八年级数学上知识点总结.doc

八年级数学上知识点总结11.1与三角形有关的线段 11.1.1三角形的边 一、三角形的定义： 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。定义应掌握：(1)三条线段（2）不在同一条直线上（3）首尾顺次相接 以上三点表明三角形是封闭图形 二、三角形的表示 （1）三角形有三个顶点：通常用大写字母A、 B 、C表示顶点顶点是A、B、C的三角形，记作ABC 读作三角形ABC（2）三角形有三条边：三条线段是三角形的边，表示方法有两种： 三条边：用线段AB、BC、AC表示 用小写字母a、b、c表示（3）三角形有三个角：相邻两边组成的角，叫三角形的内角，简称三角形的角。注意：每个内角不发生混淆是记作：A、B、C 三、三角形的分类（1）按角分类：（2）按边分类：四、三角形的性质1、三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边。（定理的证明是根据“公里两点之间线段最短”直接推出来的）。应掌握：(1) 三角形两边之和大于第三边指的是任意两边之和大于第三边即a+bc b+ca a+cb三个不等式同时成立，即构成三角形的三条边的长a、b、c满足上面所指的三个不等式。（2）若长度为a、b、c的三条线段能构成三角形，则a、b、c应同时满足a+bc b+ca a+cb也就是说只有当三条线段中任意两条线段的长度之和大于第三边的长度时，这三条线段才能构成三角形，若有一个不成立，则这三条线段不能构成三角形。如三条线段的长分别为3、7、4虽然满足3+74 7+43 3+47所以，长3、7、4的线段不能构成三角形。（3）在具体应用这一定理时，并不一定要列出三个不等式。只有两条较短的线段的长度之和大于最长的线段即可判定这三条线段能构成一个三角形。2、三角形三边关系定理的推论：三角形两边的差小于第三边。即：a-bc b-ca a-cb3、三角形三边关系定理及其推论是构成三角形三边的性质，也就是三条线段构成三角形的依据。具体有三方面的应用：(1)、已知三条线段的长度，判定以这三条线段为边能否组成三角形。（2）、已知三角形两边的长，求第三边的取值范围。关系式为b+cab+c a-cba+c a-baa+b（3）、证明线段的不等关系。11.1.2三角形的高、中线与角平分线与三角形有关的线段，除了三条边，还有三角形的高、中线与角平分线一、三角形的高：概念 从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。（一）画法：锐角三角形：从一个顶点向该顶点的对边做垂线；直角三角形的直角边是直角三角形的高，直角顶点向斜边做垂线为斜边高；钝角三角形钝角顶点向对边做垂线为该边的高，锐角向对边外延长线做垂线为该边的高。（二）位置：总的来说，三角形的三条高所在的直线相交于一点。锐角三角形：三条高都在三角形的内部。交点也在三角形的内部。直角三角形：两条高分别在两条直角边上，另一条高在三角形的内部。交点是直角的顶点。钝角三角形：钝角的两边上的高在三角形外部。交点在三角形的外部。（三）表示方法： 若AD是ABC的高，则：ADBC于DADC=ADB=90（四）三角形的面积SABC=1/2 BCAD应掌握：(1)、三角形的三条高是线段。一定要搞清楚是三角形那条边上的高。 （2）、三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。 （3）、高与垂直、直角紧密相连。二、三角形的中线：概念 在三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线。（一）画法：连接一个顶点和它所对边的中点的线段（二）位置：任何三角形都有三条中线，而且这三条中线都在三角形的内部，并交于一点。该点称为三角形的重心。（三）表示方法：若AD是ABC的中线，则：AD=BD=1/2 BC BC= 2AD=2BD应掌握：三角形每条中线能将三角形分成面积相等的两部分； 三角形的三条中线必交于一点,该交点为三角形重心； 重心定理：三角形重心到一个顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍； 三角形三条中线能将三角形分成面积相等的六部分； 解决三角形中线问题,常作的辅助线是倍长中线,塑造全等三角形,或平行四边形； 遇到三角形两条中线同时出现时,常需考虑三角形中位线：三角形中位线平行且等于第三边一半； 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； 如果三角形一边中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形； 等边三角形顶角平分线,底边上的高,底边上的中线,互相重合；(四)结论：等（同）底等（同）高的两个三角形的面积相等三角形中线的应用例谈三角形的中线是与三角形有关线段的重要线段。三角形的中线在解决和三角形面积有关的问题中常常发挥重要作用。如图1，连接三角形ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫ABC的边BC上的中线。BD=CD=BC . AEBC于E，即AE是ABC的边BC上的高。同时AE也是ABD、ACD的高。根据三角形的面积公式，三角形ABC的面积为，即.ABD、ACD的面积可表示为：，所以ABD、ACD的面积相等，都等于ABC面积的一半。结论一：三角形的一边的中线把这个三角形分成面积相等的两部分。例1 如图2，AD、BE是ABC的两条中线。AD、BE交于G，试比较BGD和AGE面积的大小。析解：因为AD、BE是ABC的两条中线，根据结论一，三角形ADC的面积等于三角形ABC的面积的一半，三角形BCE的面积也等于三角形ABC的面积的一半。所以=，所以，即.所以BGD和AGE的面积相等。引申：连接GC，则GD是三角形GBC的中线，GE是三角形AGC的中线，根据上面结论一，有，而，所以，所以结论二：连接三角形的中线的交点和这个三角形任意两个顶点所组成的三角形的面积等于这个三角形面积的.例2 （2009贺州）如图3-1，正方形ABCD的 边长为1，E、F分别是AB、BC边上的中点，求图中阴影部分的面积。分析：图中阴影部分是不规则四边形，须作辅助线转化为规则四边形或三角形。更重要的是要考虑中点的运用。解：如图3-2，连接BD，则三角形BCD的面积= ,根据上述结论二， BOD的面积等于BCD的面积的，即，阴影部分的面积=.点评：求不规则图形的面积往往是作辅助线转化为三角形加以分析。图中三角形BDO的面积是和三角形BDC的中线有关的，记住上面的两个结论，能够迅速巧妙的求解此题。三、三角形的角平分线：概念 三角形的一个内角的平分线与它的对边相交，连接这个角的顶点和交点之间的线段叫三角形的角平分线。三角形的角平分线是一条线段。由于三角形有三个内角，所以三角形有三条角平分线。（一）画法：画一个角的平分线和它所对边交点的线段（二）位置：任何三角形都有三条角平分线，而且这三条角平分线都在三角形的内部，并交于一点。该点称为三角形的内心。（三）表示方法：若AD是ABC的角平分线，则：BAD=CAD=1/2BAC BAC = 2BAD=2CAD 应掌握：(1)三角形的角平分线是一条线段,可以度量，而角平分线是经过角的顶点且平分此角的一条射线，不可度量。（2）三角形三条角平分线的交点到三角形三条边的距离相等。四、三角形的稳定性三角形的三边确定了，那么它的形状、大小都确定了，三角形的这个性质就叫三角形的稳定性。三角形的稳定性在日常生活中应用很广。11.2与三角形有关的角11.2.1三角形的内角一、三角形内角和定理：三角形的三个内角和等于180度。应掌握：(1) 三角形内角和定理揭示了三角形“角”的重要性质，三个内角和等于180度（2）三角形内角和定理是计算角的度数和证明两角相等的重要方法。如：A=180-（B+C ）二、辅助线：为了证明的需要，在原来图形上添画的线叫辅助线，辅助线起桥梁作用。三、三角形内角和定理的推论1：直角三角形的两个锐角互余。应掌握：(1) 直角三角形的两个锐角互余是直角三角形的性质。即已知直角三角形，就有两个锐角和等于90度。（2）直角三角形的两个锐角互余是直角三角形的判定。即一个三角形中有两个锐角和等于90度，那么这个三角形是直角三角形。在今后的证明问题中经常用到。11.2.2三角形的外角一、三角形的外角概念：三角形的一条边与另一条边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。应掌握外角特征：（1）顶点在三角形的一个顶点上。（2）一条边是三角形的一边。（3）另一条边是三角形某条边的延长线。二、三角形内角和定理的推论2：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.三、三角形内角和定理的推论3：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.应掌握：三角形内角和定理及其推论揭示了三角形“角”的重要性质，主要有以下几个方面的应用：（1）求教的度数 （2）证明角相等 （3）证明两线垂直 （4）证明角的不等关系注意：三角形的任意一个外角与它相邻的内角不能确定谁大谁小。11.3多边形及其内角和11.3.1多边形一、多边形的概念：在同一平面，由不在同一条直线上的一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。 多边形以边数命名（一个多边形由几条线段组成，就叫做几边形）应掌握：在同一平面 不在同一条直线上 首尾顺次相接 封闭图形 边数3如果一个多边形有n条线段组成，那么这个多边形就叫做n边形。如：三角形、四边形、五边形、六边形、七边形、八边形。组成多边形的线段至少有3条，三角形是最简单的多边形。 如图，是一个五边形，可表示为五边形ABCDE. 二、多边形的边 、 顶点 、 内角、外角组成多边形的每一条线段叫做多边形的边。 相邻的两条线段的公共端点叫做多边形的顶点。 多边形相邻两边所组成的角叫做多边形的内角。多边形内角的边与它的邻边延长线组成的角叫做多边形的外角。 如图，A、B、C、D、E是五边形的内角，1是五边形的外角应掌握：一个n边形有n个顶点、n条边、n个角、2n个外角。 三、多边形的对角线连接多边形的两个不相邻顶点的线段叫做多边形的对角线。如图，AC，AD就是五边形ABCDE中的两条对角线 应掌握：（1）一个n边形从一个顶点可以引(n3)条对角线，把n边形分成(n2)个三角形一个n边形一共有条对角线（2） 多边形的对角线条数与顶点数的关系从多边形一个顶点引出的对角线能将多边形分割成不同的三角形，这就把多边形问题转化为三角形问题来研究；所有的四边形都有2条对角线，五边形有5条对角线，也就是说一个边数一定的多边形的对角线的条数是一定的对角线是解决多边形问题常用的辅助线。多边形问题 -转化- 三角形问题 （未知） （已知）四、多边形的外角和在多边形的每一个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做多边形的外角和。五、凸多边形画出多边形的任何一条边所在直线，如果整个多边形都在这条直线的同一恻，那么这个多边形就是凸多边形。 六、凹多边形画出多边形的任何一条边所在直线，如果整个多边形不都在这条直线的同一恻，那么这个多边形就是凹多边形。七、多边形的分类多边形也可以分为凸多边形及凹多边形，凸多边形又可称为平面多边形，凹多边形又称空间多边形多边形还可以分为正多边形和非正多边形。正多边形各边相等且各内角相等。广义的多边形也包括五角星等图形。八、正多边形各个角都等，各个边都相等的多边形叫做正多边形。应掌握：（1）两个条件同时具备，缺一不可，否则就不是正多边形。（2）正多边形外角的特征因为边数相同的正多边形各个内角都相等，同顶点的内角与外角互为邻补角，所以边数相同的正多边形的各个外角也相等11.3.2多边形的内角和一、多边形的内角和(1)公式：n边形内角和等于(n2)180.(2)探究过程：如图，以五边形、六边形为例从五边形的一个顶点出发，可以画2条对角线，它们将五边形分成3个三角形，五边形的内角和等于1803540；从六边形的一个顶点出发，可以画3条对角线，它们将六边形分成4个三角形，六边形的内角和等于1804720；从n边形的一个顶点出发，可以画(n3)条对角线，它们将n边形分成(n2)个三角形，n边形的内角和等于180(n2)所以多边形内角和等于(n2)180.析规律 多边形内角和公式的推导推导多边形内角和公式的方法很多，但都是将多边形内角和转化为三角形内角和进行推导的，这也是研究问题的一种思路方法，将多边形问题转化为三角形问题解决(3)应用：运用多边形内角和公式可以求出任何边数的多边形的内角和；由多边形内角和公式可知，边数相同的多边形内角和也相等，因此已知多边形内角和也能求出边数【例3】 选择：(1)十边形的内角和为()A1 260 B1440C1620 D1800(2)一个多边形的内角和为720，那么这个多边形的对角线共有()A6条 B7条C8条 D9条解析：(1)运用多边形内角和公式计算：180(102)1 440，故选B；(2)一个多边形的内角和为720，即180(n2)720，解得n6，所以该多边形是六边形，六边形有9条对角线，故选D.答案：(1)B(2)D二多边形的外角和(一)公式：多边形的外角和等于360.(二)探究过程：如图，以六边形为例外角和：在每个顶点处各取一个外角，即1，2，3，4，5，6，它们的和为外角和因为同顶点处的一个内角和外角互为邻补角，所以六边形内、外角和等于18061 080，所以1234561080180(62)360.n边形外角和n180(n2)180360.(三)拓展理解：多边形的外角和是一个恒值，即任何多边形的外角和都是360，与边数无关多边形的外角和与多边形所有外角的和不是一回事，多边形的外角和是每个顶点处取一个外角的和解技巧 多边形的内角与相邻外角的关系的运用同顶点的每一个内角和外角互为邻补角是解决含内、外角问题的关键，是内、外角转换的纽带【例4】 填空：(1)一个多边形每个外角都是60，这个多边形是_边形，它的内角和是_度，外角和是_度；(2)多边形边数每增加一条，它的内角和会增加_，外角和增加_解析：(1)因为每个外角都是60，所以360606，所以是六边形根据内角和公式计算出内角和是720，外角和是恒值为360(也可以由每个外角都是60，得每个内角都是120，进而得到内角和是720)；(2)多边形边数每增加一条，它的内角和会增加180，但外角和不变答案：(1)六720360(2)1800（四）多边形内角和公式的应用多边形内角和只与边数有关，因此当一个多边形的边数确定时，多边形的内角和就是一定的，所以多边形内角和公式就有两个作用：(1)已知多边形边数(顶点数、内角个数)就可以求出多边形内角和度数，方法是直接将边数n代入公式(n2)180求出(2)已知多边形内角和求多边形边数，只要根据多边形内角和公式列出以n为未知数的方程，解方程，求出n即可得到边数破疑点 多边形内角和的理解用内角和除以180得到的是n2的值，不是边数，边数是n，这点要注意熟记多边形内角和公式是这部分内容应用的关键【例51】 若一个四边形的四个内角度数的比为3456，则这个四边形的四个内角的度数分别为_解析：设每一份为x，那么四个角分别为3x，4x，5x，6x.根据四边形内角和是360，列出方程3x4x5x6x360，解得x20，然后求出各角；也可以用3601820，每一份是20，然后求解答案：60，80，100，120【例52】 一个多边形的内角和等于1440，则它的边数为_解析：根据多边形内角和公式列出以n为未知数的方程(n2)1801 440，解方程得n10.所以这个多边形为十边形答案：10【例53】 一个多边形的内角和不可能是()A1 800 B540 C720 D810解析：因为边数只能是整数，所以多边形的内角和必须是180的整数倍，故选D.答案：D6.多边形外角、外角和公式的应用（五）多边形外角和是360，它是一个恒值，不论多边形是几边形，它的外角和都是360，与边数无关，所以对于普通多边形，根据多边形外角和无法判断多边形的边数，因此多边形外角很少单独考查，它一般应用于正多边形中或各角都相等时的情况，因为正多边形的每一个内角都相等，所以正多边形的每一个外角也都相等，因此只要知道正多边形中任一个外角的度数就能求出边数，或知道外角的个数也能求出每一个外角的度数，进而能求出内角度数和内角和的度数同顶点的外角和内角互为邻补角，所以多边形外角和内角又是相互联系的，知道内角能求外角，知道外角也能求内角，它们之间能相互转换破疑点 多边形外角和与外角的关系多边形的外角和与多边形所有外角的和不是一回事，多边形的外角和是每个顶点处各取一个外角的和，是360，而多边形所有外角的和是360的2倍，是720，这点要注意【例61】 如图所示，已知ABE138，BCF98，CDG69，则DAB_.解析：方法一：根据同顶点的外角和内角互为邻补角，求出已知角的邻补角根据四边形内角和为360，求出A；方法二：根据四边形外角和为360，求出与A同顶点的邻补角(A点处的外角)，再求出A.答案：125【例62】 如图，在四边形ABCD中，1，2分别是BCD和BAD的邻补角，且BADC140，则12等于()A140 B40C260 D不能确定解析：方法一：因为四边形内角和是360，且BADC140，所以DABDCB220，12DABDCB1802，所以12360220140；方法二：可求出与B，ADC同顶点的两外角和为220，根据四边形外角和是360，得出12360220140；方法三：连接BD，根据三角形一个外角等于和它不相邻的两内角和，求出12的度数答案：A（六）.正多边形知识的应用正多边形是特殊的多边形，它特殊在每一个内角、外角、每一条边都相等，所以在正多边形中，只要知道一个角的度数，就能知道所有角的度数，包括每一个外角的度数知道一边的长度，就能知道每一边的长度因此它的应用主要包括两个方面：(1)已知内角(或外角)能求边数、内角和；已知边数能求每一个外角(或内角)的度数及内角和，即在内角和、边数、内角度数、外角度数四个量中知道一个量就能求出其他三个量(2)因为正多边形每一条边都相等，所以知道周长能求边长，知道边长能求周长(因较简单所以考查较少)解技巧 利用方程思想求多边形的边数正多边形中已知一个内角的度数求边数时，一是将内角根据“同顶点的内、外角互补”转化为外角，再根据外角和是360，由360除以一个外角的度数得到边数；二是根据内角和公式和每个角度数都相等列方程解出边数n.【例71】 若八边形的每个内角都相等，则其每个内角的度数是_解析：由多边形内角和定理知，八边形的内角和是1 080，每个内角都相等，所以1 0808135.答案：135【例72】 一个多边形的每一个外角都等于30，这个多边形的边数是_，它的内角和是_解析：多边形的外角和是360，每个外角都是30，所以3603012，所以该多边形是十二边形，内角和是1800，本题也可根据共顶点的内、外角互补，求出内角和答案：121800【例73】 一个多边形的每一个内角都等于144，求这个多边形的边数分析：方法一：可设这个多边形的边数为n，那么内角和就是(n2)180，因为每一个内角都是144，所以内角和为144n，根据“表示同一个量的两个式子相等”列方程解出；方法二：因为每一个内角都等于144，所以每一个外角都是36.根据多边形外角和为360，用3603610，也可以得出这个多边形为十边形解：设这个多边形的边数为n，则(n2)180n144，解得n10.答：这个多边形的边数为10.（七）边数、顶点数、内角和、对角线条数之间关系的综合应用在多边形问题中，当多边形的边数n一定时，不论多边形形状如何，多边形的内角和也是一定的，是(n2)180，多边形对角线的条数也是一定的，是，并且从一个顶点引出的对角线的条数也是一定的，是(n3)条，所以在多边形问题中，在这些量中，只要知道其中一个量，就可以求出所有的量在多边形问题的综合应用中，一般是边数、对角线的条数、内角和之间的关系应用较多，有时还与正多边形知识相结合因知识限制，一般是给出内角和，求边数或对角线条数题目较多，如：已知一个多边形内角和是1080，它有几条对角线？根据内角和公式列方程，(n2)1801080求出边数，再根据对角线公式求出对角线条数【例81】 过n边形的一个顶点的所有对角线，把多边形分成8个三角形，则这个多边形的边数是()A8 B9 C10 D11解析：过多边形一个顶点的所有对角线将一个多边形分成(n2)个三角形，所以n28，解得n10，即这个多边形是十边形，故选C.答案：C【例82】 多边形的每一个内角都是150，则此多边形的一个顶点引出的对角线的条数是()A7 B8 C9 D10解析：根据每一个内角都是150，求出这个多边形是十二边形，它的一个顶点引出的对角线的条数是n31239，故选C.答案：C【例83】 一个多边形的对角线的条数等于它的边数的4倍，求这个多边形的内角和分析：设边数为n，根据对角线的条数是边数的4倍，列方程求出边数，再代入多边形内角和公式求出内角和解：设这个多边形的边数为n，根据题意，得4n，解得n11，所以这个多边形的内角和为：(n2)180(112)1801620.（八）.将多边形截去一个角问题的探讨在多边形问题中，有一类问题是将多边形截去一个角后，探讨多边形边数变化和内角和变化的问题在这类问题中，因截法不同，会出现不同的变化，现以四边形为例加以说明如图所示，将正方形的桌面截去一个角，那么余下的多边形的内角和度数将怎样变化？因截法有三种情况，所以内角和也就有三种情况：(1)当是图所示情况时，不过任何一个顶点，四边形变为五边形，边数增加1，所以内角和为540.(2)当是图所示情况时，过一个顶点，四边形边数不变，所以内角和也不变，为360.(3)当是图所示情况时，过两个顶点，四边形变为三角形，边数减少1，所以内角和也变为180.析规律 分类解决问题对于其他多边形(三角形除外，因为三角形只有两种情况)也有这样的三种情况，并且截法相同，解法也相同【例91】 一个多边形截去一个角后，变为十六边形，则原来的多边形的边数为()A15或17 B16或17C16或18 D15或16或17解析：因截法不同，所以有三种可能，当不过任何一个顶点时，截完后边数会增加1，因此原来多边形应为十五边形；当过一个顶点时，截完后边数不变，所以这种情况下原来的多边形为十六边形；当过两个顶点时，边数比原来减少1，所以原来就是十七边形，所以原来的多边形的边数为15或16或17，故选D.答案：D【例92】 一个多边形截去一个角(截线不过顶点)之后，所形成的一个多边形的内角和是2520，那么原多边形的边数是()A13 B15 C17 D19解析：一个多边形截去一个角，因截线不过任何顶点，所以新得到的多边形边数比原来的多边形的边数应该增加1.因为新得到的多边形内角和