哈工大《结构力学》结构力学10力矩分配法

1 第十章力矩分配法 2 第十章力矩分配法 10 1引言 10 2力矩分配法的基本原理 10 3用力矩分配法计算连续梁 3 10 1引言 计算超静定结构 不论采用力法或位移法 均要组成和解算典型方程 当未知量较多时 其工作量非常大 为了寻求较简捷的计算方法 自本世纪三十年代以来 又陆续出现了各种渐进法 力矩分配法就是其一 渐进法的共同特点是 避免了组成和解算典型方程 而以逐次渐进的方法来计算杆端弯矩 其结果的精度随计算轮次的增加而提高 最后收敛于精确解 这些方法的概念生动形象 每轮计算的程序均相同 易于掌握 适合手算 并可不经过计算结点位移而直接求得杆端弯矩 在结构设计中被广泛采用 返回 4 10 2力矩分配法的基本原理 力矩分配法为克罗斯 H Cross 于1930年提出 这一方法对连续梁和无结点线位移刚架的计算尤为方便 1 劲度系数 传递系数 劲度系数 转动刚度 Sij定义如下 当杆件AB的A端转动单位角时 A端 又称近端 的弯矩MAB称为该杆端的劲度系数 用SAB表示 它标志着该杆端抵抗转动能力的大小 故又称为转动刚度 则劲度系数与杆件的远端支承情况有关 由转角位移方程知远端固定时 A B EI L 1 MAB 4i MBA A B EI 1 MAB 3i SAB MAB 4i 远端铰支时 SAB MAB 3i SAB 3i A B 1 远端滑动支撑时 EI MAB i MBA SAB MAB i SAB i 远端自由时 A B 1 MAB o EI SAB MAB 0 SAB 0 SAB 4i 返回 5 2 传递系数Cij A B EI L 1 MAB 4i A B EI 1 MAB 3i SAB MAB 4i SAB MAB 3i A B 1 EI MAB i MBA i SAB MAB i A B 1 MAB EI SAB MAB 0 当近端A转动时 另一端B 远端 也产生一定的弯矩 这好比是近端的弯矩按一定比例传到远端一样 故将B端弯矩与A端弯矩之比称为由A端向B端的传递系数 用CAB表示 即 或MBA CABMAB 远端固定时 CAB 0 5 远端铰支时 CAB 0 远端滑动支撑 CAB 1 由表右图或表 10 1 可得 MBA 2i 返回 6 2 力矩分配法的基本原理 现以下图所示刚架为例说明力矩分配法的基本原理 1 2 3 4 q P a 1 2 3 4 b MP图 图 a 所示刚架用位移法计算时 只有一个未知量即结点转角Z1 其典型方程为 r11Z1 R1P 0 绘出MP图 图b 可求得自由项为 R1P R1P是结点固定时附加刚臂上的反力矩 可称为刚臂反力矩 它等于结点1的杆端固端弯矩的代数和 即各固端弯矩所不平衡的 差值 称为结点上的不平衡力矩 R1P 1 R1P 返回 7 r11 式中 S1j代表汇交于结点1的各杆端劲度系数的总和 1 2 3 4 c 图 2i12 4i12 3i13 i14 绘出结构的 图 见图c 计算系数为 解典型方程得 Z1 然后可按叠加法M 计算各杆端的最后弯 弯矩 4i12 3i13 i14 S12 S13 S14 S1j 返回 8 M12 M13 M14 以上各式右边第一项为荷载产生的弯矩 即固端弯矩 第二项为结点转动Z1角所产生的弯矩 这相当于把不平衡力矩反号后按劲度系数大小的比例分配给近端 因此称为分配弯矩 12 13 14等称为分配系数 其计算公式为 1j 10 1 结点1的各近端弯矩为 返回 9 1j 10 1 显然 同一结点各杆端的分配系数之和应等于1 即 1j 1 各远端弯矩如下 M21 M31 M41 各式右边的第一项仍是固端弯矩 第二项是由结点转动Z1角所产生的弯矩 它好比是将各近端的分配弯矩以传递系数的比例传到各远端一样 故称为传递弯矩 返回 10 得出上述规律后 便可不必绘MP 图 也不必列出典和求解 型方程 而直接按以上结论计算各杆端弯矩 其过程分为两步 1 固定结点 即加入刚臂 此时各杆端有固端弯矩 而结点上有不平衡力矩 它暂时由刚臂承担 2 放松结点 即取消刚臂 让结点转动 这相当于在结点上又加入一个反号的不平衡力矩 于是不平衡力矩被消除而结点获得平衡 此反号的不平衡力矩将按劲度系数大小的比例分配给各近端 于是各近端得到分配弯矩 同时各自向其远端进行传递 各远端弯矩等于固端弯矩加上传递弯矩 返回 11 例10 1 试用力矩分配法作刚架的弯矩图 A B C D 30kN m 50kN a 解 1 计算各杆端分配系数 AB AC AD AB 0 445 AC 0 333 AD 0 222 2 计算固端弯矩 据表 10 1 EI 2EI EI 4m 2m 2m 4m 12 qL2 12 qL2 8 3PL 8 PL 3 进行力矩的分配和传递 结点A的不平衡力矩为 A C D 杆端 AB AC AD BA CA DA 0 445 0 333 0 222 分配系数 固端弯矩 40 40 0 75 25 0 35 分配弯矩 15 5 11 7 7 8 7 8 0 7 8 32 2 55 5 最后弯矩 11 7 67 2 32 8 0 B 55 5 60 11 7 67 2 32 8 M图 kN m b 32 2 4 计算杆端最后弯矩并作矩图 35 返回 12 10 3用力矩分配法计算连续梁 对于具有多个结点转角但无结点线位移 简称无侧移 的结构 只需依次对各结点使用上节所述方法便可求解 作法是 先将所有结点固定 计算各杆固端弯矩 然后将各结点轮流地放松 即每次只放松一个结点 其它结点仍暂时固定 这样把各结点的不平衡力矩轮流地进行分配 传递 直到传递弯矩小到可略去时为止 以这样的逐次渐进方法来计算杆端弯矩 下面举例说明 返回 13 例10 2用力矩分配法计算图示连续梁 0 1 2 3 25kN m 400kN 25kN m 解 固定1 2结点 列表计算如下 12m 6m 6m 12m 分配系数 10 12 21 23 固端弯矩MF 300 300 600 600 300 450 0 150 结点1分配传递 150 150 75 75 结点2分配传递 129 96 64 0 结点1分配传递 32 32 16 16 结点2分配传递 9 7 5 0 0 5 0 5 0 571 0 429 结点1分配传递 2 3 1 1 结点2分配传递 1 0 最后弯矩M 208 484 484 553 553 0 EI EI EI 225 225 返回 14 例10 3用力矩分配法计算图示连续梁 1 5kN m 8kN 4kN 5m 8m 3m 5m 5m 1 5kN m 8kN 4kN 4kN m 0 375 0 625 0 5 0 5 0 375 0 625 MF 0 4 69 8 8 9 38 5 62 2 4 分配及传递 4 76 2 86 2 38 0 A B C D E F I 2I 2I I 0 8i i i 0 8i 1m A B C D E 1 24 2 07 0 1 03 1 37 1 36 0 68 0 68 0 43 0 25 0 21 0 25 0 43 0 21 7 62 3 31 2 73 0 42 0 21 0 21 0 11 0 11 0 04 0 07 0 03 0 07 0 04 0 03 0 03 0 03 0 02 0 02 0 01 0 01 0 01 0 01 M 0 5 63 5