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湘一2010秋季小六数学培训资料 第一讲 分数的简便运算 重点提示：在整数计算时，正确、熟练地运用结合律、交换律、分配率，能简化计算，那么，对分数计算来说，也是如此 例题讲解： 例1 计算：1/2 1/3 + 1/4 - 1/5 + 1/6 - 1/12计算：1/3 +1/4 1/5+1/6 -1/10 +1/20 =（1/2-1/5）+（1/4+1/6-1/3-1/12）=（1/3+1/6）+（1/4-1/5-1/10+1/20） = 3/10+0 =1/2+0 =3/10=1/2 例2 计算： 3427(3)x 9(7) 计算：2563(2)x 16(3) =(342+3/7)x7/9=(256+2/3)x3/16 =342x7/9+3/7x7/9=256x3/16+2/3x3/16 =266+1/3=2663(1)=48+1/8=488(1) 例3 计算：123789(456) 2计算：6729(18) 2 =(124 -789(333)2 =(68-11/29) 2 =61526(415) =3358(47) 例4 计算：(67(6)- 313(9)(37(3)- 211(2)213(7) 计算：333112(111) 37 x 81(56) =（48/7-48/13）（24/7-24/11）x33/7 =（333+111/112）x1/37x56/81 = 48（1/7-1/13） 24（1/7-1/11）x33/7=333x1/37x56/81+111/112x1/37x56/81 =1 =56/9+1/54=654(13) 例5 计算：如果12+5(2)x 0.75 +(2(1)+) x 3 0.3=98,那么，方框代表的数是？ = (98-12)x0.3 - 2/5x0.75 3 -1/2=8 例6 计算：1993+1992x1994(1993x1994-1)计算：362x548-186(362+548x361) 第一种解法：设1994=a，有分子化为（a-1）xa 1 ,分母化为a-1+（a-2）xa 分子去括号为 axa-a-1 ，分母去括号为 a-1+axa-2a=axa-a-1 显然，分子=分母，所以原式=1 第二种解法：原式= 1993+1992x1994(1992x1994+1994-1)=1993+1992x1994(1992x1994+1993)=1 362x548-186(362+548x362-548)=362x548-186(548x362-186)=1 例7 计算：（1+1/2+1/3+1/4）x（1/2+1/3+1/4+1/5）- （1+1/2+1/3+1/4+1/5）x（1/2+1/3+1/4） 解：设1+1/2+1/3+1/4=A,1/2+1/3+1/4=B,就有A-B=1,原式可以简化为： Ax（B+1/5）- (A+1/5)XB 分配率，去括号 AXB+AX1/5-AXB-BX1/5 =(A-B)X1/5 因为A-B=1，所以原式=1x1/5=1/5 计算：（1+1/2001+1/2002+1/2003）x（1/2001+1/2002+1/2003+1/2004）-（1+1/2001+1/2002+1/2003+1/2004）x（1/2001+1/2002+1/2003） 解：设1+1/2001+1/2002+1/2003=A,1/2001+1/2002+1/2003=B,则有A-B=1, 原式等于=1/2004（解法类似上一题） 课后作业： 17(3)x (313(1)111(9) x 0.7 x 285(3) =7(10)x (13(40)- 11(20) x 10(7)x 5(143) = =36 (2890+5/6+7/8+7/10) (5/6+7/8+7/10) =2890(5/6+7/8+7/10)+ (5/6+7/8+7/10) (5/6+7/8+7/10) =1200+1=1201 7.8 23(2)x (18(5)+)1.1 15(2)3(2)=15(4),求方框中填的数。 逆推法，类似于例5. 第二讲 分数大小的比较 重点提示： 基本性质 （1）若ab,则bb,bc,则ac; （3）若ab,cd,则a+cb+d （4）若ab0, 则a(1) b(1) 基本方法 （1） 如果两个分数分母相同，分子大的分数较大 （2） 如果两个分数分子相同，分母小的分数较大 （3） 假分数大于真分数 例题讲解： 例一： 将下列分数用“”连接起来 9(5) ,13(9),25(21),103(99),19(15),71(67) 比较分数 34331281(34331279)与 51496822(51496819)的大小 例三： 比较下面两分数的大小 666(555) ,6666(5555) 比较125(71)与 50(23)的大小 例四： 下列5个数中那个最小？ A （-1）/ ， B （-2）/ ， C （-2）/（+1）， D （-3）/（+2）， E （-4）/（+1） 比较下列三个分数的大小： 221(37),221(27),211(37) 例五： 比较下列三个分数的大小： 5554(4443),6668(5557),7779(6668) 比较7777777(7777775)与6666663(6666661)的大小 课后练习： 有6个数，0.42 ，0.424 ，7(3) ，26(11)，61(26)是其中的五个，已知从大到小排列的第三个数是26(11)，那么从大到小排列的第三个数是？ 比较分数a=22222764(1111401)与b=22222724(1111361)的大小 在3(1)和5(1)之间，分母是30的最简分数有几个？ 如果29(12) ?(70)，那么，？中应填什么整数？（使得?(70)的值为最小）第三讲 分数的拆项求和 在各类数学竞赛试题中，有一类数目庞大，项数繁多的分数（式）求和题，让人望而生畏，但只要仔细分析就会发现每一个项都可以拆成两个项，这一拆项可使正负两项抵消，便可使题目轻易得解。 把一个分数拆成两个分数之差，给求和带来相互抵消的方便，如果分子是1，分母是一个整数，它能分解成两个连续自然数的乘积，那么就可以进行如下的拆分： 6(1)=2 x 3(1)= 2(1) 3(1), 12(1)=3x4(1)=3(1) 4(1) ， 例题讲解： 例一: 计算： 1985x1986(1) + 1986x1987(1) + 1987x1988(1) + 2007x2008(1) + 2008x2009(1) 2009(1) 计算：1x2(1)+ 2x3(1)+3x4(1)+4x5(1)+2007x2008(1)+2008x2009(1) 例二： 计算：42(1)+56(1)+72(1)+90(1)+110(1) 计算：12(1)+20(1)+30(1)+42(1)+56(1)+72(1) 例三： 计算：10x12(1)+12x14(1)+14x16(1)+16x18(1) 计算：3x5(1)+5x7(1)+7x9(1)+9x11(1)+11x13(1) 例四： 计算：1(1)+1+2(1)+1+2+3(1)+1+2+3+4(1)+1+2+3+100(1) 计算：1+2+3(1)+1+2+3+4(1)+1+2+3+100(1)+1+2+3+4+100+101(1) 例五： 计算：1x2x3(1)+2x3x4(1)+3x4x5(1)+98x99x100(1) 计算：2x3x4(1)+3x4x5(1)+97x98x99(1) 课后练习： 计算：12(1)+20(1)+30(1)+42(1)+56(1) 计算：1x4(1)+4x7(1)+7x10(1)+10x13(1)+13x16(1) 110(1)+340(1)+588(1)+7154(1)+9238(1)+11340(1) 1x3(1)+2x4(1)+3x5(1)+4x6(1)+5x7(1)+97x99(1)+98x100(1)第四讲 估算 重点提示：估算是运用各种运算技巧所进行的快速近似计算，许多数学问题可以通过估算界定范围，然后把满足条件的一一列举出来，常采用的方法有直接取近似值和通过放大与缩小的方法确定范围，然后枚举等等 例题讲解： 例一：有13个自然数，他们平均值精确到十分位是26.9，那么，精确到百分位是多少？ 老师在黑板上写了13个自然数，让小明计算平均数（保留两位小数），小明计算的答案是12.43，老师说最后一位数字错了，其他数字都对，请问正确答案应该是什么？ 解：26.85x13a1+a2+a3+a1326.94x13 349.05a1+a2+a3+a13 350.22 a1+a2+a13约等于350 平均数=35013约等于26.92 12.40x13 a1+a2+a3+a1312.49x13 161.2 a1+a2+a3+a13162.39 a1+a2+a13约等于162 平均数=16213约等于12.4615，精确到百分位应该是12.46 例二：求下式的整数部分： 求下式 0.22x8.03 +0.23x8.02 +0.24x8.01的整数部分 解：1.22x8.031.23x8.021.24x8.011.25x8x3 3x1.22x8.031.22x8.03+1.23x8.02+1.24x8.01 3 x 1.25x8 3x9.79661.22x8.03+1.23x8.02+1.24x8.0130 293x9.79661.22x8.03+1.23x8.02+1.24x8.0130 所以原式的整数部分应该为29 0.22x8.030.23x8.02 0.24x8.01 0.25x8.00 0.22x8.03 x30.22x8.03 +0.23x8.02 +0.24x8.010.25x8.00 x3 50.22x8.03 x30.22x8.03 +0.23x8.02 +0.24x8.01 70(1)+71(1)+72(1)+73(1)+74(1) 5x75(1) 14(1) 70(1)+71(1)+72(1)+73(1)+74(1) 15(1) 14 1/（70(1)+71(1)+72(1)+73(1)+74(1)） 2000(1)+2001(1)+2002(1)+2003(1) +2009(1) 2010(1)x10 1/2002000(1)+2001(1)+2002(1)+2003(1) +2009(1) 1/201 2001/(2000(1)+2001(1)+2002(1)+2003(1) +2009(1) 201 所以原式的整数部分应该为200 例四：求所有适合不等式18(7) 5(n) 7(20)的自然数n之和 求所有适合不等式17(8) 7(n) 9(22)的自然数n之和 解： 先把含n的项扩大或缩小成为n ，即不等式的所有项同时乘以含n的项的系数， 不等式各项同时乘以5 ，有 7/18 x5n20/7 x 5 1.944 = 7/18 x5n20/7 x 5 =14.28 所以n=2,3,4,5，14 满足条件的n之和为： 2+3+4+14=104 先把含n的项扩大或缩小成为n ，即不等式的所有项同时乘以含n的项的系数， 不等式各项同时乘以7，有 17(8)x7 n9(22)x7 3.29 n 0.112x10=1.12 （米）的时候人能安全跑