教学资料ppt电子教案课件一维随机变量.ppt

第二章随机变量及其分布 2 1一维随机变量 一 随机变量的概念 2 w1 w2 w6 例1抛掷一颗骰子 观察出现的点数 wi 出现i点 x x 引例 例2掷一枚硬币 观察正面 反面出现的情况 记 1 正面朝上 2 反面朝上 x也是定义在 1 2 上的函数 是随机变量 t 0 t 例3从一批灯泡中任取一只 测试其寿命 t为灯泡寿命 定义设随机试验e的样本空间为 如果对于每一个 都有唯一的一个实数x 与之对应 对任意实数x x x 有确定的概率 则称x 为随机变量 通常用大写字母x y z表示 或用小写希腊字母 表示 注意 1 x是定义在 上的实值 单值函数 2 因随机试验的每一个结果的出现都有一定的概率 所以随机变量x的取值也有一定的概率 3 随试验结果不同 x取不同的值 试验前可以知道它的所有取值范围 但不知确定取什么值 一 随机变量的定义 随机变量按其可能取的值 区分为两大类 一类叫离散型随机变量 其特征是只能取有限或可列个值 在例1和例2中 随机变量为离散型随机变量 另一类是非离散型随机变量 在非离散型随机变量中 通常只关心连续型随机变量 它的全部可能取值不仅是无穷多的 不可列的 而是充满某个区间 在例3中 随机变量则为连续型随机变量 确实存在既非离散型也非连续型的随机变量 本教材只介绍离散型和连续型的随机变量 在灯泡寿命试验中 灯泡的寿命不低于1000小时 可用随机变量x表示为 x 1000 例2掷一枚硬币 观察正面 反面出现的情况 记 1 正面朝上 2 反面朝上 在投硬币试验中 正面朝上 可以表示为 x 1 用随机变量表示随机事件 一般地 x k x a a x b 表示一个随机事件 2 2离散型随机变量 如果随机变量的所有可能取值为有限个或无限可列个 这样的随机变量称为离散型随机变量 p x xi pi i 1 2 则称之为离散型随机变量x的分布列 律 或称作离散型随机变量的密度函数 定义设离散型随机变量x所有可能的取值为x1 x2 xn x取各个值的概率 即事件 x xi 的概率为 一 离散型随机变量的分布律 1 非负性 pi 0 i 1 2 2 规范性 且满足两条性质 p x xi pi i 1 2 亦可用下面的概率分布表来表示 则称之为离散型随机变量x的概率分布或分布列 律 定义设离散型随机变量x所有可能的取值为x1 x2 xn x取各个值的概率 即事件 x xi 的概率为 一 离散型随机变量的分布律 1 非负性 pi 0 i 1 2 2 规范性 例1判别下列是否为随机变量x的概率分布为 分布列具有如下性质 例2已知随机变量x的概率分布为 求常数a 解由概率分布的性质得 得15a 1 即 1 非负性 pi 0 i 1 2 2 规范性 分布列具有如下性质 1 两点分布 0 1分布 二 几种常见的离散型随机变量的概率分布 则称x服从两点分布 0 1分布 p为参数 x的分布率为 例3假设某篮球运动员投篮命中率为0 8 x表示他投篮一次命中的次数 求x的概率分布 解用 x 1 表示 投篮一次命中 x 0 表示 投篮一次没命中 则 p x 0 1 0 8 0 2 即x的概率分布为 p x 1 0 8 2 二项分布 则称x服从参数为n p的二项分布 记作 在伯努利试验中 事件a在一次试验中发生的概率为 p 则在n次试验中a发生的次数x是一个随机变量 且 特别当n 1时 二项分布为 即为0 1分布 例4某人射击的命中率为0 02 独立射击400次 求击中目标的次数不小于2的概率 解设 表示射击400次击中目标的次数 则 其分布率为 其中 0是常数 则称x服从参数为 的泊松分布 记为x p 3 泊松分布 k 0 1 2 定义如果随机变量x的概率分布为 当n很大 n 10 p很小 p 0 1 时 令np 其中 0是常数 则称x服从参数为 的泊松分布 记为x p 3 泊松分布 k 0 1 2 定义如果随机变量x的概率分布为 当n较大时 n重贝努里试验中小概率事件出现的次数近似服从泊松分布 例4某人射击的命中率为0 02 独立射击400次 求击中目标的次数不小于2的概率 解设 表示射击400次击中目标的次数 则 4 几何分布 若随机变量x的分布律为 则称x服从参数为p的几何分布 记作x g p k 1 2 0 p 1 在一个伯努利试验中 若x表示事件a首次发生所需要的次数 则x服从参数为p的几何分布 例7某射手射击命中率为p 0 8 现进行射击试验 直到命中为止 假设每次射击是相互独立的 求射击次数x的概率分布 解x g 0 8 其概率分布为 p x k 0 2 k 10 8 k 1 2 在一个伯努利试验中 若x表示事件a首次发生所需要的次数 x g p 则x服从参数为p的几何分布 2 3随机变量的分布函数 设 为随机变量 对于任意实数x 称函数 f x p x x 为随机变量 的分布函数 一 分布函数的定义 f x p x x 例1已知随机变量 的分布见下表 求分布函数 并作出其图形 例1已知随机变量 的分布见下表 求分布函数 并作出其图形 二 离散型随机变量的分布函数 设离散型随机变量x的概率分布为 则x的分布函数为 设随机变量x的分布函数为f x 则 1 对任意实数x 0 f x 1 f x 为有界函数 3 f x 是单调不减函数 即对于任意x1 x2 有f x1 f x2 4 f x 是右连续函数 即f x f x 0 三 分布函数性质 2 f x p x x f x p x x 四 利用分布函数计算随机变量取值于某区间的概率 1 2 p x b f b p x b p x a 1 p x a 1 f a p x a 1 p x a 1 f a 0 f x p x x 3 三连续型随机变量 如果随机变量的所有可能取值不仅是无穷多的 不可列的 而且是充满某个区间 这样的随机变量称为连续型随机变量 设随机变量x的分布函数为f x 如果存在一个非负的可积函数f x 使对任意的实数x 有 则称x为连续型随机变量 f x 称为x的概率密度函数 简称密度函数 这时x的分布称为连续型分布 二 密度函数的性质 1 f x 0 一 定义 二 密度函数的性质 3 在f x 的连续点处有 4 连续型随机变量取任何实数值a的概率等于0 例1下列函数是否是某个随机变量的密度函数 其中d分别为 例2设连续型随机变量 的概率密度为 求 k 解 由概率密度的性质得 而 所以k 3 例2设连续型随机变量 的概率密度为 求 k 例3设随机变量x的分布函数为 求 1 a和b 2 p 1 x 1 3 密度函数 解 1 由分布函数的性质得 2 p 1 x 1 例3设随机变量x的分布函数为 求 1 a和b 2 p 1 x 1 3 密度函数 解 1 由分布函数的性质得 2 p 1 x 1 例4设连续型随机变量x的分布函数为 求 1 系数a和b 2 密度函数 解由与连续型随机变量的分布函数是连续函数 应有 例4设连续型随机变量x的分布函数为 求 1 系数a和b 2 密度函数 1 均匀分布如果连续型随机变量x的概率密度为 三 常见的连续型随机变量的分布 则称x在区间 a b 上服从均匀分布 记为x u a b 1 均匀分布如果随机变量x的概率密度为 则称x在区间 a b 上服从均匀分布 记为x u a b 可知x落在 a b 内任一小区间 c d 内的概率与该小区间的长度成正比 而与该小区间的位置无关 三 常见的连续型随机变量的分布 例1某公共汽车站每隔5分钟有一辆车通过 设乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的 求乘客候车时间不超过3分钟的概率 解设随机变量x表示乘客的候车时间 则x服从 0 5 上的均匀分布 其密度函数为 求乘客候车时间不超过3min的概率 即求x落在区间 0 3 内的概率 2 1 定义若随机变量x的密度函数为 其中 0 为常数 则称x服从参数为 的正态分布 记作x n 2 2 正态分布 1 曲线关于x 对称 即对于任意的h 0有 p h x p x h 显然 x离 越远 f x 的值越小 即对于同样长度的区间 x落在离 越远的区间 概率越小 2 当x 时 函数f x 达到最大值 2 2正态分布的密度函数f x 的图形的性质 2 当x 时 函数f x 达到最大值 3 水平渐近线 x轴 4 固定 改变 值 则 愈小时 f x 图形的形状愈陡峭 图形越向x 集中 x落在 附近的概率越大 1 定义若随机变量x的密度函数为 分布函数为 其中 0 为常数 则称x服从参数为 的正态分布 记作x n 2 2 正态分布 3标准正态分布x n 0 1 即当 0 1时的正态分布 密度函数 分布函数 计算好的数值 x 在附表4中 1 2 4标准正态分布的性质 2 则 4 可查标准正态分布表计算概率 附表4 3 4 查标准正态分布函数表计算概率 例1设x n 0 1 计算p x 2 35 p 1 64 x 0 82 p x 1 54 p x 1 54 1 p x 2 35 2 35 2 p 1 64 x 0 82 0 82 1 64 0 82 1 1 64 0 7434 0 9906 4 p x 1 54 例1设x n 0 1 计算p x 2 35 p 1 64 x 0 82 p x 1 54 p x 1 54 3 p x 1 54 4 查标准正态分布函数表计算概率 设x n 0 1 则 p x a a a 2 a 1 1 54 1 54 2 1 54 1 0 8764 1 p x 1 54 1 0 8764 0 1236 例2设随机变量 求 解 3 指数分布若连续型随机变量x的密度函数为 其中 0是常数 则称x服从参数为 的指数分布 记作x e 分布函数为 指数分布常用来作各种 寿命 分布的近似 如电子元件的寿命 动物的寿命 电话问题中的通话时间都常假定服从指数分布 例11若已使用了t小时的电子产品在以后的 t小时内损坏的概率为 t o t 其中 是不依赖与t的常数 求电子产品在x小时内损坏的概率 假定电子产品寿命为零的概率为零 解设x为电子产品的寿命 则有 例11若已使用了t小时的电子产品在以后的 t小时内损坏的概率为 t o t 其中 是不依赖与t