文科导数题型归纳教师版

文科导数题型归纳教师版 文科导数题型归纳请同学们高度重视首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法 1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法 5、二次函数区间最值求法 （1）对称轴（重视单调区间）与定义域的关系 （2）端点处和顶点是最值所在其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问。 题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。 最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一、基础题型函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立； 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决第一步令0)(?x f得到两个根；第二步画两图或列表；第三步由图表可知；其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题， 2、常见处理方法有三种第一种分离变量求最值-用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（0,=0,0）第二种变更主元（即关于某字母的一次函数）-（已知谁的范围就把谁作为主元）；看（请同学们参看xx省统测2）例例1设函数()y f x?在间区间D上的导数为()f x?，()f x?间在区间D上的导数为()g x间，若在区间D上，()0g x?恒成立，则称函数()y f x?间在区间D数上为“凸函数”，已知实数m是常数，4323()1262x mx xf x?（ （1）若()y f x?在区间?0,3求上为“凸函数”，求m的取值范围；（ （2）若对满足2m?的任何一个实数m，函数()f x在区间?,a b上都为“凸函数”，求b a?的最大值值.解解:由函数4323()1262x mx xf x?得得32()332x mxf x x?2()3g x x mx?（ （1）()y f x?在区间?0,3上为“凸函数”，则则2()30g x x mx?在区间0,3上恒成立解法一从二次函数的区间最值入手等价于max()0g x? (0)0302 (3)09330gmg m?解法二分离变量法当当0x?时时,2()330g x x mx?恒成立,当当03x?时时,2()30g x x mx?恒成立等价于233xm xx x?的最大值（03x?）恒成立，而3()h x xx?（03x?）是增函数，则max() (3)2h x h?2m? (2)当2m?时()f x在区间?,a b上都为“凸函数”则等价于当2m?时2()30g x x mx?恒成立变更主元法再等价于2()30F mmx x?在2m?恒成立于（视为关于m的一次函数最值问题）22 (2)023011 (2)0230F x xxFx x?2b a?看请同学们参看xx第三次周考例例2设函数),10 (3231)(223R b a b x a ax x x f?（）求函数f（x）的单调区间和极值；（）若对任意的,2,1?a a x不等式()f x a?求恒成立，求a的取值范围.（二次函数区间最值的例子）解（）?22()433f x x ax a x a x a?01a?令,0)(?xf得)(x f的单调递增区间为（a,3a）令,0)(?xf得)(x f的单调递减区间为（?，a）和（3a，+?）当当x=a时，)(x f极小值=;433b a?当当x=3a时，)(x f极大值=b.（）由|)(xf?|a，得对任意的,2,1?a a x2243a x ax a a?恒成立则等价于()g x这个二次函数maxmin()()g x ag x a?22()43g x x ax a?的对称轴2x a?01,a?12a a a a?（放缩法）-223a a()f x?a3a即定义域在对称轴的右边，()g x这个二次函数的最值问题单调增函数的最值问题。 22()431,2g x x ax a a a?在上是增函数.（9分）maxmin() (2)21.() (1)44.g x g a ag x g a a?于是，对任意2,1?a a x，不等式恒成立，等价于 (2)44,41. (1)215g a a aaga aa?解得又又,10?a.154?a点评重视二次函数区间最值求法对称轴（重视单调区间）与定义域的关系第三种构造函数求最值题型特征)()(x g x f?恒成立0)()()(?x g x f x h恒成立；从而转化为第 一、二种题型例例3；已知函数32()f x x ax?图象上一点(1,)P b处的切线斜率为3?，326() (1)3 (0)2tg x x x t x t?（）求,a b的值；（）当1,4x?时，求()f x的值域；（）当1,4x?时，不等式()()f x g x?数恒成立，求实数t的取值范围。 解（）/2()32f x x ax?/ (1)31fb a?，解得32ab?（）由（）知，()f x在1,0?上单调递增，在0,2上单调递减，在2,4上单调递减又 (1)4, (0)0, (2)4, (4)16f f f f?()f x的值域是4,16?（）令2()()() (1)31,42th x f x g x x t x x?路思路1要使()()f x g x?恒成立，只需()0h x?，即2 (2)26t x x x?分离变量路思路2二次函数区间最值 二、题型一已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围法解法1转化为0) (0)(?x f x f或在给定区间上恒成立，回归基础题型法解法2利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；做题时一定要看清楚“在（m,n）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b）”，要弄清楚两句话的区别前者是后者的子集例例4已知R a?，函数x a xax x f)14 (21121)(23?2x a?1,2aa?（）如果函数)()(x f x g?是偶函数，求)(x f的极大值和极小值；（）如果函数)(x f是),(?上的单调函数，求a的取值范围解)14()1 (41)(2?a x a x x f.（）()f x?是偶函数，1?a.此时x x x f3121)(3?，341)(2?x x f，令令0)(?xf，解得32?x.列表如下x(,23)23(23,23)23(23,+)(xf?+00+)(x f递增极大值递减极小值递增可知()f x的极大值为34)32(?f，()f x的极小值为34)32(?f.（）函数)(x f是),(?上的单调函数，21() (1) (41)04f x x a x a?，间在给定区间R上恒成立判别式法则221 (1)4 (41)204aaaa?，解得02a?.综上，a的取值范围是20?aa.例例 5、已知函数3211() (2) (1) (0).32f x xa xa xa?（I）求()f x的单调区间；（II）若()f x在在0，1上单调递增，求求a的取值范围。 子集思想（I）2() (2)1 (1) (1).f x xaxax xa? 1、20,() (1)0,a f x x?当时恒成立当且仅当1x?时取“=”号，()(,)f x?在单调递增。 2、12120,()0,1,1,a f x x xax x?当时由得且单调增区间(,1),(1,)a?单调增区间(1,1)a?a-1-1()f x?（II）当()0,1,f x在上单调递增则则?0,1是上述增区间的子集 1、0a?时，()(,)f x?在单调递增符合题意 2、?0,11,a?，10a?1a?综上，a的取值范围是0，1。 三、题型二根的个数问题题题1函数f(x)与与g(x)（或与x轴）的交点=即方程根的个数问题解题步骤第一步画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”；第二步由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；与主要看极大值和极小值与0的关系；第三步解不等式（组）即可；例例 6、已知函数232)1 (31)(xkx x f?，kx x g?31)(，且)(x f在区间),2(?上为增函数（ （1）求实数k的取值范围；（ （2）若函数)(x f与)(xg的图象有三个不同的交点，求实数k的取值范围解 （11）由题意x k x x f)1()(2?)(x f在区间),2(?上为增函数，0)1()(2?x kx x f在区间),2(?上恒成立（分离变量法）即x k?1恒成立，又2?x，21?k，故1?kk的取值范围为1?k （22）设312)1 (3)()()(23?kx xkxx g x f x h，)1)()1()(2?x kx kx kx x h令0)(?xh得kx?或1?x由 （11）知1?k，当1?k时，0)1()(2?x x h，)(x h在在R R上递增，显然不合题意?当1?k时，)(xh，)(xh?随x的变化情况如下表x),(k?k)1,(k1),1(?)(xh?00?)(xh极大值312623?k k极小值21?k由于021?k，欲使)(x f与)(xg的图象有三个不同的交点，即方程0)(?xh有三个不同的实根，故需0312623?k k，即0)22)(1(2?k k k?02212k kk，解得31?k综上，所求k的取值范围为31?k根的个数知道，部分根可求或已知。 例例 77、已知函数321()22f x ax x x c? （11）若1x?是()f x的极值点且()f x的图像过原点，求()f x的极值； （22）若21()2g x bx x d?，在 （11）的条件下，是否存在实数b，使得函数()g x的图像与函数()f x的图像恒有含1x?的三个不同交点？若存在，求出实数b的取值范围；否则说明理由。 解 （1）()f x的图像过原点，则 (0)00f c?2()32f x ax x?，又1x?是()f x的极值点，则 (1)31201f aa?2()32 (32) (1)0f x x x x x?3() (1)2f x f?极大值222()()37f x f?极小值（ （2）设函数()g x的图像与函数()f x的图像恒存在含1x?的三个不同交点，等价于()()f xg x?有含1x?的三个根，即1 (1) (1) (1)2f gd b?3221112 (1)222x x x bx x b?得即3211 (1) (1)022x b x x b?恒有含1x?的三个不等实根（计算难点来了）3211() (1) (1)022h xx b xx b?有含1x?的根，则()h x必可分解为 (1)()0x?二次式，故用添项配凑法因式分解，3x22xx?211 (1) (1)022b xx b?2211 (1) (1) (1)022xx b xx b?221 (1) (1)2 (1)02xxb xxb?十字相乘法分解?21 (1) (1) (1)102xxbxbx?211 (1) (1) (1)022xxbxb?3211 (1) (1)022xbxxb?恒有含1x?的三个不等实根等价于211 (1) (1)022xbxb?有两个不等于-11的不等实根。 2211 (1)4 (1)04211 (1) (1) (1)022b bbb?(,1)(1,3)(3,)b?23-1()f x?题题2切线的条数问题=以切点0x为数的方程的根的个数例例 7、已知函数32()f x ax bx cx?在点0x处取得极小值4，使其导数()0f x?的x的取值范围为(1,3)，求 （1）()f x的解析式； （2）若过点(1,)P m?可作曲线()y f x?的三条切线，求实数m的取值范围（ （1）由题意得2()323 (1) (3), (0)f x ax bxc axxa?在(,1)?上()0f x?；在(1,3)上()0f x?；在(3,)?上()0f x?因此()f x在01x?处取得极小值4?4a b c?， (1)320f a b c?， (3)2760f a bc?由联立得169abc?，32()69f xxxx?（ （2）设切点Q(,()t ft，,()()()y ft ft xt?232 (3129)() (69)y t txt t t t?222 (3129) (3129) (69)t txt t t t t t?22 (3129) (26)t txt tt?过(1,)m?232 (3129) (1)26m tttt?32()221290g tttt m?令22()66126 (2)0g ttttt?，求得1,2tt?，方程()0g t?有三个根。 需 (1)0 (2)0gg?23129016122490mm?1611mm?故1116m?；因此所求实数m的范围为(11,16)?题题3已知()f x在给定区间上的极值点个数则有导函数=0的根的个数解法根分布或判别式法例例 8、解函数的定义域为R（）当当m4时，f(x)13x372x210x，()f x?x27x10，令()0f x?，解得5,x?或2x?.令()0f x?，解得25x?数可知函数f(x)的单调递增区间为(,2)?和（5，），单调递减区间为?2,5（）()f x?x2(m3)xm6,要使数函数yf(x)在（1，）有两个极值点,()f x?x2(m3)xm6=0的根在（1，）根分布问题则2 (3)4 (6)0; (1)1 (3)60;31.2m mfm mm?，解得m3例例 9、已知函数23213)(x xax f?，)0,(?a Ra （11）求)(xf的单调区间； （22）令()gx14x4f（x）（xR）有且仅有3个极值点，求a的取值范围解 （1）)1()(2?ax xx ax xf当0?a时，令0)(?xf解得01?xax或，令0)(?xf解得01?xa，所以)(xf的递增区间为),0()1,(?a，递减区间为)0,1(a?.当0?a时，同理可得)(xf的递增区间为)10(a?，递减区间为),1()0,(?a?.（ （2）432113)42(gax xxx?有有且仅有3个极值点?223(1()ax xxxxxa gx?=0有有3个根，则0x?或210x ax?，2a?方程210x ax?有两个非零实根，所以240,a?2a?或2a?而当2a?或2a?时可证函数()y gx?有有且仅有3个极值点其它例题 11、（最值问题与主元变更法的例子）.已知定义在R上的函数32()2f x ax axb?）（0?a在区间?2,1?上的最大值是55，最小值是11.（）求函数()f x的解析式；（）若1,1?t时，0(?tx xf）恒成立，求实数x的取值范围.1解（）322()2,()34 (34)f x ax axb f x ax ax axx?令()f x=0,得?1240,2,13xx?因为0?a，所以可得下表x?2,0?00?0,1()f x+00-()f x极大因此)0(f必为最大值,50?）（f因此5?b， (2)165, (1)5, (1) (2)f a f aff?，即11516)2(?af，1?a，.52(23?xxxf）（）xxxf43)(2?，0(?tx xf）等价于0432?tx xx，令xxxt tg43)(2?，则问题就是0)(g?t在1,1?t上恒成立时，求实数x的取值范围，为此只需?0)10)1(（gg，即?005322x xxx，解得10?x，所以所求实数x的取值范围是0，1. 22、（根分布与线性规划例子） （11）已知函数322()3f xx ax bxc?()若若函数()f x在1?x时有极值且在函数图象上的点(0,1)处的切线与直线30x y?平行,求求)(xf的解析式；()当当()f x在(0,1)x?取得极大值且在(1,2)x?时取得极小值时,设点(2,1)M ba?所在平为面区域为S,经过原点的直线L将将S分为面积比为1:3的两部分,求直线L的方程.解().由由2()22f xxaxb?,函数()f x在1?x时有极值,220a b? (0)1f?1c?又()f x在(0,1)处的切线与直线30x y?平行, (0)3f b?故12a?3221()3132f xxxx?.7分()解法一:由由2()22fxxaxb?及及()fx在(0,1)x?取得极大值且在(1,2)x?取得极小值, (0)0 (1)0 (2)0fff?即0220480ba bab?令令(,)M x y,则21x bya?12a ybx?20220460xy xy x?故点M域所在平面区域S为如图ABC,易得(2,0)A?,(2,1)B?,(2,2)C?,(0,1)D?,3(0,)2E?,2ABCS?时同时DE为ABC的中位线,13DEC ABEDS S?四边形所求一条直线L的方程为:0x?于另一种情况设不垂直于x轴的直线L也将S分为面积比为1:3的两部分,设直线L方程为y kx?,它它与与AC,BC分别交于F、G,则0k?,1S?四边形DEGF由由220y kxy x?得点F的横坐标为:221Fxk?由由460y kxy x?得点G的横坐标为:641Gxk?OGE OFDSSS?四边形DEGF61311222214121k k?即即216250kk?解得:12k?或58k?(舍去)故这时直线方程为:12y x?综上,所求直线方程为:0x?或12yx?.12分()解法二:由由2()22fxxaxb?及及()fx在(0,1)x?取得极大值且在(1,2)x?取得极小值, (0)0 (1)0 (2)0fff?即0220480ba bab?令令(,)M xy,则21x bya?12a ybx?20220460xy xyx?故点M域所在平面区域S为如图ABC,易得(2,0)A?,(2,1)B?,(2,2)C?,(0,1)D?,3(0,)2E?,2ABCS?时同时DE为ABC的中位线,13DEC ABEDSS?四边形所求一条直线L的方程为:0x?线另一种情况由于直线BO方方程为:12yx?,设直线BO与与AC交于H,由由12220y xyx?得直线L与与AC交点为:1(1,)2H?2ABCS?,1112222DECS?,11222211122H ABOAOHS SS?AB所求直线方程为:0x?或或12yx? 3、（根的个数问题）已知函数32f(x)axbx(c3a2b)xd(a0)?的图象如图所示。 （）求c d、的值；（）若函数f(x)的图象在点(2,f (2)处的切线方程为3xy110?，数求函数f(x)的解析式；（）若0x5,?方程f(x)8a?数有三个不同的根，求实数a的取值范围。 解由题知2f(x)3ax2bx+c-3a-2b?（）由图可知函数f(x)的图像过点(0,3)，且?1f?=0得332c320da bab?03cd（）依题意?2f?=3且且f (2)=5124323846435aba babab?解得a=1,b=6以所以f(x)=x36x2+9x+3（）依题意f(x)=ax3+bx2(3a+2b)x+3(a0)?xf?=3ax2+2bx3a2b由?5f?=0?b=9a程若方程f(x)=8a有三个不同的根，当且仅当满足f (5)