沅江三中高二上学期期终考试数学理科试卷.doc

高二上学期期终考试数学试卷（理科） (时量：120分钟，满分：150分)一、 本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将答案填在答卷的表格里1、等于（ D ）A、 B、 C、 D、2、下列命题错误的是(C)A命题“若x23x20，则x1”的逆否命题为“若x1，则x23x20”B若命题p：xR，x2x10，则“p”为：xR，x2x10C若“pq”为假命题，则p，q均为假命题D“x2”是“x23x20”的充分不必要条件3、设抛物线上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是(B)A. 4 B. 6 C. 8 D. 124、由曲线y=,y=围成的封闭图形面积为（ A ）（A）(B) (C) (D) 5、若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（ B ） A B C D6、已知，则向量的夹角为（ C ）A. B. C. D.7、已知抛物线，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线与、两点，若线段的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（ B ） （A） (B) (C) (D)8、若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为（ C ） A.2 B.3 C.6 D.8二.填空题：（每小题5分, 共35分. 请将答案填在答卷的横线上）9、已知复数z满足，则z=_10、已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点与抛物线的焦点相同.则双曲线的方程为 11、若向量=（1,1,x）, =(1,2,1), =(1,1,1),满足条件,则= . 【答案】212、观察下列等式：,，根据上述规律，第五个等式为 _.13、已知f(x)= 2f(1)，则f(2)=_14、设双曲线的一条渐近线与抛物线y=x+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为_15、如图是函数的导数的图象，对于下列四个命题：在上是增函数；是的极小值点；在上是增函数，在上是减函数；是的极小值点。其中正确的命题的序号是 高二上学期期终考试数学试卷（理科）答卷一、选择题（每小题5分，共40分）题号12345678答案 二、填空题（每小题5分，共35分）9、 ; 10、 ; 11、 ;12、 ; 13、 ; 14、 ; 15、 三，解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16, (12分)已知命题方程有两个不相等的实根；不等式的解集为，若为真，且为假，求实数的取值范围解：由方程有两个不相等的实根，得解得或命题p为真时，或；又由不等式的解集为，得解得命题q为真时，；命题q为假时，或为真，且为假 p真q假由 得或实数的取值范围为或17、(12分) 设、分别是椭圆：的左右焦点。（1）设椭圆上点到两点、距离和等于，写出椭圆的方程和焦点坐标；（2）设是（1）中所得椭圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程；解：（1）由于点在椭圆上，得2=4, 椭圆C的方程为 ，焦点坐标分别为 （2）设的中点为B（x, y）则点 把K的坐标代入椭圆中得线段的中点B的轨迹方程为 18、已知在函数的图象上，以为切点的切线的倾斜角为.（I）求的值；（II）是否存在最小的正整数，使得不等式对于恒成立？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由.解：依题意，得，即因为，所以 .4分（II）由（I）知. 令因为所以，当时，的最大值为. 8分要使得不等式对于恒成立，则所以，存在最小的正整数，使得不等式对于恒成立.20、如图，在四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD为正方形，PDDC，E、F分别是AB、PB的中点(1)求证：EFCD；(2)求DB与平面DEF所成角的正弦值解：以DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(如图)设ADa，则D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，E(a，0)，P(0,0，a)，F(，)(1)证明：(，0，)(0，a,0)0，EFCD.(2)设平面DEF的法向量为n(x，y，z)，由，得，即，取x1，则y2，z1，n(1，2,1)，cos，n.设DB与平面DEF所成角为，则sin.19、数列的通项公式为，设，试求的值，推导出的公式，并证明。证明： ，猜想：，证明如下：假设当时成立，即那么 21、设分别是椭圆E:（ab0）的左、右焦点，过斜率为1的直线与E 相交于两点，且,成等差数列.（)求E的离心率；（）设点P（0,-1）满足,求E的方程.【规范解答】（)由椭圆的定义知，又得 ，的方程为，其中设，则两点坐标满足方程组 化简得，则 ，.因为直线AB斜率为1，所以得 ，故,所以E的离心率.（）设两点的中点为，由（)知，.由，可知.即，得，从而.椭圆E的方程为.备选1，设双曲线的个焦点为F；虚轴的个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（ D ） (A) (B) (C) (D) 2，已知双曲线的一条渐近线方程是y=,它的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为 ( )（A） （B） （C） （D）【规范解答】选B，由题意可得，3，已知抛物线C：过点A （1 , -2）.（I）求抛物线C 的方程，并求其准线方程；（II）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线L，使得直线L与抛物线C有公共点，且直线OA与L的距离等于？若存在，求直线L的方程；若不存在，说明理由.【命题立意】本题考查直线、抛物线等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数方程思想、数形结合思想、化归转化思想、分类与整合思想. 【思路点拨】第一步用待定系数法求出抛物线方程及其准线方程；第二步依题意假设直线l的方程为，联立直线与抛物线的方程，利用判别式限制参数t的范围，再由直线OA与直线l的距离等于列出方程，求解出t的值，注意判别式对参数t的限制. 【规范解答】（I）将代入，得，故所求的抛物线方程为，其准线方程为；（II）假设存在符合题意的直线，其方程为，由得，因为直线与抛物线C有公共点，所以，解得。另一方面，由直线OA与直线的距离等于可得，由于，所以符合题意的直线存在，其方程为.4，已知椭圆（ab0）的离心率e=，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.（）求椭圆的方程；（）设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B，已知点A的坐标为（-a，0）. （i）若，求直线l的倾斜角； （ii）若点Q在线段AB的垂直平分线上，且.求的值.【规范解答】（）解：由e，得.再由，解得a2b.由题意可知，即ab2.解方程组得a=2，b=1. 所以椭圆的方程为.()(i)解：由（）可知点A的坐标是（-2,0）.设点B的坐标为，直线l的斜率为k.则直线l的方程为y=k（x+2）.于是A、B两点的坐标满足方程组消去y并整理，得.由，得.从而.所以.由，得.整理得，即，解得k.所以直线l的倾斜角为或.（ii）设线段AB的中点为M，由（i）得到M的坐标为.以下分两种情况：（1）当k=0时，点B的坐标是（2,0），线段AB的垂直平分线为y轴，于是由，得。（2）当时，线段AB的垂直平分线方程为。令，解得。由，整理得。故。所以。6，长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，AD1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为_解析：建立坐标系如图，则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)，(1,0,2)，(1,2,1)，cos，.答案：7，如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形PA平面ABCD，AP=AB=2， BC=，E，F分别是AD,PC的中点.（）证明：PC平面BEF；（）求平面BEF与平面BAP夹角的大小。（）如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.AP=AB=2， BC=，四边形ABCD是矩形.A，B，C，D的坐标为A(0,0,0),B(2,0,0),C(2, ,0)，D(0，0)，P(0,0,2)又E，F分别是AD，PC的中点，E(0，0),F(1，1).=（2，-2）=（-1，1）=（1,0,1），=-2+4-2=0，=2+0-2=0，PCBF,PCEF, ,来源:Zxxk.ComPC平面BEF（II）由（I）知平面BEF的法向量平面BAP 的法向量 设平面BEF与平面BAP的夹角为，则， 平面BEF与平面BAP的夹角为8，已知直线与双曲线相交于两个不同点、（）求的取值范围；（）若轴上的点到、两点的距离相等，求的值【解析】（）由得2分4分解得：且6分（）设，则7分设为中点，则，即到、两点的距离相等，10分即，解得，或（舍去）12分9，已知f(x)=ex-ax-1.（1）求f(x)的单调增区间；（2）若f(x）在定义域R内单调递增，求a的取值范围；（3）是否存在a,使f(x)在（-，0上单调递减，在0，+）上单调递增？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.解：=ex-a.（1）若a0，=ex-a0恒成立，即f(x)在R上递增.若a0,ex-a0,exa,xlna.f(x)的单调递增区间为(lna,+).（2）f（x）在R内单调递增，0在R上恒成立.ex-a0，即aex在R上恒成立.a（ex）min，又ex0，a0.（3）方法一 由题意知ex-a0在（-，0上恒成立.aex在（-，0上恒成立.ex在（-，0上为增函数.x=0时，ex最大为1.a1.同理可知ex-a0在0，+）上恒成立.aex在0，+）上恒成立.a1，a=1.方法二 由题意知，x=0为f(x)的极小值点.=0,即e0-a=0,a=1.10，已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线y=f(x）在点x=1处的切线为l:3x-y+1=0，若x=时，y=f(x）有极值.（1）求a,b,c的值；（2）求y=f(x）在-3，1上的最大值和最小值.解 （1）由f(x)=x3+ax2+bx+c,得=3x2+2ax+b,当x=1时，切线l的斜率为3，可得2a+b=0 当x=时，y=f(x)有极值，则=0,可得4a+3b+4=0 由解得a=2,b=-4.由于切点的横坐标为x=1,f(1)=4.1+a+b+c=4.c=5.（2）由（1）可得f(x)=x3+2x2-4x+5,=3x2+4x-4,令=0,得x=-2,x=.当x变化时，y,y的取值及变化如下表：x-3(-3,-2)-21 y+0-0+y8单调递增13单调递减单调递增4 y=f（x）在-3，1上的最大值为13，最小值为11、如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA11，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为(D)A.B.C. D.13, 已知某生产厂家的年利润（单位：万元）与年产量（单位：万件）的函数关系式为，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为(c)（A）13万件 (B)11万件 (C) 9万件 (D)7万件14, 已知动点P到直线的距离d1是到定点的距离d2的倍则动点P的轨迹方程 15, 设、分别是椭圆：的左右焦点。（1）设椭圆上点到两点、距离和等于，写出椭圆的方程和焦点坐标；（2）设是（1）中所得椭圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程；（3）设点是椭圆上的任意一点，过原点的直线与椭圆相交于，两点，当直线 ， 的斜率都存在，并记为，试探究的值是否与点及直线有关，并证明你的结论。解：（1）由于点在椭圆上，得2=4, 椭圆C的方程为 ，焦点坐标分别为 （2）设的中点为B（x, y）则点 把K的坐标代入椭圆中得线段的中点B的轨迹方程为 （3）过原点的直线L与椭圆相交的两点M，N关于坐标原点对称 设, 在椭圆上，应满足椭圆方程，得 = 故：的值与点P的位置无关，同时与直线L无关，16，已知函数的导函数的图象如图所示，那么函数的图象最有可能的是（ ）【解析】 A；由的图象知和是的极值点，且时，单调递减，故选A 17，复数等于（ ）A B C D【解析】 C；18，已知函数，其中为实数.() 若在处取得的极值为，求的值;（）若在区间上为减函数，且，求的取值范围.解 ()由题设可知:且， 2分即，解得 4分（）， 5分又在上为减函数， 对恒成立， 6分即对恒成立.且， 10分即，的取值范围是 19，由下列不等式：，你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明解：根据给出的几个不等式可以猜想第个不等式，即一般不等式为：用数学归纳法证明如下：（1）当时，猜想成立；（2）假设当时，猜想成立，即，则当时，即当时，猜想也正确，所以对任意的，不等式成立20，20、已知函数，其中为实数.() 若在处取得的极值为，求的值;（）若在区间上为减函数，且，求的取值范围.解 ()由题设可知:且， 即，解得 （）， 又在上为减函数， 对恒成立， 即对恒成立.且， 即， 的取值范围是 18、设为实数,函数 ()求的极值.()当在什么范围内取值时,曲线与轴仅有一个交点.【解析】(I)=321若=0，则=，=1当变化时，变化情况如下表：(，)(，1)1(1，+)+00+极大值极小值f(x)的极大值是，极小值是(II)函数由此可知，取足够大的正数时，有f(x)0，