高考数学 11.8 直线与圆锥曲线的位置关系复习课件 理.ppt

11 8直线与圆锥曲线的位置关系 1 过点 2 4 作直线与抛物线y2 8x只有一个公共点 这样的直线有 a 1条b 2条c 3条d 4条 b 2 若a b且ab 0 则直线ax y b 0和二次曲线bx2 ay2 ab的位置关系可能是 解析 由已知 直线方程可化为y ax b 其中a为斜率 b为纵截距 二次曲线方程可化为应用淘汰法可知a b d均自相矛盾 故选c 3 直线y kx k 1与椭圆的位置关系为 a 相交b 相切c 相离d 不确定 a 4 直线y kx 2与椭圆x2 4y2 80相交于不同的两点p q 若pq的中点的横坐标为2 则弦长 pq 等于 解析 由于y kx 2x2 4y2 80 消去y整理得 1 4k2 x2 16kx 64 0 设p x1 y1 q x2 y2 则x1 x2 得从而x1 x2 4 因此 5 若直线mx ny 4和圆o x2 y2 4没有公共点 则过点 m n 的直线与椭圆的交点个数为 2 1 直线与圆的位置关系的判断由圆心到直线的距离d与圆半径r比较大小判断位置关系 1 当d r时 直线与圆 2 当d r时 直线与圆 3 当d r时 直线与圆 相离 相切 相交 2 直线与圆锥曲线的位置关系的判断判断直线l与圆锥曲线c的位置关系时 可将直线l的方程代入曲线c的方程 消去y 或x 得一个关于变量x 或y 的一元二次方程ax2 bx c 0 或ay2 by c 0 1 当a 0时 则有 l与c相交 l与c相切 l与c相离 0 0 0 2 当a 0时 即得到一个一次方程 则l与c相交 且只有一个交点 此时 若曲线c为双曲线 则l于双曲线的渐近线 若c为抛物线 则l于抛物线的对称轴 平行 平行 3 弦长公式连接圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦 要能熟练地利用方程与根的系数关系来计算弦长 常用的弦长公式 ab 当直线与圆锥曲线相交时 涉及弦长问题 常用 韦达定理 设而不求计算弦长 考点1 直线与圆锥曲线的位置关系例题1 2010 枣庄模拟 设直线l y k x 1 与椭圆x2 3y2 a2 a 0 相交于a b两个不同的点 与x轴相交于点c 记o为坐标原点 1 证明 a2 点评 在讨论直线和圆锥曲线的位置关系时 先联立方程组 再消去x 或y 得到关于y 或x 的方程 如果是直线与圆或椭圆 则所得方程一定为一元二次方程 如果是直线与双曲线或抛物线 则需讨论二次项系数等于零和不等于零两种情况 只有二次方程才有判别式 另外还应注意斜率不存在的情形 拓展练习 已知双曲线c 2x2 y2 2与点p 1 2 求过点p 1 2 的直线l的斜率的取值范围 使l与c分别有一个交点 两个交点 没有交点 解析 当l垂直x轴时 此时直线与双曲线相切 当l不与x轴垂直时 设直线l的方程为y 2 k x 1 代入双曲线c的方程中 并整理得 2 k2 x2 2 k2 2k x k2 4k 6 0 当k2 2 即时 为一次方程 显然只有一解 当k2 2时 4 k2 2k 2 4 2 k2 k2 4k 6 48 32k 令 0 可解得令 0 即48 32k 0 此时令 0 即48 32k 0 此时所以当或或k不存在时 l与c只有一个公共点 当或或时 l与c有两个交点 当时 l与c没有交点 考点2 弦长与中点弦的问题例题2 设过原点的直线l与抛物线y2 4 x 1 交于a b两点 且以ab为直径的圆恰好过抛物线的焦点f 求 1 直线l的方程 2 ab 的长 分析 1 要注意讨论斜率k是否为0 2 利用弦长公式 点评 求直线被二次曲线截得的弦长 通常是将直线与二次曲线方程联立 得到关于x 或y 的一元二次方程 然后利用韦达定理及弦长公式求解 拓展训练 本例中将 以ab为直径的圆恰好过抛物线的焦点f 改为 ab的中点为 2 3 求l的方程 点评 有关弦中点的轨迹 中点弦所在直线的方程 中点坐标问题 一般采用如下两种方法 1 设而不求 的方法 若直线l与圆锥曲线c有两个交点a和b 一般地 首先设出交点坐标a x1 y1 b x2 y2 其中有四个参数x1 y1 x2 y2 它们只是过渡性符号 通常是不需要具体求出的 但有利于用韦达定理等解决问题 是直线与圆锥曲线位置关系中常用的方法 2 作差法 在给定的圆锥曲线f x y 0中 求中点为 m n 的弦ab所在直线方程时 一般可设a x1 y1 b x2 y2 利用a b在曲线上 得f x1 y1 0 f x2 y2 0及x1 x2 2m 考点3 直线与圆锥曲线的综合问题例题3 过点 1 0 的直线l与中心在原点 焦点在x轴上且离心率为的椭圆c相交于a b两点 直线过线段ab的中点 同时椭圆c上存在一点与右焦点关于直线l对称 试求直线l与椭圆c的方程 解析 方法1 由得从而a2 2b2 c b 设椭圆的方程为x2 2y2 2b2 a x1 y1 b x2 y2 在椭圆上 则两式相减得 即 设线段ab的中点为 x0 y0 则又 x0 y0 在直线上 所以于是故kab 1 所以直线l的方程为y x 1 设右焦点 b 0 关于直线l的对称点为 x y 则解得x 1 y 1 b 由点 1 1 b 在椭圆上 得1 2 1 b 2 2b2 则故所以所求椭圆c的方程为直线l的方程为y x 1 解法2 由得从而a2 2b2 c b 设椭圆c的方程为x2 2y2 2b2 直线l的方程为y k x 1 将直线l的方程代入椭圆c的方程 得 1 2k2 x2 4k2x 2k2 2b2 0 则 故又直线过线段ab的中点则解得k 0或k 1 若k 0 则直线l的方程为y 0 焦点f c 0 关于直线l的对称点就是f点本身 不可能在椭圆c上 所以k 0舍去 从而k 1 故直线l的方程为y x 1 即y x 1 以下同方法一 点评 由题设情境中点在直线上 联想 点差法 从而应用点差法及点在直线上而求得直线l的方程 进一步应用对称的几何性质求得 对称点 利用 对称点 在椭圆上求得椭圆方程 同时应注意 涉及弦的中点与弦的斜率问题常常可应用 点差法 求解 拓展训练 直线l y kx 1与双曲线c 2x2 y2 1的右支交于不同的两点a b 1 求实数k的取值范围 解析 1 将直线l的方程y kx 1代入双曲线c的方程2x2 y2 1后 整理得 k2 2 x2 2kx 2 0 依题意 直线l与双曲线c的右支交于不同两点 故k2 2 0 2k 2 8 k2 2 0解得k的取值范围是 2 k 2 2 是否存在实数k 使得以线段ab为直径的圆经过双曲线c的右焦点f 若存在 求出k的值 若不存在 说明理由 解析 设a b两点的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 则由 式得 假设存在实数k 使得以线段ab为直径的圆经过双曲线c的右焦点f c 0 则由fa fb 得 x1 c x2 c y1y2 0 即 x1 c x2 c kx1 1 kx2 1 0 整理得 k2 1 x1x2 k c x1 x2 c2 1 0 把 式及代入 式化简得解得或 2 2 舍去 可知使得以线段ab为直径的圆经过双曲线c的右焦点 点评 本例主要涉及的知识有直线 双曲线的方程和性质 曲线与方程的关系 及其综合应用能力 1 直线交双曲线右支 联立方程后得到的关于x的方程 的根分布的区间 0 上 由一元二次方程根分布的区间的充要条件得到了关于k的不等式组 可求出k的取值范围 2 问题 2 中 假设存在实数k 使得以线段ab为直径的圆经过双曲线c的右焦点f 这时用了圆的几何性质fa fb 再转化为坐标之间的关系 结合韦达定理 得到k的方程 求出k值 1 直线与圆锥曲线位置关系的探究方法 直线与圆锥曲线的位置关系 从几何角度来看有三种 相离 相交和相切 从代数角度一般通过它们的方程来研究 设直线l ax by c 0 二次曲线c f x y 0 联立方程组ax by c 0f x y 0 消去y 或x 得到一个关于x 或y 的方程ax2 bx c 0 或ay2 by c 0 然后利用方程根的个数判定 同时应注意如下四种情况 1 对于椭圆来说 a不可能为0 即直线与椭圆有一个公共点 直线与椭圆必相切 反之 直线与椭圆相切 则直线与椭圆必有一个公共点 2 对于双曲线来说 当直线与双曲线有一个公共点时 除了直线与双曲线相切外 还有直线与双曲线相交 此时直线与双曲线的渐近线平行 3 对于抛物线来说 当直线与抛物线有一个公共点时 除了直线与抛物线相切外 还有直线与抛物线相交 此时直线与抛物线的对称轴平行或重合 4 0 直线与双曲线相交 但直线与双曲线相交不一定有 0 当直线与双曲线的渐近线平行时 直线与双曲线相交且只有一个交点 故 0是直线与双曲线相交的充分条件 但不是必要条件 5 0 直线与抛物线相交 但直线与抛物线相交不一定有 0 当直线与抛物线的对称轴平行时 直线与抛物线相交且只有一个交点 故 0也仅是直线与抛物线相交的充分条件 但不是必要条件 2 数形结合思想的应用 要注意数形结合思想的运用 在做题时 最好先画出草图 注意观察 分析图形的特征 将形与数结合起来 特别地 1 过双曲线外一点p x0 y0 的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下 p点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时 有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线 共四条 p点在两渐近线之间且包含双曲线的区域内时 有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线 共四条 p在两条渐近线上但非原点 只有两条 一条是与另一渐近线平行的直线 一条是切线 p为原点时 不存在这样的直线 2 过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点 两条切线和一条平行于对称轴的直线 3 特殊弦问题的探究方法 1 若弦过焦点时 焦点弦问题 焦点弦的弦长的计算一般不用弦长公式计算 而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后 利用焦半径公式求解 2 若问题涉及弦的中点及直线斜率问题 即中点弦问题 可考虑 点差法 即把两点坐标代入圆锥曲线方程 然后两式作差 同时常与根和系数的关系综合应用 易错点 考虑不全 造成遗漏例题 求过点p 0 1 且与抛物