5.2直接三角分解法PPT幻灯片课件

第五章线性代数方程组的数值解法 5 2矩阵三角分解法 1 华长生制作 2 一 基本的三角分解法 Doolittle法 且对增广矩阵进行若干次初等行变换 把某行的倍数下边某行 可使系数矩阵化为上三角矩阵 即 其中U是上三角矩阵 而由线性代数理论可知 对一个矩阵进行一次初等行变换 相当于给这个矩阵左乘一个相应的初等矩阵 所以上述初等行变换相当于在 华长生制作 3 增广矩阵左边乘了一系列的初等矩阵其中均为单位下三角阵 对角元为1的下三角阵 记 则有A LU其中L是单位下三角阵 U是上三角阵 定义设A为n阶矩阵 n 1 称A LU为矩阵A的三角分解 其中L是下三角阵 U是上三角阵 华长生制作 4 定义如果L是单位下三角阵 U是上三角阵 则称三角分解A LU为Doolittle分解 如果L是下三角阵 U是单位上三角阵 则称A LU为Crout分解 定理如果n阶 n 1 矩阵A的n个顺序主子式不为零 则A有唯一Doolittle分解和唯一Crout分解 华长生制作 5 直接三角分解法 Doolittle法 华长生制作 6 上式可记为 华长生制作 7 同样 由 华长生制作 8 综合以上分析 有 因此可以推导出 U的第一行 L的第一列 1 2 华长生制作 9 U的第r行 L的第r列 3 4 华长生制作 10 对于线性方程组 系数矩阵非奇异 经过Doolittle分解后 线性方程组可化为下面两个三角形方程组 华长生制作 11 华长生制作 12 上述解线性方程组的方法称为直接三角分解法的Doolittle法 例1 用Doolittle法解方程组 解 由Doolittle分解 华长生制作 13 华长生制作 14 Doolittle法在计算机上实现是比较容易的 但如果按上述流程运算仍需要较大的存储空间 华长生制作 15 因此可按下列方法存储数据 华长生制作 16 直接三角分解的Doolittle法可以用以下过程表示 存储单元 位置 华长生制作 17 紧凑格式的Doolittle法 华长生制作 18 例2 用紧凑格式的Doolittle法解方程组 例1 解 华长生制作 19 华长生制作 20 所以 华长生制作 21 列主元Doolittle分解 在Doolittle法 包括紧凑格式 中 会反复用到公式 仍有可能为小主元做除数 为此 我们也要考虑在算法中加入选取列主元 我们下面介绍紧凑格式的Doolittle列主元法 华长生制作 22 符号因换行只代表存储位置 与原数值可能有差异 依此类推 华长生制作 23 列主元Doolittle法步骤 第一步 华长生制作 24 例3 用列主元Doolittle法解线性方程组 解 华长生制作 25 所以原方程组的解为 华长生制作 26 平方根法 一 对称正定矩阵的三角分解 Cholesky分解 记为 1 华长生制作 27 华长生制作 28 因此 华长生制作 29 Diagonal 对角 为非奇异下三角阵 为非奇异上三角阵 2 3 华长生制作 30 因此 所以 综合以上分析 则有 4 5 华长生制作 31 定理1 Cholesky分解 且该分解式唯一 这种关于对称正定矩阵的分解称为Cholesky分解 华长生制作 32 6 7 8 华长生制作 33 华长生制作 34 二 对称正定线性方程组的解法 线性方程组 10 11 则线性方程组 10 可化为两个三角形方程组 12 13 华长生制作 35 14 15 对称正定方程组的平方根法 华长生制作 36 三 平方根法的数值稳定性 用平方根法求解对称正定方程组时不需选取主元 由 可知 因此 平方根法是数值稳定的 事实上 对称正定方程组也可以用顺序Gauss消去法求解 而不必加入选主元步骤 华长生制作 37 例用平方根法求解 解不难验证系数矩阵是对称正定的 于是按前面的方法计算可得 由Ly 6 0 5 1 25 T 得y 3 0 5 1 T 再解LTx y可以得到x 2 1 1 T 华长生制作 38 追赶法 Thomas算法 对角占优矩阵 补充 华长生制作 39 有一类方程组 在今后要学习的插值问题和边值问题中有着重要的作用 即三对角线方程组 其形式为 其中 1 华长生制作 40 华长生制作 41 以下以Doolittle分解导出三对角线方程组的解法 以Crout分解的三对角线方程组的解法请自己思考 设 用紧凑格式的Doolittle分解 华长生制作 42 因此 二对角阵 2 华长生制作 43 由 3 4 5 6 可得L和U的元素的计算公式 华长生制作 44 得 7 华