勾股定理经典例题(含答案)(1)

精品文档 1欢迎下载 勾股定理经典例题勾股定理经典例题 类型一 勾股定理的直接用法类型一 勾股定理的直接用法 1 1 在 在 Rt ABCRt ABC 中 中 C 90 C 90 1 1 已知已知 a 6a 6 c 10c 10 求 求 b b 2 2 已知已知 a 40a 40 b 9b 9 求 求 c c 3 3 已知已知 c 25c 25 b 15b 15 求 求 a a 思路点拨思路点拨 写解的过程中 一定要先写上在哪个直角三角形中 注意勾股定理的变形使用 写解的过程中 一定要先写上在哪个直角三角形中 注意勾股定理的变形使用 举一反三举一反三 变式变式 如图如图 B B ACDACD 90 90 ADAD 13 13 CDCD 12 12 BCBC 3 3 则则 ABAB 的长是多少的长是多少 类型二 勾股定理的构造应用类型二 勾股定理的构造应用 2 2 如图 已知 在 如图 已知 在中 中 求 求 BCBC的长的长 1 1 某市在旧城改造中 计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境 已知这种草皮 某市在旧城改造中 计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境 已知这种草皮 每平方米售价每平方米售价 a a 元 则购买这种草皮至少需要 元 则购买这种草皮至少需要 A A 450a450a 元元B B 225a225a 元元C C 150a150a 元元 D D 300a300a 元元 举一反三举一反三 变式变式 1 1 如图 已知 如图 已知 于于P P 求证 求证 150 20m30m 精品文档 2欢迎下载 变式变式 2 2 已知 如图 已知 如图 B D 90 B D 90 A 60 A 60 AB 4AB 4 CD 2CD 2 求 四边形 求 四边形 ABCDABCD 的面积 的面积 类型三 勾股定理的实际应用类型三 勾股定理的实际应用 一 用勾股定理求两点之间的距离问题 一 用勾股定理求两点之间的距离问题 3 3 如图所示 在一次夏令营活动中 小明从营地 如图所示 在一次夏令营活动中 小明从营地 A A 点出发 沿北偏东点出发 沿北偏东 60 60 方向走了方向走了到达到达 B B 点 然后再沿北偏西点 然后再沿北偏西 30 30 方向走了方向走了 500m500m 到达目的地到达目的地 C C 点 点 1 1 求 求 A A C C 两点之间的距离 两点之间的距离 2 2 确定目的地 确定目的地 C C 在营地在营地 A A 的什么方向 的什么方向 举一反三举一反三 变式变式 一辆装满货物的卡车 其外形高一辆装满货物的卡车 其外形高 2 52 5 米 宽米 宽 1 61 6 米 要开进厂门形状如图的某工厂 问这辆米 要开进厂门形状如图的某工厂 问这辆 卡车能否通过该工厂的厂门卡车能否通过该工厂的厂门 精品文档 3欢迎下载 二 用勾股定理求最短问题 二 用勾股定理求最短问题 4 4 如图 一圆柱体的底面周长为 如图 一圆柱体的底面周长为 20cm20cm 高 为 高 为 4cm4cm 是上底面的直径 一只蚂蚁从点 是上底面的直径 一只蚂蚁从点 A A 出发 出发 沿着圆柱的侧面爬行到点沿着圆柱的侧面爬行到点 C C 试求出爬行的最短路程 试求出爬行的最短路程 类型四 利用勾股定理作长为类型四 利用勾股定理作长为的线段的线段 5 5 作长为 作长为 的线段 的线段 作法 如图所示作法 如图所示 举一反三举一反三 变式变式 在数轴上表示在数轴上表示的点 的点 解析 可以把解析 可以把看作是直角三角形的斜边 看作是直角三角形的斜边 为了有利于画图让其他两边的长为整数 为了有利于画图让其他两边的长为整数 而而 1010 又是又是 9 9 和和 1 1 这两个完全平方数的和 得另外两边分别是这两个完全平方数的和 得另外两边分别是 3 3 和和 1 1 作法 如图所示在数轴上找到作法 如图所示在数轴上找到 A A 点 使点 使 OA 3OA 3 作 作 AC OAAC OA 且截取且截取 AC 1AC 1 以 以 OCOC 为半径 为半径 以以 O O 为圆心做弧 弧与数轴的交点为圆心做弧 弧与数轴的交点 B B 即为即为 类型五 逆命题与勾股定理逆定理类型五 逆命题与勾股定理逆定理 6 6 写出下列原命题的逆命题并判断是否正确 写出下列原命题的逆命题并判断是否正确 1 1 原命题 猫有四只脚 原命题 猫有四只脚 正确 正确 2 2 原命题 对顶角相等 正确 原命题 对顶角相等 正确 3 3 原命题 线段垂直平分线上的点 到这条线段两端距离相等 原命题 线段垂直平分线上的点 到这条线段两端距离相等 正确 正确 4 4 原命题 角平分线上的点 到这个角的两边距离相等 原命题 角平分线上的点 到这个角的两边距离相等 正确 正确 精品文档 4欢迎下载 7 7 如果 如果 ABC ABC 的三边分别为的三边分别为 a a b b c c 且满足 且满足 a a2 2 b b2 2 c c2 2 50 6a 8b 10c 50 6a 8b 10c 判断 判断 ABC ABC 的形状 的形状 举一反三举一反三 变式变式 1 1 四边形四边形 ABCDABCD 中 中 B 90 B 90 AB 3AB 3 BC 4BC 4 CD 12CD 12 AD 13AD 13 求四边形 求四边形 ABCDABCD 的面积 的面积 变式变式 2 2 已知已知 ABCABC的三边分别为的三边分别为 m m2 2 n n2 2 2mn m 2mn m2 2 n n2 2 m n m n 为正整数为正整数 且且 m m n n 判断判断 ABC ABC 是否为直是否为直 角三角形角三角形 变式变式 3 3 如图正方形如图正方形 ABCDABCD E E 为为 BCBC 中点 中点 F F 为为 ABAB 上一点 且上一点 且 BF BF ABAB 请问请问 FEFE 与与 DEDE 是否垂直是否垂直 请说明 请说明 答案答案 答 答 DE EFDE EF 证明 设证明 设 BF aBF a 则 则 BE EC 2a BE EC 2a AF 3aAF 3a AB 4a AB 4a EFEF2 2 BF BF2 2 BE BE2 2 a a2 2 4a 4a2 2 5a 5a2 2 DEDE2 2 CE CE2 2 CD CD2 2 4a 4a2 2 16a 16a2 2 20a 20a2 2 连接连接 DFDF 如图 如图 DFDF2 2 AF AF2 2 AD AD2 2 9a 9a2 2 16a 16a2 2 25a 25a2 2 DFDF2 2 EF EF2 2 DE DE2 2 FE DEFE DE 练习练习 一 判断直角三角形问题 一 判断直角三角形问题 1 1 满足下列条件的满足下列条件的 ABCABC 不是直角三角形的是 不是直角三角形的是 A A b b2 2 c c2 2 a a2 2 B B a a b b c c 3 4 5 3 4 5 C C C C A A B B 精品文档 5欢迎下载 D D A A B B C C 12 13 15 12 13 15 2 2 若一个三角形的三边长的平方分别为 若一个三角形的三边长的平方分别为 3 32 2 4 42 2 x x2 2则此三角形是直角三角形的则此三角形是直角三角形的x x2 2的值是的值是 A 4A 42 2B 5B 52 2 C 7C 7D 5D 52 2或或 7 7 3 3 如果 如果 ABCABC的三边分别为的三边分别为m m2 2 1 1 2 2 m m m m2 2 1 1 m m 1 1 那么那么 A A ABCABC是直角三角形 且斜边长为是直角三角形 且斜边长为m m2 2 1 1 B B ABCABC是直角三角形 且斜边长是直角三角形 且斜边长 2 2 为为m m C C ABCABC是直角三角形 但斜边长需由是直角三角形 但斜边长需由m m的大小确定的大小确定 D D ABCABC不是直角三角形不是直角三角形 4 4 已知 已知 Rt ABCRt ABC 中 中 C 90 C 90 若 若 a b 14cma b 14cm c 10cmc 10cm 则 则 Rt ABCRt ABC 的面积是 的面积是 A A 24cm24cm2 2B B 36cm36cm2 2C C 48cm48cm2 2D D 60cm60cm2 2 5 5 下面几组数 下面几组数 7 8 9 12 9 15 m 7 8 9 12 9 15 m2 2 n n2 2 m m2 2 n n2 2 2mn m n2mn m n 均为正整数均为正整数 m mn n 2 a1 2 a 其中能组成直角三角形的三边长的是其中能组成直角三角形的三边长的是 A B C D A B C D 2 2 a 6 6 三角形的三边长为三角形的三边长为 则这个三角形是则这个三角形是 abcba2 22 A A 等边三角形等边三角形 B B 钝角三角形钝角三角形 C C 直角三角形直角三角形 D D 锐角三角形锐角三角形 7 7 已知 已知 则由此则由此为三边的三角形是为三边的三角形是 三角形三角形 0 10 86 2 zyxzyx 9 9 已知 已知a a b b c c为为 ABCABC三边 且满足三边 且满足a a2 2 b b2 2 c c2 2 338 10 338 10a a 24 24b b 26 26c c 试判断试判断 ABCABC的形状的形状 1010 若 若 ABCABC的三边长为的三边长为a a b b c c 根据下列条件判断 根据下列条件判断 ABCABC的形状的形状 1 1 a a2 2 b b2 2 c c2 2 200 12 200 12a a 16 16b b 20 20c c 2 2 a a3 3 a a2 2b b abab2 2 acac2 2 bcbc2 2 b b3 3 0 0 1111 已知 已知 ABC ABC 中 中 AB 17cmAB 17cm BC 16cmBC 16cm BCBC 边上的中线边上的中线 AD 15cmAD 15cm 试说明 试说明 ABC ABC 是等腰三角形 是等腰三角形 经典例题精析经典例题精析 类型一 勾股定理及其逆定理的基本用法类型一 勾股定理及其逆定理的基本用法 1 1 若直角三角形两直角边的比是 若直角三角形两直角边的比是 3 3 4 4 斜边长是 斜边长是 2020 求此直角三角形的面积 求此直角三角形的面积 精品文档 6欢迎下载 举一反三举一反三 变式变式 1 1 等边三角形的边长为等边三角形的边长为 2 2 求它的面积 求它的面积 注 等边三角形面积公式 若等边三角形边长为注 等边三角形面积公式 若等边三角形边长为 a a 则其面积为 则其面积为a a 变式变式 2 2 直角三角形周长为直角三角形周长为 12cm12cm 斜边长为 斜边长为 5cm5cm 求直角三角形的面积 求直角三角形的面积 变式变式 3 3 若直角三角形的三边长分别是若直角三角形的三边长分别是 n 1n 1 n 2n 2 n 3n 3 求 求 n n 总结升华 注意直角三角形中两总结升华 注意直角三角形中两 直角边直角边 的平方和等于的平方和等于 斜边斜边 的平方 在题目没有给出哪条是直的平方 在题目没有给出哪条是直 角边哪条是斜边的情况下 首先要先确定斜边 直角边 角边哪条是斜边的情况下 首先要先确定斜边 直角边 变式变式 4 4 以下列各组数为边长 能组成直角三角形的是 以下列各组数为边长 能组成直角三角形的是 A A 8 8 1515 1717 B B 4 4 5 5 6 6 C C 5 5 8 8 1010 D D 8 8 3939 4040 类型二 勾股定理的应用类型二 勾股定理的应用 2 2 如图 公路 如图 公路 MNMN 和公路和公路 PQPQ 在点在点 P P 处交汇 且处交汇 且 QPN QPN 30 30 点 点 A A 处有一所中学 处有一所中学 APAP 160m160m 假设拖 假设拖 拉机行驶时 周围拉机行驶时 周围 100m100m 以内会受到噪音的影响 那么拖拉机在公路以内会受到噪音的影响 那么拖拉机在公路 MNMN 上沿上沿 PNPN 方向行驶时 学校是否方向行驶时 学校是否 会受到噪声影响 请说明理由 如果受影响 已知拖拉机的速度为会受到噪声影响 请说明理由 如果受影响 已知拖拉机的速度为 18km h18km h 那么学校受影响的时间为 那么学校受影响的时间为 多少秒 多少秒 精品文档 7欢迎下载 总结升华总结升华 勾股定理是求线段的长度的很重要的方法勾股定理是求线段的长度的很重要的方法 若图形缺少直角条件若图形缺少直角条件 则可以通过作辅助垂线的则可以通过作辅助垂线的 方法方法 构造直角三角形以便利用勾股定理 构造直角三角形以便利用勾股定理 举一反三举一反三 变式变式 1 1 如图学校有一块长方形花园 有极少数人为了避开拐角而走如图学校有一块长方形花园 有极少数人为了避开拐角而走 捷径捷径 在花园内 在花园内 走出了一条走出了一条 路路 他们仅仅少走了 他们仅仅少走了 步路 假设步路 假设 2 2 步为步为 1m1m 却踩伤了花草 却踩伤了花草 答案答案 4 4 变式变式 2 2 如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格 它的每一个小三角形都是边长为如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格 它的每一个小三角形都是边长为 1 1 的正三角的正三角 形 这样的三角形称为单位正三角形 形 这样的三角形称为单位正三角形 1 1 直接写出单位正三角形的高与面积 直接写出单位正三角形的高与面积 2 2 图中的平行四边形 图中的平行四边形 ABCDABCD 含有多少个单位正三角形 平行四边形含有多少个单位正三角形 平行四边形 ABCDABCD 的面积是多少 的面积是多少 3 3 求出图中线段 求出图中线段 ACAC 的长 可作辅助线 的长 可作辅助线 类型三 数学思想方法类型三 数学思想方法 方程的思想方法方程的思想方法 4 4 如图所示 已知 如图所示 已知 ABC ABC 中 中 C 90 C 90 A 60 A 60 求 求 的值 的值 思路点拨 由思路点拨 由 再找出 再找出 的关系即可求出的关系即可求出和和的值 的值 解 在解 在 Rt ABCRt ABC 中 中 A 60 A 60 B 90 A 30 B 90 A 30 则则 由勾股定理 得 由勾股定理 得 因为因为 所以 所以 总结升华 在直角三角形中 总结升华 在直角三角形中 30 30 的锐角的所对的直角边是斜边的一半 的锐角的所对的直角边是斜边的一半 举一反三 举一反三 变式变式 如图所示 折叠矩形的一边如图所示 折叠矩形的一边 ADAD 使点 使点 D D 落在落在 BCBC 边的点边的点 F F 处 已知处 已知 AB 8cmAB 8cm BC 10cmBC 10cm 求 求 EFEF 的长 的长 解 因为解 因为 ADE ADE 与与 AFE AFE 关于关于 AEAE 对称 所以对称 所以 AD AFAD AF DE EFDE EF 因为四边形因为四边形 ABCDABCD 是矩形 所以是矩形 所以 B C 90 B C 90 在在 Rt ABFRt ABF 中 中 AF AD BC 10cmAF AD BC 10cm AB 8cmAB 8c