的密度为 质量为 M 半径为 R 自转角速度为 位于赤道处的小物块质量 为 m 则有 m 2R M R3 GMm R2 2 T 4 3 由以上各式得 代入数据解得 1 27 1014kg m3 3 GT2 点评 在应用万有引力定律解题时 经常需要像本题一样先假设某处存在一个物体 再分析求解是应用万有引力定律解题惯用的一种方法 目目标标七 宇宙速度与同步七 宇宙速度与同步卫卫星星 人造卫星有三种宇宙速度 第一宇宙速度 环绕速度 是发射地球卫星的最小速度 也是 卫星围绕地球做圆周运动的最大运行速度 大小为 7 9 km s 第二宇宙速度 逃逸速度 是人 造卫星挣脱地球束缚而成为一颗太阳的人造小行星的最小发射速度 大小为 11 2 km s 第三 宇宙速度 脱离速度 是人造卫星挣脱太阳的束缚而成为一颗绕银河系中心运行的小恒星的 最小发射速度 大小为 16 7 km s 三个宇宙速度的大小都是以地球中心为参考系的 人造卫 星的理论发射速度在 7 9 km s 到 11 2 km s 之间 在此发射速度范围内 卫星绕地球作椭圆 运动 其他星球上都有各自的宇宙速度 计算方法与地球相同 例题 1 关于第一宇宙速度 下列说法正确的是 AC A 它是人造地球卫星绕地球作匀速圆周运动的最大速度 B 它是人造地球卫星在圆形轨道上的最小运行速度 C 它是能使卫星绕地球运行的最小发射速度 D 它是人造卫星绕地球作椭圆轨道运行时在近地点的速度 例题2 2011北京北京 由于通讯和广播等方面的需要 许多国家发射了地球同步轨道卫星 这些 卫星的 A A 质量可以不同 B 轨道半径可以不同 C 轨道平面可以不同 D 速率可以不同 点评 地球轨道同步卫星有四个特点 1 同步卫星位于赤道正上方 轨道平面与赤道平 面共面 2 同步卫星的轨道半径一定 距离地球表面的高度一定 约 36000 km 3 同步卫星的运行 周期和地球的自转周期相同 T 24 h 且转动方向相同 4 所有地球轨道同步卫星的半径 线速度大小 角速度大小及周期都相同 故 A 正确 2 2012 四川高考 今年 4 月 30 日 西昌卫星发射中心发射的中圆轨道卫星 其轨道 半径为 2 8 107 m 它与另一颗同质量的同步轨道卫星 轨道半径为 4 2 107 m 相比 A 向心力较小 B 动能较大 C 发射速度都是第一宇宙速度 D 角速度较小 解析 由题意知 中圆轨道卫星的轨道半径 r1小于同步卫星轨道半径 r2 卫星运行 时的向心力由万有引力提供 根据 F向 G知 两卫星的向心力 F1 F2 选项 A 错误 根 Mm r2 据 G m 2r 得环绕速度 v1 v2 角速度 1 2 两卫星质量相等 则动能 Mm r2 mv2 r Ek1 Ek2 故选项 B 正确 选项 D 错误 根据能量守恒 卫星发射得越高 发射速度越大 第一 宇宙速度是发射卫星的最小速度 因此两卫星的发射速度都大于第一宇宙速度 且 v01 v02 选项 C 错误 答案 B 例 6 在地球 看作质量均匀分布的球体 上空有许多同步卫星 下面说法中正确的是 A 它们的质量可能不同B 它们的速度可能不同 C 它们的向心加速度可能不同D 它们离地心的距离可能不同 针对练习 1 2011 广东 已知地球质量为 M 半径为 R 自转周期为 T 地球同步卫星质量 为 m 引力常量为 G 有关同步卫星 下列表述正确的是 A 卫星距离地面的高度为 2 3 2 4 GMT B 卫星的运行速度小于第一宇宙速度 C 卫星运行时受到的向心力大小为 2 Mm G R D 卫星运行的向心加速度小于地球表面的重力加速度 解析 根据 A 错 由 B 正确 2 2 2 HR T m HR Mm G HR v m HR Mm G 2 2 由 C 错 D 对 选 BDmg HR Mm G 2 针对练习 2 同步卫星离地球球心的距离为 r 运行速率为 v1 加速度大小为 a1 地球赤 道上的物体随地球自转的向心加速度大小为 a2 第一宇宙速度为 v2 地球半径为 R 则 B a1 a2 r R a1 a2 R2 r2 v1 v2 R2 r2 rRvv 21 A B C D 解析 此题涉及三个物体 一是同步卫星 对应物理量a1 v1 r 二是近地卫星 即第一宇 宙速度对应的卫星 对应物理量v2 R 三是地面上的物体 对应物理量a2 R 同步卫星和 近地卫星都只受万有引力 对同步卫星有 对近地卫星有 2 2 2 r v m r Mm G 1 1 r GM v 所以 故 正确 对同步卫星和地面上的物体 它们 2 2 2 R v m R Mm G R GM v 2 r R v v 2 1 的角速度相同 由a 2r 知 a1 a2 r R 故 正确 此题易错之处是把 a2 v2看成是同 一个物体所对的物理量 目目标标八 天体运八 天体运动动中的中的变轨问题变轨问题 天体运动的变轨问题涉及变轨过程和变轨前后天体的稳定运动 主要讨论天体在不同 轨道上运动过程中的速度 加速度 周期等相关物理的分析与比较 解题时应注意两个关键 一是变轨过程中两轨道相切点的特点 二是天体从低轨道变轨运动到高轨道时天体的机械 能增加 例题 1 10 江江苏苏卷 卷 2009 年 5 月 航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的 维修任务后 在 A 点从圆形轨道 进入椭圆轨道 B 为轨道 上的一点 如图所示 关于航天飞机的运动 下列说法中正确的有 A 在轨道 上经过 A 的速度小于经过 B 的速度 B 在轨道 上经过 A 的动能小于在轨道 上经过 A 的动能 C 在轨道 上运动的周期小于在轨道 上运动的周期 D 在轨道 上经过 A 的加速度小于在轨道 上经过 A 的加速度 解析 A 为轨道 与轨道 的相切点 距离地心的距离相等 故卫星在 A 点处所受的万 有引力大小相等 都为 由知卫星从轨道 和轨道 上通过 2 r Mm GF ma r Mm GF 2 A 点时的加速相同故 D 错误 B 为轨道 的近地点 A 为远地点 由开普勒定律知 在轨道 上经过 A 的速度小于经过 B 的速度 故 A 正确 卫星由 I 轨道变到 II 轨道要减速 所以 B 正确 由的速度小于经过 B 的速度 根据开普勒定律 所以 C 正确 c T R 2 3 12 RR 12 TT 故正确答案为 ABC 例题 2 10 天津卷 探测器绕月球做匀速圆周运动 变轨后在周期较小的轨道上仍做匀 速圆周运动 则变轨后与变轨前相比 A 轨道半径变小 B 向心加速度变小 C 线速度变小 D 角速度变小 解析 探测器变轨后在周期较小的轨道上运动 则可知探测器的轨道半径减小 A 对 根据 向 ma T r mrm r V m r mM G 2 2 2 2 2 4 得 r GM v 可知变轨后飞船的线 速度变大 C 错 由 角速度变大 D 错 由 向心加速度增大 B 3 r GM 2 r GM a 向 错 本题答案 A 针对练习 1 2011 年 11 月 日凌晨 中国自行研制的神舟八号飞船与天宫一号目标飞行 器在距地球 公里的轨道实现自动对接 为建设空间站迈出关键一步 神舟八号飞船与天 宫一号目标飞行器在同轨道上运动 若神舟八号飞船与天宫一号目标飞行器对接 为了追上 天宫一号目标飞行器 飞船可采取的办法有 B A 飞船加速直到追上空间站完成对接 B 飞船从原轨道减速至一个较低轨道 再加速追上空间站对接 C 飞船从原轨道加速至一个较低轨道 再减速追上空间站对接 D 无论飞船采取什么措施 均不能与空间站对接 来源 Z xx k Com 针对练习 2 09 年山东卷 2008 年 9 月 25 日至 28 日我国成功实施了 神舟 七号载入 航天飞行并实现了航天员首次出舱 飞船先沿椭圆轨道飞行 后在远地点 343 千米处点火加 速 由椭圆轨道变成高度为 343 千米的圆轨道 在此圆轨道上飞船运行周期约为 90 分钟 下 列判断正确的是 A 飞船变轨前后的机械能相等 B 飞船在圆轨道上时航天员出舱前后都处于失重状态 C 飞船在此圆轨道上运动的角度速度大于同步卫星运动的角速度 D 飞船变轨前通过椭圆轨道远地点时的加速度大于变轨后沿圆轨道运动 的加速度 解析 飞船点火变轨 前后的机械能不守恒 所以 A 不正确 飞船在圆轨道上时万有引 力来提供向心力 航天员出舱前后都处于失重状态 B 正确 飞船在此圆轨道上运动的周期 90 分钟小于同步卫星运动的周期 24 小时 根据 2 T 可知 飞船在此圆轨道上运动的角 度速度大于同步卫星运动的角速度 C 正确 飞船变轨前通过椭圆轨道远地点时只有万有引 力来提供加速度 变轨后沿圆轨道运动也是只有万有引力来提供加速度 所以相等 D 不正 确 答案为 BC 目目标标九 天体运九 天体运动动中的星系中的星系问题问题 天体运动中的星系问题主要有 双星 系与 多星 系 双星 系是两颗星相距较近 它们 绕着连线上的共同 中心 以相同的周期做匀速圆周运动 它们之间的万有引力提供提供做圆 周运动的向心力 分析 双星 问题时 一是要确定双星运动的中心 依据卫星做圆周运动的 轨道平面 求出轨道半径 二是求出卫星做圆周运动的向心力 同时要注意双星运动的特点 即双星的运动周期相等 向心力大小相等 多星 系有指 三星 或 四星 等几种情况 其特 点是星系中某个卫星在其他星球的引力共同作用下绕中心作圆周运动 同一系统中各天体 间的距离不变 各星受到的向心力不一定相等 但其运动周期一定相同 在星系问题中要注 意区分两个半径 即由万有引力规律求向心力时的引力半径与卫星绕中心天体做圆周运动 P A 地球 Q 轨道 1 轨道 2 的轨道半径 1 天文学上把两个相距较近 由于彼此的引力作用而沿各自的轨道互相环绕旋转的恒星系 统称为 双星 系 统 设一双星系统中的两个子星保持距离不变 共同绕着连线上的某一点 以不同的半径做匀速圆周运动 则 A 两子星的线速度的大小一定相等 B 两子星的角速度的大小一定相等 C 两子星的周期的大小一定不相等 D 两子星的向心加速度的大小一定相等 经长期观测人们在宇宙中已经发现了 双星系统 双星系统 由两颗相距较近的恒星组成 2 个恒星的 线度远小于两个星体之间的距离 而且双星系统一般远离其他天体 如图 两 颗星球组成的双星 在相 互之间的万有引力作用下 绕连线上的 O 点做周期相同的匀速 圆周运动 现测得两颗星之间的距离为 L 质量之比为 m1 m2 3 2 则可知 A m1 m2 做圆周运动的线速度之比为 3 2 B m1 m2 做圆周运动的角速度之比为 3 2 C m1 做圆周运动的半径为 2 5 L D m2 做圆周运动的半径为 2 5 L 3 我们的银河系的恒星中大约四分之一是双星 某双星由质量不等的星体 S1 和 S2构成 两星在相互之间 的万有引力作用下绕两者连线上某一定点 C 做匀速圆周运动 由于文观 察测得其运动周期为 T S1 到 C 点的距离为 r1 S1 和 S2 的距离为 r 已知引力常量为 G 由此可求出 S2 的质量为 D 5 如右图 质量分别为 m 和 M 的两个星球 A 和 B 在引力作用下都绕 O 点做匀速周运 动 星球 A 和 B 两者中心之间距离为 L 已知 A B 的中心和 O 三点始终共线 A 和 B 分别在 O 的两侧 引力常数为 G 求两星球做圆周运动的周期 例题 10 全国卷全国卷 1 如右图 质量分别为 m 和 M 的两个星球 A 和 B 在引力作用下都绕 O 点 做匀速周运动 星球 A 和 B 两者中心之间距离为 L 已知 A B 的中心和 O 三点始终共线 A 和 B 分别在 O 的两侧 引力常数为 G 1 求两星球做圆周运动的周期 2 在地月系统中 若忽略其它星球的影响 可以将月球和地球看成上述星球 A 和 B 月 球绕其轨道中心运行为的周期记为 T1 但在近似处理问题时 常常认为月球是绕地心做圆周 运动的 这样算得的运行周期 T2 已知地球和月球的质量分别为 5 98 1024kg 和 7 35 1022kg 求 T2与 T1两者平方之比 结果保留 3 位小数 解析 A 和 B 绕 O 做匀速圆周运动 它们之间的万有引力提供向心力 则 A 和 B 的 向心力相等 且 A 和 B 和 O 始终共线 说明 A 和 B 有相同的角速度和周期 因此有 连立解得 RMrm 22 LRr L Mm m R L Mm M r 对 A 根据牛顿第二定律和万有引力定律得L mM M T m L GMm 2 2 2 化简得 2 3 mMG L T 将地月看成双星 由 得 2 3 1 mMG L T 将月球看作绕地心做圆周运动 根据牛顿第二定律和万有引力定律得 L T m L GMm 2 2 2 化简得 GM L T 3 2 2 所以两种周期的平方比值为01 1 1098 5 1035 7 1098 5 24 2224 2 1 2 M Mm T T 行星 相遇 问题 3 2011 重庆高考 某行星和地球绕太阳公转的轨道均可视为圆 每过 N 年 该行星 会运行到日地连线的延长线上 如图 4 4 5 所示 该行星与地球的公转半径之比为 图 4 4 5 A B N 1 N 2 3 N N 1 2 3 C D N 1 N 3 2 N N 1 3 2 解析 根据 可知 地 星 再由 m 2r 可得 t 2N t 2 N 1 t GMm