高中立体几何典型500题及解析(八)(351~400题).doc

自助家教网海量教学资源，免费下载高中立体几何典型500题及解析(八)(351400题)351. （1）已知直线a平面a ，a平面b 求证：b a （2）已知三个平面a 、b 、g ，a b ，a g 求证：b g 解析：（1）如图答9-41，aa ，在a 上任取一点，过a与A确定平面g ，设，则ab ， a ，a b （2）在g 上任取P，设，在g 内作，a g ，PQa a b ，PQb ，PQg ，b g 352. 在正方体中，求二面角的大小解析：如图9-43，在平面内作，交于E连结，设正方体棱长为a，在和中，为二面角的平面角在Rt中，,在中，353. 如图9-50，点A在锐二面角a -MN-b 的棱MN上，在面a 内引射线AP，使AP与MN所成的PAM为45，与面b 所成的角为30，求二面角a -MN-b 的大小解析：如图答9-44，取AP上一点B，作BHb 于H，连结AH，则BAH为射线AP与平面b 所成的角，BAH=30，再作BQMN，交MN于Q，连结HQ，则HQ为BQ在平面b 内的射影由三垂线定理的逆定理，HQMN，BQH为二面角a -MN-b 的平面角图答9-44设BQ=a，在RtBAQ中，BQA=90，BAM=45，在RtBAH中BHA=90，BAH=30，在RtBHQ中，BHQ=90，BQ=a，BQH是锐角，BQH=45即二面角a -MN-b 等于45354. 已知直线l平面，直线m平面，有下面四个命题：(1)lm (2)lm(3)lm (4)lm其中正确的两个命题是( )A.(1)与(2) B.(3)与(4) C.(2)与(4) D.(1)与(3)分析：本题主要考查直线与平面、平面和平面的位置关系，以及空间想象能力和逻辑推理能力.解法一：在l，m的前提下，当时，有l，从而l，从而lm，得(1)正确；当时，l垂直于、的交线，而m不一定与该交线垂直，因此，l与m不一定平行，故(2)不正确.故应排除A、C.依题意，有两个命题正确，不可能(3)，(4)都正确，否则连同(1)共有3个命题正确.故排除B，得D.解法二：当断定(1)正确之后，根据4个选择项的安排，可转而检查(3)，由lm,l知m，从而由m得.即(3)正确.故选D.解法三：不从(1)检查起，而从(2)、(3)、(4)中任一命题检查起，如首先检查(4)；由l,m不能否定m是、的交线，因此不一定成立，故(4)是不正确的，因此可排除B、C.依据A和D的内容可知(1)必定是正确的，否则A和D也都排除，以下只要对(2)或(3)检查，只须检查一个便可以做出判断.355. 一张正方形的纸ABCD，BD是对角线，过AB、CD的中点E、F的线段交BD于O，以EF为棱，将正方形的纸折成直二面角，则BOD等于( )A.120 B.150 C.135 D.90解析：本题考查线面垂直，面面垂直，余弦定理，以及空间与平面问题的转化能力。如图，设正方形边长为a，由O为正方形中心，则BOa,DOa，连AB，因为DAAE，DABE，故DA面AEB，所以DAAB，故DAB为直角三角形，BD=a.又在BOD中，由余弦定理可得 cosBOD-，所以BOD120评析：本题为折叠问题，此类问题应该分清折叠前后的哪些量发生了变化，此外，还要注意找出空间转化为平面的途径，几何计算的准确性等。356. 已知平面平面，B，D，ABCD，且AB2，直线AB与平面所成的角为30，则线段CD的长为取值范围是( )A.1，+ B.(1，) C.( ，) D.，+)解析：本题考查直线与直线所成的角，直线与平面所成的角的概念。线面垂直的判定和性质，以及空间想象能力和几何计算.解 如图所示，过D作DAAB交平面于A.由，故DAAB2，DA与成30角，由已知DCAB，可得DCDA，所以DC在过DC且与DA垂直的平面内，令l，在内，DCl时为最短，此时DCDAtan30.故CD.应选D.357. 如图，四棱锥PABCD的底面是直角梯形，ABDC，ABBC，且ABCD，侧棱PB底面ABCD，PC5，BC3，PAB的面积等于6，若平面DPA与平面CPB所成的二面角为，求.解析：平面DPA与平面CPB有一公共点P，要画出它们构成的二面角的平面角必须确定它们公共交线，DA和CB的延长线的交点E是它们的另一公共点.由公理二，PE就是二面角的公共棱.有了公共棱，二面角的平面角就生了根.解 延长DA交CB的延长线于E，连PE，则PE就是平面DPA和平面CPB的交线.ABDC，ABBC，DCBC，PB底面ABCD.PBDC，DC平面PCE.作CFPE于F，连DF由三垂线定理得PEDF，DFC.ABCD，PC5，BC3，PB4.SPAB6，AB3，CD6，.EB3，PE5.PBECCFPE，CF.在直角DCF中，tan. antan.评析：这是一道较难的题，难就难在怎么确定两相交平面的交线.由公理二交线的唯一性必须找出另一个公共点，因此本题延长DA、CB相交于E，确定这个E点就成了关键.358. 如图，已知三条射线SA，SB，SC所成的角ASCBSC30，ASB45，求平面ASC与平面BSC所成二面角的大小.解析：在SC上任取一点D，过D作平面DEF垂直于SC，分别交平面SAC、SBC、SAB于DE、DF、EF，则EDF是二面角ASCB的平面角，令SD.ASC30，在RtSED中，DE1，SE2.同理DF1，SF2.在SEF中，依余弦定理EF28-4.在DEF中，cosEDF2-3,又-12-30.二面角ASCB的平面角EDFarccos(2-3)-arccos(3-2)说明 本例给出了一个构造二面角的平面角的方法，过棱上一点作棱的垂面，这样在计算时同时取特殊值可以使问题简单化.359. 如图，二面角DC是度的二面角，A为上一定点，且ADC面积为S，DCa，过点A作直线AB，使ABDC且与半平面成30的角，求变化时，DBC面积的最大值.解析：在内作AEDC于E，则AE为ADC的高，则有AEDC，AE.由于DCAE，DCAB，则有DCAEB所在的平面，所以DCBE，则AEB是二面角DC的平面角，即AEB.又由于DCAEB所在平面，且DC在上，所以平面AEB所在平面.令AFBE于F，则有AF平面，于是，FB是AB在平面上的射影，所以ABE是AB与所成的角.ABE30，在AEB中，有，EBsin(+30).据题意，有(0，180)，当60时，有EBmax，这时(SDBC)maxa2S.说明 本例对直线与直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角的平面角，点到直线的距离，点到平面的距离等概念以及三垂线定理和逆定理的考察是很深刻的，综合了直线与平面这一章的一些主要知识.360. 如图，设平面AC与平面BD相交于BC，它们所成的一个二面角为45，P平面AC，Q平面BD，已知直线MQ是直线PQ在平面BD内的射影，且M在BC上，又直线PQ与平面BD所成的角为，CMQ，090，设线段PMa，求PQ的长.解析：在PMQ中因为PMa,PQM，欲求PQ的长，根据正弦定理只要能求出sinPMR就行了.解 设PMR，作PRMQ于R，显然PR平面BD.作RNBC于N，连PN，则PNBC.PNR45，PQM.在直角PMR中：PRasin,MRacos.在直角MNR中：NRMRsinacossin.PRNR，asinacossin.tansin,cos,sin.在PMQ中由正弦定理：,PQ.评析：本题是利用正弦定理通过解斜三角形求出PQ的长，当然也可以通过三个直角三角形中的关系转换，先出求PR，最后在直角PQR中利用锐角函数处理，相比之下，还是给出的解法略为简便些.361. 有一个三棱锥和一个四棱锥，棱长都相等，将它们一个侧面重叠后，还有几个暴露面?解析：有5个暴露面.如图所示，过V作VSAB，则四边形SABV为平行四边形，有SVA=VAB=60，从而SVA为等边三角形，同理SVD也是等边三角形，从而SAD也是等边三角形，得到以VAD为底，以S与S重合.这表明VAB与VSA共面，VCD与VSD共面，故共有5个暴露面.362. 若四面体各棱长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积的值是 .(只须写出一个可能的值)解析： 该题的显著特点是结论发散而不惟一.本题表面上是考查锥体求积公式这个知识点，实际上主要考查由所给条件构造一个四面体的能力，首先得考虑每个面的三条棱是如何构成的.排除1，1，2，可得1，1，1，1，2，2，2，2，2，然后由这三类面在空间构造满足条件的一个四面体，再求其体积.由平时所见的题目，至少可构造出二类满足条件的四面体，五条边为2，另一边为1，对棱相等的四面体.对于五条边为2，另一边为1的四面体，参看图1所示，设AD=1，取AD的中点为M，平面BCM把三棱锥分成两个三棱锥，由对称性可知AD面BCM，且VABCM=VDBCM，所以VABCD=SBCMAD.CM=.设N是BC的中点，则MNBC，MN=，从而SBCM=2=，故VABCD=1=.对于对棱相等的四面体，可参见图2.其体积的计算可先将其置于一个长方体之中，再用长方体的体积减去四个小三棱锥的体积来进行.亦可套公式V=，不妨令a=b=2，c=1，则V=.363. 湖结冰时，一个球漂在其上，取出后(未弄破冰)，冰面上留下了一个直径为24cm,深为8cm的空穴，求该球的半径.解析：设球的半径为R，依题意知截面圆的半径r12,球心与截面的距离为dR-8，由截面性质得：r2+d2R2,即122+(R-8)2R2.得R13 该球半径为13cm.364. 在有阳光时，一根长为3米的旗轩垂直于水平地面，它的影长为米，同时将一个半径为3米的球放在这块水平地面上，如图所示，求球的阴影部分的面积(结果用无理数表示).解析：由题意知，光线与地面成60角，设球的阴影部分面积为S，垂直于光线的大圆面积为S，则Scos30S,并且S9，所以S6(米2)365. 设棱锥MABCD的底面是正方形，且MAMD，MAAB，如果AMD的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径.解析： ABAD，ABMA，AB平面MAD，由此，面MAD面AC.记E是AD的中点，从而MEAD.ME平面AC， MEEF设球O是与平面MAD、AC、平面MBC都相切的球.不妨设O平面MEF，于是O是MEF的内心.设球O的半径为r，则r设ADEFa,SAMD1.ME.MF,r-1当且仅当a，即a时，等号成立.当ADME时，满足条件的球最大半径为-1.366. 在正方体ABCDA1B1C1D1中，期棱长为a.(1)求证BD截面AB1C；(2)求点B到截面AB1C的距离；(3)求BB1与截面AB1C所成的角的余弦值。同理BD1AB1.BD1面ACB1.(2)AB=BC=BB1G为AB1C的中心.AC=aAG=aBG=a(3)BB1G为所求cosBB1G=367. 已知为所在平面外一点，为的中点，求证：平面解析：因M为PB的中点，连BDAC于O后，可将PD缩小平移到MO，可见MO为所求作的平行线证明 连交于，连，则为的中位线，平面，平面，平面 368. 如图，在正方体1111中，M，N，分别是棱11，A1D1，1，的中点（）求证：1平面（）平面直线A1E与MF所成的角解析：（）要证A1E平面ABMN，只要在平面中找到两条相交直线与A1E都垂直，显然MN与它垂直，这是因为MN平面A1ADD1，另一方面，AN与A1E是否垂直，这是同一个平面中的问题，只要画出平面几何图形，用平几知识解决（）为（）的应用证明（）AB平面A1ADD1，而1平面A1ADD1，AB1在平面A1ADD1中，A1EAN，ANABA，A1E平面ABMN解（）由（）知A1E平面ABMN，而MF平面ABMN，A1EMF，则A1E与MF所成的角为369. 如图，在正方体1111中，M为棱C1的中点，AC交BD于点O，求证：A1O平面MBD解析：要证A1O平面MBD，只要在平面MBD内找到两条相交直线与A1O都垂直，首先想到DB，先观察 A1O垂直DB吗？方法：发现A1O平分DB，想到什么？（A1DB是否为等腰三角形）A1DA1B，DOOB，A1ODB方法：A1ODB吗？即DBA1O吗？DB垂直包含A1O的平面吗？（易见DB平面A1ACC1）再观察A1O垂直何直线？DM？BM？因这两条直线与A1O均异面，故难以直接观察，平面MDB中还有何直线？易想到MO，因MO与A1O相交，它们在同一平面内，这是一个平几问题，可画出平几图进行观察证明取CC1中点M，连结MO，DBA1A，DBAC，A1AAC=A，DB平面A1ACC1，而A1O平面A1ACC1，A1ODB在矩形A1ACC1中，tanAA1O=，tanMOC=，AA1O=MOC，则A1OAMOC，A1OOM，OMDBO，A1O平面MBD370. 点P在线段AB上，且APPB，若A，B到平面的距离分别为a，b，求点P到平面的距离解析：（）A，B在平面的同侧时，P平面的距离为；（）A，B在平面的异侧时，P平面的距离为点评一是画图时，只要画出如右上图的平面图形即可，无需画出空间图形；二是对第（）种情形，若以平面为“水平面”，在其上方的点高度为正，在其下方的点高度为负，则第（）种情形的结论，就是将（）结论中的b改为(b)，而无需再画另一图形加以求解371. 若两直线a与b异面，则过a且与b垂直的平面（）（）有且只有一个（）可能存在也可能不存在（）有无数多个（）一定不存在（）解析：若存在，则ab，而由条件知，a不一定与b垂直372. 在正方体1111中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于（）（）AC（）BD（）A1D（）A1D1解析：（）BDAC，BDCC1，BD平面A1ACC1，BDCE373. 定点P不在ABC所在平面内，过P作平面，使ABC的三个顶点到的距离相等，这样的平面共有（）（）个（）个（）个（）个解析：D过P作一个与AB，AC都平行的平面，则它符合要求；设边AB，BC，CA的中点分别为E，F，G，则平面PEF符合要求；同理平面PFG，平面PGE符合要求374. P为矩形ABCD所在平面外一点，且PA平面ABCD，P到B，C，D三点的距离分别是，则P到A点的距离是（）（）（）（）（）解析：（A）设ABa，BCb，PAh，则a2+h2=5, b2+h2=13, a2+b2+h2=17,h=1375. 线段AB的两个端点A，B到平面的距离分别为6cm, 9cm, P在线段AB上，AP：PB：，则P到平面的距离为解析：cm或cm分A，B在平面的同侧与异侧两种情况同侧时，P到平面的距离为（cm），异侧时，P到平面的距离为（cm）376. ABC的三个顶点A，B，C到平面的距离分别为2cm, 3cm, 4cm , 且它们在的同一侧，则ABC的重心到平面的距离为 解析：3cm 3cm 377. RtABC中，D是斜边AB的中点，AC，BC，EC平面ABC，且EC，则ED解析：AB，CD，则ED378. 如图，在正方体1111中，求：（）A1B与平面A1B1CD所成的角；（）B1B在平面A1C1B所成角的正切值解析：求线面成角，一定要找准斜线在平面内的射影（）先找到斜足A1，再找出B在平面A1B1CD内的射影，即从B向平面A1B1CD作垂线，一定要证明它是平面A1B1CD的垂线这里可证BC1平面A1B1CD，O为垂足，A1O为A1B在平面A1B1CD上的射影（）若将平面D1D1BB竖直放置在正前方，则A1C1横放在正前方，估计B1B在平面A1C1B内的射影应落在O1B上，这是因为A1C1平面D1DBB1，故作B1HO1B交于H时，BH1A1C1，即H为B1在平面A1C1B内的射影另在求此角大小时，只要求B1BO1即可解析：（）如图，连结BC1，交B1C于O，连A1OA1B1平面B1BCC1，BC1平面B1BCC1，A1B1BC1又B1CBC1，A1B1B1CB1，BC1平面A1B1CD，O为垂足，A1O为A1B在平面A1B1CD上的射影，则BA1O为A1B与平面A1B1CD所成的角sinBA1O，BA1O（）连结A1C1交B1D1于O1，连BO1，作B1HBO1于HA1C1平面D1DBB1，A1C1B1H又B1HBO1，A1C1BO1O1，B1H平面A1C1B，B1BO1为B1B与平面A1C1B所成的角，tanB1BO =，即B1B与平面A1C1B所成的角的正切值为379. RtABC中，C，BC，若平面ABC外一点P与平面A，B，C三点等距离，且P到平面ABC的距离为，M为AC的中点（）求证：PMAC；（）求P到直线AC的距离；（）求PM与平面ABC所成角的正切值解析：点P到ABC的三个顶点等距离，则P在平面ABC内的射影为ABC的外心，而ABC为直角三角形，其外心为斜边的中点证明（）PAPC，M是AC中点，PMAC 解（）BC，MH，又PH，PM，即P到直线AC的距离为；（）PM=PB=PC，P在平面ABC内的射线为ABC的外心， C=90 P在平面ABC内的射线为AB的中点H。 PH平面ABC，HM为PM在平面ABC上的射影，则PMH为PM与平面ABC所成的角，tanPMH380. 如图，在正四面体ABCD中。各面都是全等的正三角形的四面体，M为AD的中点，求CM与平面BCD所成角的余弦值解析：要作出CM在平面BCD内的射影，关键是作出M在平面BCD内的射影，而M为AD的中点，故只需观察A在平面BCD内的射影，至此问题解法已明朗解作AO平面BCD于O，连DO，作MN平面BCD于N，则NOD设ADa，则OD，AO，MN又CM，CNCM与平面BCD所成角的余弦值为381. 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是棱A1A的中点，N在AB上，且ANNB，求证：C1MMN解析：在空间中作出两条直线垂直相对较在平面内作两条直线垂直难此题C1M与MN是相交直线，一种方法可通过勾股定理来验证它是否垂直，另一方法为：因MN是平面A1ABB1内的一条直线，可考虑MC1在平面A1ABB1内的射影证明设正方体的棱长为，则MN，C1M，C1N，MNMC1NC1，C1MMN证明连结B1M，C1B1平面A1ABB1，B1M为C1M在平面A1ABB1上的射影设棱长为a ，AN，AM，tanAMN，又tanA1B1M，则AMNA1B1M，B1MMN，由三垂线定理知，C1MMN382. 如图，ABCD为直角梯形，DABABC，ABBCa，ADa，PA平面ABCD，PAa（） 求证：PCCD；（） 求点B到直线PC的距离解析：（）要证PC与CD垂直，只要证明AC与CD垂直，可按实际情形画出底面图形进行证明（）从B向直线PC作垂直，可利用PBC求高，但需求出三边，并判断其形状（事实上，这里的PBC）；另一种重要的思想是：因PC在平面PAC中，而所作BH为平面PAC的斜线，故关键在于找出B在平面PAC内的射影，因平面PAC处于“竖直状态”，则只要从B作“水平”的垂线，可见也只要从B向AC作垂线便可得其射影证明（）取AD的中点E，连AC，CE，则ABCE是正方形，CED为等腰直角三角形ACCD，PA平面ABCD，AC为PC在平面ABCD上的射影，PCCD；解（）连BE交AC于O，则BEAC，又BEPA，ACPAA，BE平面PAC过O作OHPC于H，连BH，则BHPCPAa，AC，PC，则OH，BO，BH383. 四面体ABCD的四个面中，是直角三角形的面至多有（ ）（）个（）个（）个（）个解析：（D）设底面为直角三角形，从底面的一个锐角顶点作平面的垂线，则这样的四面体的每个面都是直角三角形384. 直角三角形ABC的斜边AB在平面内，直角顶点C在平面外，C在平面内的射影为C1，且C1AB，则C1AB为（ ）（）锐角三角形（）直角三角形（）钝角三角形（）以上都不对解析：（C）C1A2+C1B2CA2+CB2 AB, AC1B为钝角，则C1AB为钝角三角形385. ABC在平面内，C90，点，PA=PB=PC=7, AB=10, 则点P到平面的距离等于 解析：PAPBPC,P在平面内的射影为ABC的外心，C90，为AB的中点，AO，PA，PO386. P是边长为a的六边形ABCDEF所成平面外一点，PAAB，PAAF，PAa，则点P到边CD的距离是 解析：2aPA平面ABCDEF，A到CD的距离为，P到边CD的距离是2a387. 如图，已知PA矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点（） 求证：MNCD；（） 若PDA45，求证：MN平面PCD证明（）连ACBDO，连NO，MO，则NOPAPA平面ABCD，NO平面ABCDMOAB，MNAB，而CDAB，MNCD；（）PDA45，PAAD，由PAMCBM得PMCM，N为PC中点，MNPC又MNCD，PCCDC，MN平面PCD388. 如图，在四棱锥PABCD中，侧面PCD是边长等于2cm的等边三角形，底面ABCD是面积为2cm2的菱形，ADC是锐角. 求证：PACD证明：设ADC=，则：由SABCD=2, CD=BC=AB=AD=2，易得=60ACD是等边三角形，取CD中点E连AE、PE，则AECD，PECDAECD，PECD CD平面PAE CDPA389. 设P点在正三角形ABC所在平面外，且AP，BP，CP两两垂直；又是的重心；为上一点，；为上一点，；，如图(1)求证：GF平面PBC；(2)求证：EFBC。解析：(1)连结BG并延长交PA于M.G为ABP的重心注 要充分注意平面几何中的知识(如本题中三角形重心性质，等腰三角形性质等)在证题中的运用。390. 已知=C，ab,a,b,Aa,AEb于E，AFc于F，求证：aEF解析：ba,b,a, b又b，=c bc, 又AFc AFb 又AEb, AEAF=A b平面AEF ab a平面AEFEF平面AEF aEF391. 如图，ABC为锐角三角形，PA平面ABC，A点在平面PBC上的射影为H，求：H不可能是PBC的垂心解析：连结CH，则CH是AC在平面PBC内的射影，若H为垂心，则CHPB，由三垂线定理得ACPB，又PA平面ABC，PAAC，AC平面PAB，从而ACAB与ABC为锐角三角形矛盾，故H不可能是垂心392. 如图，BCD是等腰直角三角形，斜边CD的长等于点P到BC的距离，D是P在平面BCD上的射影（1）求PB与平面BCD所成角；（2）求BP与平面PCD所成的角解析：（1）PD平面BCD，BD是PB在平面BCD内的射影，PBD为PB与平面BCD所成角,BDBC,由三垂线定理得BCBD，BP=CD，设BC=a，则BD=a，BP=CD=a在RtBPD中，cosDBP= DBP=45, 即PB与平面BCD所成角为45 （2）过B作BECD于E，连结PE，PD平面BCD得PDBE，BE平面PCD，BPE为BP与平面PCD所成的角,在RtBEP中，BE=a, BP=a,BPE=30 即BP与平面PCD所成角为30PABC393. 正四棱锥的一个对角面与一个侧面的面积之比为，求侧面与底面所成的角的大小。解析：如图，正四棱锥PABCD的一个对角面PAC。设棱锥的底面边长为a，高为h，斜高为h，底面中心为O，连PO，则PO底面ABCD，POAC，在PAC中，AC=，PO=h，PABCDOE 在PBC中， h:h=. 取BC中点E，连OE，PE，可证PEO即为侧面与底面所成两面角的平面角。 在RtPOE中，sinPEO=， PEO=，即侧面与底面所成的角为.394. 如右图，斜三棱柱ABCA1B1C1中，A1C1BC1，ABAC，AB=3，AC=2，侧棱与底面成60角。（1）求证：AC面ABC1；（2）求证：C1点在平面ABC上的射影H在直线AB上；（3）求此三棱柱体积的最小值。解析：（1）由棱柱性质，可知A1C1/AC A1C1BC1， ACBC1，又ACAB，AC平面ABC1 （2）由（1）知AC平面ABC1，又AC平面ABC，平面ABC平面ABC1 在平面ABC1内，过C1作C1HAB于H，则C1H平面ABC，故点C1在平面ABC上 的射影H在直线AB上。 （3）连结HC，由（2）知C1H平面ABC， C1CH就是侧棱CC1与底面所成的角， C1CH=60，C1H=CHtan60= V棱柱= CAAB，CH，所以棱柱体积最小值3。395. 已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB=900，BAC=300，BC=1，AA1=，M为CC1中点，求证：AB1A1M。解析：因结论是线线垂直，可考虑用三垂线定理或逆定理 ACB=900 A1C1B1=900即B1C1C1A1又由CC1平面A1B1C1得：CC1B1C1 B1C1平面AA1C1C AC1为AB1在平面AA1C1C的射影由三垂线定理，下证AC1A1M即可在矩形AA1C1C中，AC=A1C1=，AA1=CC1= ， RtA1C1MRtAA1C1 1=2又2+3=900 1+3=900 AC1A1M AB1A1M评注：利用三垂线定理的关键是找到基本面后找平面的垂线396. 正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a，在侧棱BB1上截取BD=，在侧棱CC1上截取CE=a，过A、D、E作棱柱的截面ADE （1）求ADE的面积；（2）求证：平面ADE平面ACC1A1。解析：分别在三个侧面内求出ADE的边长AE=a，AD=a，DE= 截面ADE为等腰三角形 S= （2） 底面ABC侧面AA1C1C ABC边AC上的高BM侧面AA1C1C下设法把BM平移到平面AED中去取AE中点N，连MN、DN MNEC，BDEC MNBD DNBM DN平面AA1C1C 平面ADE平面AA1C1C397. 斜三棱柱ABCA1B1C1中，底面是边长为4cm的正三角形，侧棱AA1与底面两边AB、AC均成600的角，AA1=7 （1）求证：AA1BC；（2）求斜三棱柱ABCA1B1C1的全面积；（3）求斜三棱柱ABCA1B1C1的体积；（4）求AA1到侧面BB1C1C的距离。解析：设A1在平面ABC上的射影为0 A1AB=A1AC O在BAC的平行线AM上 ABC为正三角形 AMBC又AM为A1A在平面ABC上的射影 A1ABC （2） B