行程问题集锦

精品文档 1欢迎下载 行程问题集锦行程问题集锦 1 基本行程问题 基本概念 行程问题是研究物体运动的 它研究的是物体速度 时间 行程三者之间 的关系 基本公式 路程 速度 时间 路程 时间 速度 路程 速度 时间 关键问题 确定行程过程中的位置 2 简单的相遇 追及问题 相遇问题 速度和 相遇时间 相遇路程 追击问题 追击时间 路程差 速度差 简单的相遇与追及问题各自解题时的入手点及需要注意的地方 1 相遇问题 与速度和 路程和有关 是否同时出发 是否有返回条件 是否和中点有关 判断相遇点位置 是否是多次返回 按倍数关系走 一般条件下 入手点从 和 入手 但当条件与 差 有关时 就从差入手 再分 析出时间 由此再得所需结果 2 追及问题 与速度差 路程差有关 速度差与路程差的本质含义 是否同时出发 是否同地出发 方向是否有改变 环形时 慢者落快者整一圈 1 甲 乙两列火车同时从相距 700 千米的两地相向而行 甲列车每小时行 85 千米 乙列车每小时行 90 千米 几小时两列火车相遇 2 两列火车从两个车站同时相向出发 甲车每小时行 48 千米 乙车每小时行 78 千 米 经过 2 5 小时两车相遇 两个车站之间的铁路长多少千米 3 甲 乙两列火车同时从相距 988 千米的两地相向而行 经过 5 2 小时两车相遇 甲列车每小时行 93 千米 乙列车每小时行多少千米 1 师徒两人合作加工 520 个零件 师傅每小时加工 30 个 徒弟每小时加工 20 个 几小时以后还有 70 个零件没有加工 2 甲 乙两队合挖一条水渠 甲队从东往西挖 每天挖 75 米 乙队从西往东挖 每天比甲队少挖 5 米 两队合作 8 天挖好 这条水渠一共长多少米 3 甲 乙两艘轮船从相距 654 千米的两地相对开出而行 8 小时两船还相距 22 千米 已知乙船每小时行 42 千米 甲船每小时行多少千米 4 一辆汽车和一辆自行车从相距 172 5 千米的甲 乙两地同时出发 相向而行 3 小时后两车相遇 已知汽车每小时比自行车多行 31 5 千米 求汽车 自行车的速度各是多 少 5 两地相距 270 千米 甲 乙两列火车同时从两地相对开出 经过 4 小时相遇 已 精品文档 2欢迎下载 知甲车的速度是乙车的 1 5 倍 求甲 乙两列火车每小时各行多少千米 6 甲 乙两城相距 680 千米 从甲城开往乙城的普通客车每小时行驶 60 千米 2 小时后 快车从乙城开往甲城 每小时行 80 千米 快车开出几小时后两车相遇 7 甲 乙两车同时从相距 480 千米的两地相对而行 甲车每小时行 45 千米 途中 因汽车故障甲车停了 1 小时 5 小时后两车相遇 乙车每小时行多少千米 8 A B 两地相距 3300 米 甲 乙两人同时从两地相对而行 甲每分钟走 82 米 乙每分钟走 83 米 已经行了 15 分钟 还要行多少分钟才可以相遇 9 甲 乙两列汽车同时从两地出发 相向而行 已知甲车每小时行 45 千米 乙车 每小时行 32 千米 相遇时甲车比乙车多行 52 千米 求甲乙两地相距多少千米 10 姐妹俩同时从家里到少年宫 路程全长 770 米 妹妹步行每分钟行 60 米 姐姐 骑自行车以每分钟 160 米的速度到达少年宫后立即返回 途中与妹妹相遇 这时妹妹走了 几分钟 2001 年上海市金山区升级考试卷 11 小明和小华从甲 乙两地同时出发 相向而行 小明步行每分钟走 60 米 小华 骑自行车每分钟行 190 米 几分钟后两人在距中点 650 米处相遇 2002 年上海市金山 区升级考试卷 12 A B 两地相距 300 千米 两辆汽车同时从两地出发 相向而行 各自达到目的 地后又立即返回 经过 8 小时后它们第二此相遇 已知甲车每小时行 45 去 千米 乙车每 小时行多少千米 3 平均速度 平均速度 总路程 总时间 例题 张师傅驾驶一辆载重汽车从县城出发到省城送货 到达省城后马上卸货并随即沿原 路返回 他驾驶的这辆汽车去时每小时行 64 千米 返回时每小时行 56 千米 往 返一趟共用去 12 小时 在省城卸货所用时间略去不计 张师傅在省城和县城之间 往返一趟共行了多少千米 题说 第五届 小数报 数学竞赛初赛第 1 题 答案 716 8 千米 D10 022 一辆汽车以每小时 60 千米的速度从 A 地开往 B 地 它又以每小时 40 千米的速度 从 B 地返回 A 地 那么这辆汽车行驶的平均速度是 千米 小时 题说 第六届 祖冲之杯 数学邀请赛第 4 题 答案 48 千米 小时 D10 034 王师傅驾车从甲地开往乙地交货 如果他往返都以每小时 60 千米的速度行驶 正 好可以按时返回甲地 可是当到达乙地时 他发现他从甲地到乙地的速度只有每 小时 55 千米 如果他想按时返回甲地 他应以多大的速度往回开 题说 第二届 华杯赛 复赛第 6 题 答案 每小时 66 千米 精品文档 3欢迎下载 4 钟面行程 两个速度单位 分针每分钟走两个速度单位 分针每分钟走 6 6 度 时针每分钟走度 时针每分钟走 0 50 5 度度 时钟问题主要有 3 大类题型 第一类是追及问题 注意时针分针关系的时候往往有两种 情况 第二类是相遇问题 时针分针永远不会是相遇的关系 但是当时针分针与某一刻度 夹角相等时 可以求出路程和 第三种就是走不准问题 这一类问题中最关键的一点 找 到表与现实时间的比例关系 5 走走停停 行程问题里走走停停的题目应该怎么做 画出速度和路程的图 要学会读图 每一个加速减速 匀速要分清楚 这有利于你的解题思路 要注意每一个行程之间的联系 题目 甲乙两人同时从一条 800 环形跑道同向行驶 甲 100 米 分 乙 80 米 分 两人 每跑 200 米休息 1 分钟 甲需多久第一次追上乙 解答 这样的题有三种情况 在乙休息结束时被追上 在休息过程中被追上和在 行进中被追上 很显然首先考虑在休息结束时的时间最少 如果不行再考虑在休息过程中 被追上 最后考虑行进中被追上 其中在休息结束时或者休息过程中被追上的情况必须考 虑是否是在休息点追上的 由此首先考虑休息 800 200 1 3 分钟的情况 甲就要比乙多休息 3 分钟 就相当 于甲要追乙 800 80 3 1040 米 需要 1040 100 80 52 分钟 52 分钟甲行了 52 100 5200 米 刚好是在休息点追上的满足条件 行 5200 米要休息 5200 200 1 25 分钟 因此甲需要 52 25 77 分钟第一次追上乙 题目 在 400 米环形跑道上 A B 两点的跑道相距 200 米 甲 乙两人分别从 A B 两点同时出发 按逆时针方向跑步 甲每秒跑 7 米 乙每秒跑 5 米 他们每人跑 100 米都 停 5 秒 那么 甲追上乙需要多少秒 解答 这是传说中的 走走停停 的行程问题 这里分三种情况讨论休息的时间 第一 如果在行进中追上 甲比乙多休息 10 秒 第二 如果在乙休息结束的时候追上 甲比乙多休息 5 秒 第三 如果在休息过程中且又 没有休息结束 那么甲比乙多休息的时间 就在这 5 10 秒之间 显然我们考虑的顺序是 首先看是否在结束时追上 又是否在休息中追上 最后考虑在行进中追上 有了以上的分析 我们就可以来解答这个题了 我们假设在同一个地点 甲比乙晚 出发的时间在 200 7 5 235 7 和 200 7 10 270 7 的之间 在以后的行程中 甲就要比 乙少用这么多时间 由于甲行 100 米比乙少用 100 5 100 7 40 7 秒 继续讨论 因为 270 7 40 7 不是整数 说明第一次追上不是在乙休息结束的时候 追上的 因为在这个范围内有 240 7 40 7 6 是整数 说明在乙休息的中追上的 即甲共 行了 6 100 200 800 米 休息了 7 次 计算出时间就是 800 7 7 5 149 又 2 7 秒 注 这种方法不适于休息点不同的题 具有片面性 在有些行程问题中 既有路程上的前后调头 又有时间上的走走停停 同时又有速度上 的前后变化 遇到此类问题 我们应分析其中的运动规律 把整个运动过程分成几段 再 仔细分析每一段中的情况 然后再类推到其它各段中去 这样既可使运动关系明确 简化 又可减少复杂重复的推理及计算 例 甲 乙两名运动员在周长 400 米的环形跑道上进行 10000 米长跑比赛 两人从 同一起跑线同时起跑 甲每分钟跑 400 米 乙每分钟跑 360 米 当甲比乙领先整整一圈时 两人同时加速 乙的速度比原来快 甲每分比原来多跑 18 米 并且都以这样的速度保持 精品文档 4欢迎下载 到终点 问 甲 乙两人谁先到达终点 停走问题 这类题抓住一个关键 假设不停走 算出本来需要的时间 例 1 龟兔赛跑 全程 5 4 千米 兔子每小时跑 25 千米 乌龟每小时跑 4 千米 乌龟不停的跑 但兔子却边跑边玩 它先跑 1 分 然后再玩 15 分 又跑 2 分 玩 15 分 再跑 3 分 玩 15 分 那么先到达终点的比后到达终点的快几分钟呢 例 2 在一条公路上 甲 乙两个地点相距 600 米 张明每小时行走 4 千米 李 强每小时 5 千米 8 点整 他们两人从甲 乙两地同时出发相向而行 1 分钟后他们都的掉 头反向而行 再过 3 分钟 他们又掉头相向而行 依次按照 1 3 5 7 9 分钟数 掉头行走 那么 张 李二人相遇时间是 8 点几分呢 5 多人行程 这类问题主要涉及的人数为 3 人 主要考察的问题就是求前两个人 相遇或追及的时刻 第三个人的位置 解题的思路就是把三人问题转化为寻找两两人之间 的关系 例 1 有甲 乙 丙三人同时同地出发 绕一个花圃行走 乙 丙二人同方向行 走 甲于乙 丙背向而行 甲每分 40 米 乙每分 38 米 丙每分 36 米 出发后 甲和乙相 遇后 3 分钟又与丙相遇 这花圃的周长是多少 例 2 甲 乙 丙三人行路 甲每分钟走 60 米 乙每分钟走 50 米 丙每分钟走 40 米 甲从 A 地 乙和丙从 B 出发相向而行 甲和乙相遇后 过了 15 分钟又与丙相遇 求 A B 两地的距离 题目 在 400 米环形跑道上 A B 两点的跑道相距 200 米 甲 乙两人分别从 A B 两点同时出发 按逆时针方向跑步 甲每秒跑 7 米 乙每秒跑 5 米 他们每人跑 100 米都 停 5 秒 那么 甲追上乙需要多少秒 这里分三种情况讨论休息的时间 第一 如果在行进中追上 甲比乙多休息 10 秒 第二 如果在乙休息结束的时候追上 甲比乙多休息 5 秒 第三 如果在休息过程中且又 没有休息结束 那么甲比乙多休息的时间 就在这 5 10 秒之间 显然我们考虑的顺序是 首先看是否在结束时追上 又是否在休息中追上 最后考虑在行进中追上 有了以上的分析 我们就可以来解答这个题了 我们假设在同一个地点 甲比乙晚 出发的时间在 200 7 5 235 7 和 200 7 10 270 7 的之间 在以后的行程中 甲就要比 乙少用这么多时间 由于甲行 100 米比乙少用 100 5 100 7 40 7 秒 继续讨论 因为 270 7 40 7 不是整数 说明第一次追上不是在乙休息结束的时候 追上的 因为在这个范围内有 240 7 40 7 6 是整数 说明在乙休息的中追上的 即甲共 行了 6 100 200 800 米 休息了 7 次 计算出时间就是 800 7 7 5 149 又 2 7 秒 正方形 ABCD 每边长 100 米 甲从 A 出发顺时针沿 A D C B A 跑步 每秒 7 米 乙从 B 出发顺时针沿 B A D C B 跑步 每秒 6 米 问 1 他们每到 A B C D 都要停 10 秒 甲何时追上乙 2 他们每到 A B C D 都要停 1 秒 甲何时追上乙 3 他们每到 精品文档 5欢迎下载 A B C D 都要停 0 5 秒 甲何时追上乙 例 快车和慢车分别从甲 乙两地同时开出 相向而行 经过 5 小时相遇 已知慢车 从乙地到甲地用 12 5 小时 慢车到甲地停留 0 5 小时后返回 快车到乙地停留 1 小时后返 回 那么两车从第一次相遇到第二次相遇需要多少时间 12 5 5 7 5 小时 慢车行 AC 这段路所用的时间 5 7 5 2 3 行相同路程快车与慢车的时间比 则 3 2 为相同时间内 快车与慢车的速度比 所以 12 5 2 3 25 3 小时 快车到达 B 点所需的时间 12 5 0 5 25 3 1 11 3 小时 返回时快车比慢车先行的时间 即先行了 11 3 3 11 快车返回时先行的路程 25 3 3 25 AB 两地的总路程 25 11 2 3 14 5 小时 快车先行后两车第二次相遇时间 所以 7 5 0 5 14 5 10 8 小时 两车从第一次相遇到第二次 相遇所用的时间 或 25 3 5 1 11 3 14 5 10 8 小时 程问题中 遇到给出条件一个人走多久又休息多久的条件总是觉得思路很不明朗 不 知各位都有哪些好方法来解此类题 下面提供两个例题 1 绕湖一周是 20 千米 甲 乙二人从湖边某一点同时同地出发 反向而行 甲以 每小时 4 千米的速度每走一小时休息 5 分钟 乙以每小时 6 千米的速度每走 50 分钟后休息 10 分钟 则两人从出发到第一次相遇用了多少分钟 2 环形跑道周长是 500 米 甲 乙二人按顺时针方向沿环形跑道同时同地起跑 甲 每分钟跑 60 米 乙每分钟跑 50 米 甲 乙两人每跑 200 米均要停下来休息一分钟 那么 甲首次追上乙需要多少分钟 当甲首次追上乙的时候 甲跑的距离肯定比乙跑的距离多 500 则当 S 200 的余数100 时 甲停的次数比乙多 3 则甲跑的时间为 T 3 50 T 500 60 T 3 得 T 68 S 50 68 3400 S 200 的余数 0 矛盾 所以结果是 77 快车和慢车分别从 A B 两地同时开出 相向而行 经过 5 小时两车相遇 已知慢车从 B 到 A 用了 12 5 小时 慢车到 A 停留半小时后返回 快车到 B 停留 1 小时后返回 问 两车从 第一次相遇到再相遇共需多少时间 解 画一张示意图 设 C 点是第一次相遇处 慢车从 B 到 C 用了 5 小时 从 C 到 A 用了 12 5 5 7 5 小 时 我们把慢车半小时行程作为 1 个单位 B 到 C10 个单位 C 到 A15 个单位 慢车每小时 走 2 个单位 快车每小时走 3 个单位 有了上面 取单位 准备后 下面很易计算了 慢车从 C 到 A 再加停留半小时 共 8 小时 此时快车在何处呢 去掉它在 B 停留 1 小时 快车行驶 7 小时 共行驶 3 7 21 单位 从 B 到 C 再往前一个单位到 D 点 离 A 点 15 1 14 单位 现在慢车从 A 快车从 D 同时出发共同行走 14 单位 相遇所需时间是 14 2 3 2 8 小时 慢车从 C 到 A 返回行驶至与快车相遇共用了 7 5 0 5 2 8 10 8 小时 答 从第一相遇到再相遇共需 10 小时 48 分 精品文档 7欢迎下载 6 6 接送问题 接送问题 例题 奥数接送问题 例题 1 如果 A B 两地相距 10 千米 一个班有学生 45 人 由 A 地去 B 地 现在有一辆马车 车速是人步行的 3 倍 马车每次可以 乘坐 9 人 在 A 地先将第一批学生送到 B 地 其余的 学生同时向 B 地前进 车到 B 地后立即返回 在途中与步行的学生相遇后 再接 9 名学生 前往 B 地 余下的学生继续向 B 地前进 多次往返后 当全体学生到达 B 地时 马车共行 了多少千米 答案 10 1 2 3 3 4 2 1 3 3 4 2 1 6 3 4 2 1 8 3 4 2 10 47 16 235 8 千米 例题 2 某工厂每天早晨都派小汽车接专家上班 有一天 专家为了早些到厂 比平时提前一小 时出发 步行去工厂 走了一段时间后遇到来接他的汽车 他上车后汽车立即调头继续前 进 进入工厂大门时 他发现只比平时早到 10 分钟 问专家在路上步行了多长时间才遇到 汽车 设人和汽车都作匀速运动 他上车及调头时间不记 解析 设专家从家中出发后走到 M 处 如图 1 与小汽车相遇 由于正常接送必须从 B A B 而现在接送是从 B M B 恰好提前 10 分钟 则小汽车从 M A M 刚好需 10 分 钟 于是小汽车从 M A 只需 5 分钟 这说明专家到 M 处遇到小汽车时再过 5 分钟 就是以 前正常接送时在家的出发时间 故专家的行走时间再加上 5 分钟恰为比平时提前的 1 小时 从而专家行走了 60 一 5 55 分钟 例题 3 甲乙两辆汽车分别从 A B 两成出发 相向而行 甲车和乙车的速度比是 5 4 到两车 相遇时距离中点 48 千米 两城之间的路程是多少千米 甲乙两辆汽车分别从 A B 两成出发 相向而行 甲车和乙车的速度比是 5 4 到两车相遇时距离中点 48 千米 两城之间的路 程是多少千米 解析 相遇时甲乙的行程比也是 5 4 即甲行了全程的 5 4 5 5 9 乙行了 4 9 又相遇时甲比乙多行了 48 2 96 千米 所以路程是 96 5 9 4 9 864 千米 例题 4 有两个班的小学生要到少年宫参加活动 但只有一辆车接送 第一班的学生做车从学 校出发的同时 第二班学生开始步行 车到途中某处 让第一班学生下车步行 车立刻返 回接第二班学生上车并直接开往少年宫 学生步行速度为每小时 4 公里 载学生时车速每 小时 40 公里 空车是 50 公里 小时 学生步行速度是 4 公里 小时 要使两个班的学生同 精品文档 8欢迎下载 时到达少年宫 第一班的学生步行了全程的几分之几 学生上下车时间不计 A 1 7 B 1 6 C 3 4 D 2 5 答 选 A 两班同学同时出发 同时到达 又两班学生的步行速度相同 说明两班学 生步行的距离和坐车的距离分别相同的 所以第一班学生走的路程 第二班学生走的路程 第一班学生坐车的路程 第二班学生坐车的路程 令第一班学生步行的距离为 x 二班坐车 距离为 y 则二班的步行距离为 x 一班的车行距离为 y x 4 一班的步行时间 y 40 二班的坐车时间 y x 50 空车跑回接二班所用时间 x y 1 6 x 占全程的 1 7 选 A 7 发车问题 行程问题之间隔发车问题 2 小明放学回家 他沿一路电车的路线步行 他发现每搁六分钟 有一辆一路电车迎面开来 每搁 12 分钟 有一辆一路电车从背后开来 已知每辆一路电车速度相同 从终点站与起点 站的发车间隔时间也相同 那么一路电车每多少分钟发车一辆 同向时 电车 12 分钟走的路程 小明 12 分钟走的路程 发车间隔时间 车速 反向时 电车 6 分钟走的路程 小明 6 分钟走的路程 发车间隔时间 车速 则 电车 6 分钟走的路程 小明 18 分钟走的路程 小明 12 分钟走的路程 电车 4 分钟走的路程 电车 12 分钟走的路程 小明 12 分钟走的路程 电车 12 分钟走的路程 电车 4 分钟走的路 电车 8 分钟走的路程 发车间隔时间 车速 所以 发车间隔时间为 8 分钟 3 一条公路上 有一个骑车人和一个步行人 骑车人速度是步行人速度的 3 倍 每隔 6 分 钟有一辆公共汽车超过步行人 每隔 10 分钟有一辆公共汽车超过骑车人 如果公共汽车始 发站发车的时间间隔保持不变 那么间隔几分钟发一辆公共汽车 分析 要求汽车的发车时间间隔 只要求出汽车的速度和相邻两汽车之间的距离就可以了 但题目没有直接告诉我们这两个条件 如何求出这两个量呢 由题可知 相邻两汽车之间的距离 以下简称间隔距离 是不变的 当一辆公共汽车超过 步行人时 紧接着下一辆公共汽车与步行人之间的距离就是间隔距离 每隔 6 分钟就有一 辆汽车超过步行人 这就是说 当一辆汽车超过步行人时 下一辆汽车要用 6 分钟才能追 上步行人 汽车与行人的路程差就是相邻两汽车的间隔距离 对于骑车人可作同样的分析 因此 如果我们把汽车的速度记作 V 汽 骑车人的速度为 V 自 步行人的速度为 V 人 单位都是米 分钟 则 间隔距离 V 汽 V 人 6 米 间隔距离 V 汽 V 自 10 米 V 自 3V 人 综合上面的三个式子 可得 V 汽 6V 人 即 V 人 1 6V 汽 则 间隔距离 V 汽 1 6V 汽 6 5V 汽 米 精品文档 9欢迎下载 所以 汽车的发车时间间隔就等于 间隔距离 V 汽 5V 汽 米 V 汽 米 分钟 5 分钟 小峰沿公交车的路线从终点站往起点站走 他出发时恰好有一辆公交车到达终点 在路上 他又遇到了 14 辆迎面开来的公交车 并于 1 小时 18 分后到达起点站 这时候恰好又有一 辆公交车从起点开出 已知起点站与终点站相距 6000 米 公交车的速度为 500 米 分钟 且每两辆车之间的发车间隔是一定的 求这个发车间隔是几分钟 解析 发车间隔为 6 分钟 6000 500 12 分 78 12 90 分 90 16 1 6 分 公交车走完全程的时间为 6000 500 12 分 小峰前后一共看见了 16 辆车 并且第 16 辆车是他走了 1 小时 18 分 即 78 分钟后在起点站遇上的 如果我们让小峰站在终点站不动 他可以在 78 12 90 分钟 后看见第 16 辆车恰好到达终点 第 1 辆车和第 16 辆车中间有 16 1 15 个 发车间隔 所以一个发车间隔为 90 15 6 分 列车每天 18 00 由上海站出发 驶往乌鲁木齐 经过 50 小时到达 每天 10 00 从乌鲁木 齐站有一列火车返回上海 所用时间也为 50 小时 为保证在上海与乌鲁木齐乘车区间内每 天各有一辆火车发往对方站 至少需要准备这种列车多少列 在原题的前提下 正常运行 后 每天 18 00 从上海站开往乌鲁木齐的火车在途中 将会遇到几趟回程车从对面开来 在车速不变的前提下 为了实现有五列车完成这一区段的营运任务 每天两站互发车辆时 间间隔至少需要相差多长时间 假定乘客上下车及火车检修时间为一小时 解 1 设上海到乌鲁木齐的车第一天晚 18 00 出发 到乌鲁木齐为第三天晚 20 00 该车可于第四日早 10 00 从乌鲁木齐出发 于第六日中午 12 00 到上海 当日晚 18 00 可出发往乌鲁木齐 因此 第六日开始重复是同一辆车 所以至少需要 5 辆列车 2 正常运行后 每天都会有一趟车从乌鲁木齐出发开往上海 在 18 00 从上海站开往 乌鲁木齐的火车到达乌鲁木齐这段时间 从乌鲁木齐出发的车它都会遇到 共是 2 辆 3 在车速不变的前提下 为了实现有五列车完成这一区段的营运任务 则第一日从乌鲁 木齐发出的车需在第六日再从同一个站开出 设每天上海发车时间比乌鲁木齐晚 x x 2 若 x0 解得 x 3 为便于叙述 现将 发车问题 进行一般化处理 某人以匀速行走在一条公交车线路上 线路的起点站和终点站均每隔相等的时间发一次车 他发现从背后每隔 a 分钟驶过一辆公 交车 而从迎面每隔 b 分钟就有一辆公交车驶来 问 公交车站每隔多少时间发一辆车 精品文档 10欢迎下载 假如公交车的速度不变 而且中间站停车的时间也忽略不计 一 把 发车问题 化归为 和差问题 因为车站每隔相等的时间发一次车 所以同向的 前后的两辆公交车间的距离相等 这个相等的距离也是公交车在发车间隔时间内行驶的路程 我们把这个相等的距离假设为 1 根据 同向追及 我们知道 公交车与行人 a 分钟所走的路程差是 1 即公交车比行 人每分钟多走 1 a 1 a 就是公交车与行人的速度差 根据 相向相遇 我们知道 公交车与行人 b 分钟所走的路程和是 1 即公交车与行 人每分钟一共走 1 b 1 b 就是公交车和行人的速度和 这样 我们把 发车问题 化归成了 和差问题 根据 和差问题 的解法 大数 和 差 2 小数 和 差 2 可以很容易地求出公交车的速度是 1 a 1 b 2 又因为公交车在这个 间隔相等的时间 内行驶的路程是 1 所以再用 路程 速度 时间 我们可以求出问题的答案 即公交车站发车的间隔时间是 1 1 a 1 b 2 2 1 a 1 b 二 把 发车问题 优化为 往返问题 如果这个行人在起点站停留 m 分钟 恰好发现车站发 n 辆车 那么我们就可以求出车 站发车的间隔时间是 m n 分钟 但是 如果行人在这段时间内做个 往返运动 也未尝不 可 那么他的 往返 决不会影响答案的准确性 因为从起点站走到终点站 行人用的时间不一定被 a 和 b 都整除 所以他见到的公交 车辆数也不一定是整数 故此 我们不让他从起点站走到终点站再返回 那么让他走到哪 再立即返回呢 或者说让他走多长时间再立即返回呢 取 a 和 b 的公倍数 如果是具体的数据 最好取最小公倍数 我们这里取 ab 假如 刚刚有一辆公交车在起点站发出 我们让行人从起点站开始行走 先走 ab 分钟 然后马上 返回 这时恰好是从行人背后驶过第 b 辆车 当行人再用 ab 分钟回到起点站时 恰好又是 从迎面驶来第 a 辆车 也就是说行人返回起点站时第 a b 辆公交车正好从车站开出 即 起点站 2ab 分钟开出了 a b 辆公交车 这样 就相当于在 2ab 分钟的时间内 行人在起点站原地不动看见车站发出了 a b 辆车 于是我们求出车站发车的间隔时间也是 2ab a b 2 1 a 1 b 这样的往返假设也许更符合 发车问题 的情景 更简明 更严谨 也更易于学生理 解和接受 如果用具体的时间代入 则会更加形象 更便于说明问题 三 请用上述两种方法 试一试 解答下面两题 精品文档 11欢迎下载 1 小红在环形公路上行走 每隔 6 分钟就可以看见一辆公共汽车迎面开来 每隔 9 分 钟就有一辆公共汽车从背后超过她 如果小红步行的速度和公共汽车的速度各自都保持一 定 而汽车站每隔相等的时间向相反的方向各发一辆公共汽车 那么汽车站发车的间隔时 间是多少 2 小明从东城到西城去 一共用了 24 分钟 两城之间同时并且每隔相等的时间对发 一辆公共汽车 他出发时恰好有一辆公共汽车从东城发出 之后他每隔 4 分钟看见一辆公 共汽车迎面开来 每隔 6 分钟有一辆公共汽车从背后超过 问小明从东城出发与到达西城 这段时间内 一共有多少辆公共汽车从东城发出 四 下面三题也是发车问题 试一试 揭示问题实质 3 从电车总站每隔一定时间开出一辆电车 甲和乙两人在一条街上沿着同一方向步行 甲每分钟步行 82 千米 每隔 10 分钟遇上一辆迎面而来的电车 乙每分钟步行 60 米 每隔 10 分 15 秒遇上迎面开来的一辆电车 电车总站每隔 分钟开出一辆电车 题说 1997 年小学数学奥林匹克决赛 A 卷第 12 题 答案 11 分钟 4 有一路电车的起点站和终点站分别是甲站和乙站 每隔 5 分钟有一辆电车从甲站出 发开往乙站 全程要走 15 分钟 有一个人从乙站出发沿电车路线骑车前往甲站 他出发的 时候 恰好有一辆电车到达乙站 在路上他又遇到了 10 辆迎面开来的电车 才到达甲站 这时候 恰好又有一辆电车从甲站开出 问他从乙站到甲站用了多少分钟 题说 第一届 华杯赛 初赛第 16 题 答案 40 分钟 5 一条双向铁路上有 11 个车站 相邻两站都相距 7 公里 从早晨 7 点开始 有 18 列 货车由第十一站顺次发出 每隔 5 分钟发出一列 都驶向第一站 速度都是每小时 60 公里 早晨 8 点 由第一站发出一列客车 向第十一站驶去 时速是 100 公里 在到达终点站前 货车与客车都不停靠任何一站 问 在哪两个相邻站之间 客车能与 3 列货车先后相遇 题说 第三届 华杯赛 决赛二试第 6 题 答案 在第 5 个站与第 6 个站之间 客车与三列货车相遇 从几个不变来找方法 比如人步行的速度不变 比如车的速度和发车时间间隔不变等 等 就会比较容易找到已知数量与问题之间的关系 从而找到解题方法 8 电梯行程 小学六年级扶梯问题专题分析小学六年级扶梯问题专题分析 精品文档 12欢迎下载 1 哥哥沿向上移动的自动扶梯从顶向下走 共走了 100 级 此时妹妹沿向上的自动扶梯从底 向上走到顶 共走了 50 级 如果哥哥单位时间内走的级数是妹妹的 2 倍 那么 当自动扶梯静 止时 自动扶梯能看到的部分有多少级 解 由题可知 设能看到的部分有 n 级 扶梯每秒移动 p 级 妹妹每秒走 x 级 则哥哥每秒走 2x 级 由题可列方程 2x n 2x p 100 1 x n p x 50 2 1 2 2 p x 2x p 2 p x 2x p x 2p 又由 1 所以 n 100 2x p 2x 100 4p p 4p 75 级 所以自动扶梯能看见的部分有 75 级 2 商声的自动扶梯以匀速由下往上行驶 两个孩子嫌扶梯走得太慢 于是在行驶的扶梯上 男孩每秒向上走 2 梯级 女孩每 2 秒向上走 3 梯级 结果男孩用 40 秒到达楼上 女孩用 50 秒 到楼上 问当该扶梯静止时 扶梯可看到的梯级共有多少级 分析与解答 两个孩子从下走到上 他们各自走过的梯级加上自动扶梯在他们各自需要的时 间内上升 X 级 那么扶梯总的梯级数等于男孩走过的 40 乘以 2 得 80 级国上自动扶梯上升的 40X 级 同样也等于女孩 50 秒走过的 50 除以 2 乘以 3 得 75 级加上自动扶梯上升的 50X 级 列方程可求出解 解设每秒自动扶梯上升 X 级 40 乘 2 加上 40X 50 除以 2 乘以 3 加上 50X 解 X 0 5 扶梯共有 40 乘以 2 加上 40X 等于 100 级 3 商场的自动扶梯匀速由下往上运行 两个小孩在运行的扶梯上由上往下走 男孩每分钟 走 30 级 需 6 分钟到达楼下 女孩每分钟走 25 级 需 8 分钟到达楼下 问 当该扶梯静 止时 自动扶梯能看到的部分共有多少级 分析与解 在这里我们将 自动扶梯 看作 甲 将 自动扶梯 与男孩 女孩之间 的运动关系形象地用 追及问题 的形式来表示 这样 这道题就类比成行程应用题中的 追及问题 男孩 女孩两个人在 A 地 甲在 B 地 三人同时出发 同向而行 男孩追上甲 需 6 分钟 女孩追上甲需 8 分钟 已知男孩每分钟走 30 级 女孩每分钟走 25 级 求 A B 两地相距多少级 由于甲的速度一定 男孩与甲的速度差和女孩与甲的速度差的相差值即为男孩 女孩速度 的相差值 如果把 A B 两地的路程看作单位 1 不难找出男孩 女孩速度的相差值的 对应分率为 故可列式 级 所以当该扶梯静止时 自动扶梯能看到的部分共有 120 级 精品文档 13欢迎下载 4 自动扶梯以均匀的速度向上运行 一男孩与一女孩同时从自动扶梯向上走 已知男孩的 速度是女孩的 2 倍 男孩走了 27 级到达顶部 女孩走了 18 级到达顶部 问 当自动扶梯 静止时 自动扶梯能看到的部分有多少级 分析与解 在这里我们也将 自动扶梯 看作 甲 将男孩 女孩与自动扶梯之间的 运动关系形象地用 相遇问题 的形式来表示 这样这道题就类比成行程问题中的相遇问 题 男孩 女孩两个人在 A 地 甲在 B 地 男孩每分钟走的级数是女孩每分钟走的 2 倍 现在三人同时出发 男孩 女孩与甲相向而行 当甲与男孩相遇时 男孩走了 27 级 当甲 与女孩相遇时 女孩走了 18 级 求 A B 两地相距多少级 不难看出男孩走 27 级与女孩走 18 级所用的时间之比为 则甲与男孩 女孩两次相遇所用 的时间之比为 3 4 又因为甲的速度一定 所以甲行走的路程与其所用的时间成正比 即 甲与男孩 女孩两次相遇时所行的路程之比也是 3 4 甲与男孩 女孩两次相遇所行的路 程之差也就是男孩 女孩两人所行的路程差 级 故可列式 级 或 级 所以 当自动扶梯静止时 自动扶梯能看到的部分有 54 级 5 商场的自动扶梯匀速由下往上运行 两个孩子在运行的扶梯上上下走动 女孩由下往上 走 男孩由上往下走 结果女孩走了 40 级到达楼上 男孩走了 80 级到达楼下 如果男孩 单位时间内走的级数是女孩单位时间内走的 2 倍 当自动扶梯静止时 自动扶梯能看到的 部分共有多少级 分析与解 我们仍可以将此题中的 自动扶梯 看作 甲 将 自动扶梯 与 女孩 以及 自动扶梯 与 男孩 之间的运动关系分别用相遇与追及两种形式来表示 这样这 道题就类比成行程应用题 男孩与女孩在 A 地 甲在 B 地 如果女孩与甲同时出发 相向 而行 相遇时女孩走了 40 级 如果男孩与甲同时出发 同向而行 当男孩追上甲时 男孩 走了 80 级 已知男孩的速度是女孩的 2 倍 求 A B 两地相距多少级 不难求出男孩走 80 级与女孩走 40 级所用的时间之比为 那么甲在这两次运动中所用的时 间之比为 1 1 所以甲在这两次运动中所行的路程之比也为 1 1 因为甲在这两次运动中共 行路程为 级 所以甲在与女孩做相遇运动中所行的路程为 级 故 A B 两地相距 级 所以当自动扶梯静止时 自动扶梯能看到的部分共有 60 级 6 两个顽皮的孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走 男孩每秒可走 3 级阶梯 女孩每秒可走 2 级阶梯 结果从阶梯的一端到达另一端男孩走了 100 秒 女孩走了 300 秒 问该扶梯共 有多少级 精品文档 14欢迎下载 7 冬冬沿着向上移动的自动扶梯从顶向下走到底 共走了 100 级 相同的时间内 恬恬沿 着自动扶梯从底走到顶共走了 50 级 如果冬冬同一时间内走的级数是恬恬的 2 倍 那么当 自动扶梯静止时 自动扶梯能看到的部分有多少级 8 商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶 两个孩子嫌扶梯走得太慢 于是在行驶的扶梯上 男孩每秒钟向上走 2 个梯级 女孩每 2 秒向上走 3 个梯级 结果男孩用 40 秒钟到达 女孩 用 50 秒钟到达 则当该扶梯静止时 可看到的扶梯级有 解析 这是一个典型的行程问题的变型 总路程为 扶梯静止时可看到的扶梯级 速度 为 男孩或女孩每个单位向上运动的级数 如果设电梯匀速时的速度为 X 则可列方程 如下 X 2 40 X 3 2 50 解得 X 0 5 也即扶梯静止时可看到的扶梯级数 2 0 5 40 100 9 甲步行上楼的速度是乙的 2 倍 一层到二层有一上行滚梯 自动扶梯 正在运行 二人从 滚梯步行上楼 结果甲步行了 级到达楼上 乙步行了 级到达楼上 问这个滚梯共 有多少级 设滚梯长度为 L 滚梯速度为 X 甲速度为 2Y 乙为 Y 则由题意得 L X 2Y 2Y 20 1 L X Y Y 12 2 联立 1 2 得 X 4Y 3 将 3 代入 1 或 2 得 L 60 10 某商场一楼和二楼之间安装了一自动扶梯 以均匀的速度向上行驶 一男孩和一女孩同 时从自动扶梯走到二楼 扶梯行驶 两人也走梯 如果两人上梯的速度都是匀速 每次只跨 1 级 且男孩每分钟走动的级数是女孩的 2 倍 已知男孩走了 27 级到达扶梯顶部 而女孩走了 18 级到达扶梯顶部 1 扶梯露在外面的部分有多少级 2 现扶梯近旁有一从二楼下到一楼的楼梯道 台阶的级数与自动扶梯级数相等 两个孩子各 自到扶梯的顶部后按原速度再下扶梯 到楼梯底部再乘自动扶梯上楼 不考虑扶梯与楼梯之 间的距离 求男孩第一次追上女孩时走了多少级台阶 精品文档 15欢迎下载 11 自动扶梯以均匀的速度向上行驶 一男孩与一女孩同时从自动扶梯向上走 男孩的速 度是女孩的 2 倍 已知男孩走了 27 级到达扶梯的顶部 而女孩走了 18 级到达顶部 问扶 梯露在外面的部分有多少级 12 自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着 两位性急的孩子要从扶梯上楼 已知男孩每分 钟走 20 级梯级 女孩每分钟走 15 级梯级 结果男孩用了 5 分钟到达楼上 女孩用了 6 分 钟到达楼上 问 该扶梯共有多少级 150 13 商声的自动扶梯以匀速由下往上行驶 两个孩子嫌扶梯走得太慢 于是在行驶的扶梯上 男孩每秒向上走 2 梯级 女孩每 2 秒向上走 3 梯级 结果男孩用 40 秒到达楼上 女孩用 50 秒 到楼上 问当该扶梯静止时 扶梯可看到的梯级共有多少级 分析与解答 两个孩子从下走到上 他们各自走过的梯级加上自动扶梯在他们各自需要的时 间内上升 X 级 那么扶梯总的梯级数等于男孩走过的 40 乘以 2 得 80 级国上自动扶梯上升的 40X 级 同样也等于女孩 50 秒走过的 50 除以 2 乘以 3 得 75 级加上自动扶梯上升的 50X 级 列方程可求出解 解设每秒自动扶梯上升 X 级 40 乘 2 加上 40X 50 除以 2 乘以 3 加上 50X 解 X 0 5 扶梯共有 40 乘以 2 加上 40X 等于 100 级 14 哥哥沿向上移动的自动扶梯从顶向下走 共走了 100 级 此时妹妹沿向上的自动扶梯从 底向上走到顶 共走了 50 级 如果哥哥单位时间内走的级数是妹妹的 2 倍 那么 当自动扶梯 静止时 自动扶梯能看到的部分有多少级 设能看到的部分有 n 级 扶梯每秒移动 p 级 妹妹每秒走 x 级 则哥哥每秒走 2x 级 由题可列方程 2x n 2x p 100 1 x n p x 50 2 1 2 2 p x 2x p 2 p x 2x p x 2p 又由 1 所以 n 100 2x p 2x 100 4p p 4p 75 级 所以自动扶梯能看见的部分有 75 级 9 猎狗追兔猎狗追兔问题 猎狗前面26 步远有一只野兔 猎狗追之 兔跑8 步的时间狗跑5 步 兔跑9 步的距离等于 狗跑4 步的距离 问 兔跑多少步后被猎狗抓获 此时猎狗跑了多少步 第一个条件 兔跑9 步的距离等于狗跑4 步的距离 4 9 36 份 把兔子9 步的距离和狗4 步的距离都细 分成36 小份 则兔子一步为4 小份 狗一步为9 小份 这样我们就可以比较兔子步长与狗 步长 精品文档 16欢迎下载 第二个条件 兔跑8步的时间狗跑5 步 在相同的时间内 兔子8 步 等于4 8 32 份 狗 5 步等于5 9 45 份 两者的速度差是45 32 13 小份 猎狗前面26 步远有一只野兔 是26 个狗步 26 9 234 小份 根据追及 路程差 速度差 追及时间 234 13 18 18 个单位时间 兔跑了18 8 144 个步 猎狗跑了18 5 90 步 狼与狗的相遇问题 狼和狗是死对头 见面就要相互撕咬 一天 它们同时发现了对方 它们之间的距离狼要 跑568 步 如果 狼跑9 步的时间狗跑7 步 狼跑5 步的距离等于狗跑4 步的距离 那么从它们同时奔向对 方到相遇 狗跑 了多少步 狼跑了多少步 第一个条件 狼跑5 步的距离等于狗跑4 步的距离 4 5 20 份 则狗一步为5 小份 狼一步为4 小份 这样我们就可以比较狼步长与狗步长 第二个条件 如果狼跑9 步的时间狗跑7 步 在相同的时间内 狼跑9 步 等于4 9 36 份 狗跑7 步等 于5 7 35 份 两者的速度和是36 35 71 小份 它们之间的距离狼要跑568步 568 4 2272 小份 根据相遇 路程和 速度和 相遇时间 2272 71 32 32 个单位时间 狼跑了32 9 288 步 猎狗跑了32 7 224 步 猎狗跑4步的距离 兔子跑9步的距离 狗一步5小份 狼一步 4 小份典型例题 猎狗追赶前方 15 米处的野兔 猎狗跑 3 步的时间野兔跑 5 步 猎狗跑 4 步的距 离野兔要跑 7 步 猎狗至少跑出多少米才能追上野兔 分析过程 猎狗追兔 一般都不给出具体的速度 只会告诉你猎狗跑几步的时间兔子跑几步 猎狗跑几步的距离兔子 需要跑几步 通过这两个关系可以求出猎狗和兔子的速度比 所以 我们根据其他条件 思考怎么把所求结论转化成比例关系 设猎狗至少跑 x 米才能追上野兔 则兔子跑了 x 15 m 因为猎狗和兔子同时跑的 所以他们跑的时间相等 则他们的路程比与速度比相等 所以 把所求的路程 转化成了只需要求狗和兔的速度比 求狗和兔的速度比是每个猎狗追兔问题的关键 在这里给大家介绍三种求狗兔速度比的方法 大家可以专 攻一种方法 对其他方法做简单了解 猎狗追兔问题练习题 1 一只猎狗正在追赶前方 20 米处的兔子 已知狗一跳前进 3 米 兔子一跳前进 2 1 米 狗跳 3 次的时间 兔子可以跳 4 次 问 兔子跑出多远将被狗追上 280 精品文档 17欢迎下载 2 猎狗追赶前方 30 米处的野兔 猎狗步子大 它跑 4 步的路程兔子要跑 7 步 但是兔子动作快 猎狗跑 3 步的时间兔子能跑 4 步 猎狗至少跑出多远才能追上野兔 126 3 在一只野兔跑出 90 米后 猎狗去追它 野兔跑 8 步的路程 猎狗只需跑 3 步 猎狗跑 3 步的时间 野兔能跑 4 步 问猎狗至少跑出多远才能追上野兔 180 4 猎狗追赶前方 35 米处的野兔 猎狗步子大 它跑 4 步的路程兔子要 7 步 但是兔子动作快 猎狗跑 3 步的时间兔子跑 4 步 猎狗至少要跑出多远才能追上野兔 147 5 猎狗追赶前方 50 米处的野兔 猎狗跑 4 步的路程兔子要跑 7 步 但猎狗跑 3 步的时间兔子能跑 5 步 猎 狗至少跑出多远才能追上野兔 1050 6 一只野兔逃出 80 步后猎狗才追它 野兔跑 8 步的路程猎狗只需跑 3 步 猎狗跑 4 步的时间兔子只能跑 9 步 猎狗至少要跑多少步才能追上野兔 192 7 一只野兔逃出 85 步后猎狗才追它 野兔跑 8 步的路程猎狗只需跑 3 步 猎狗跑 4 步的时间野兔能跑 9 步 问 猎狗至少要跑多少步才能追上野兔 204 8 猎人带猎狗追野兔 野兔先跑出 80 步 猎狗跑 2 步的时间等于野兔跑 3 步的时间 猎狗跑 4 步的距离 等于野兔跑 7 步的距离 问猎狗需要多少步可以追上野兔 320 9 一只野兔逃出 66 步后猎狗才追它 野兔跑 8 步的路程猎狗只需跑 3 步 猎狗跑 4 步的时间兔子能跑 7 步 猎狗至少要跑多少步才能追上野兔 72 10 多人行程 11 二次相遇 追及问题 第一讲第一讲 多人多人 或多次或多次 相遇与追及问题相遇与追及问题 1 学会画图解行程题 2 能够利用柳卡图解决多次相遇和追及问题 3 能够利用比例解多人相遇和追及问题 专题一 专题一 多人相遇与追击多人相遇与追击 多人相遇追及问题 即在同一直线上 3 个或 3 个以上的对象之间的相遇追及问题 所有行程问题都是围绕 这一条基本关系式展开的 比如我们遇到 路程速度时间 的两大典型行程题相遇问题和追及问题的本质也是这三个量之间的关系转化 由此还可以 得到如下两条关系式 路程和速度和相遇时间 路程差速度差追及时间 多人相遇与追及问题虽然较复杂 但只要抓住这两条公式 逐步表征题目中所涉及的 数量 问题即可迎刃而解 板块一 多人从两端出发 相遇 追及 精品文档 18欢迎下载 例例 1 难度级别 难度级别 有甲 乙 丙 有甲 乙 丙 3 3 人 甲每分钟走人 甲每分钟走 100100 米 乙每分钟走米 乙每分钟走 8080 米 米 丙每分钟走丙每分钟走 7575 米 现在甲从东村 乙 丙两人从西村同时出发相向而行 在途米 现在甲从东村 乙 丙两人从西村同时出发相向而行 在途 中甲与乙相遇中甲与乙相遇 6 6 分钟后 甲又与丙相遇分钟后