阅读与思考　一次方程组的古今表示及解法

一次方程组的古今表示及解法襄阳市第三十四中学 王朝阳一教材分析本节内容位于人教版七年级下册初中数学第八章二元一次方程组阅读与思考.这篇供选学用的短文介绍的是有关一次方程组数学史方面的知识，从中国古代数学著作九章算术中的一个问题说起，展示了古代如何用算筹方阵表示和解多元一次方程组.通过对照现代学习的一次方程组，联系高等代数中有关矩阵的内容，指出一次方程组的古今表示法与解法是一脉传承.从而传播数学文化，介绍中国传统数学成就及数学发展的一个侧面，激发学生民族自豪感及责任感.二学情分析及教学问题诊断分析本节内容安排在章节末，学生已经完成了二元及三元一次方程组的认识及解法，能够通过方程组建模解决简单实际问题.但受到阅读能力，生活背景的制约，如何在现代全球语言背景下提炼古代文言文所表达的数学信息，并转化成数学语言，对七年级的学生来说是个难点.三教学目标及重难点1.巩固用多元一次方程组刻画事物间的数量关系，解决实际问题；2.初步了解古代算筹计数及如何用算筹方阵解决实际方程问题；3.体会由古至今数学文化中，建模及消元思想的传承意义；4.感悟中华民族灿烂悠久的数学历史，弘扬中华文化，激发学生爱国热情及个人责任感.根据以上目标分析，本节课的难点在于：在现代背景下了解古代算筹计数法及用算筹方阵表示、解决实际方程问题；重点在于宣扬中华民族灿烂悠久的数学文化，感悟由古至今数学文化中，建模及消元思想的传承.四教学方法本节课采用了“师生互动”、“自主学习”、“合作探究”三种形式，以突出学生在学习过程中主体地位。同时最大限度地发挥教师地指导者、组织者、引导着和规范者作用。本节课选用“算筹”“古书”等教具，采用学生角色扮演古代教书先生的形式，辅佐以多媒体课件，充分营造一个生动活泼、平等民主和谐的课堂氛围.五. 教学过程设计（一）创设情景，明确目标活动1：请一位同学大声朗读本节课的教学目标：1.巩固用多元一次方程组刻画事物间的数量关系，解决实际问题；2.初步了解古代算筹计数及如何用算筹方阵解决实际方程问题；3.体会由古至今数学文化中，建模及消元思想的传承意义；4.感悟中华民族灿烂悠久的数学历史，弘扬中华文化，激发学生爱国热情及个人责任感.活动2：为了更好的达成课堂目标，老师穿越时空，为同学们邀请了一位特殊的教书先生，让我们掌声欢迎问题1：先生手中的书和工具，你们认识吗？【师生互动1】工具： 算 筹 算筹计数法法则：一位数：用直式；多位数：个位用直式，十位用横式，百位用直式，千位用横式，以此类推；遇零则用“ ”.中国古今计数发展史：算筹 算盘 计算器 .【师生互动2】 古书： 九章算术 九章算术成就：九章算术是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右. 全书总结了战国、秦、汉时期的数学成就。书中最早提到分数问题，也首先记录了盈不足等问题，方程章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则。它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系.九章算术早在隋唐时期即已传入朝鲜、日本.它已被译成日、俄、德、法等多种文字版本.【设计意图】通过情景创设、角色扮演、教具展示，激发学生学习兴趣.通过“师生互动1”认识算筹及算筹计数法，了解古今数字的发展；通过“师生互动2”了解九章算术的主要内容及历史成就。初步了解中华民族灿烂悠久的数学文化，激发民族自豪感.（二）古问今答，合作交流问题2：今有牛五、羊二，直金十二两.牛二、羊五，直金九两.问：牛羊各直金几何？【独立作业1】解： 设牛直金x两，羊直金y两，列方程组 5x+2y=12 x = 2 解这个方程组，得 2x+5y=9 y = 1 答：牛直金2两，羊直金1两.问题2小结：（1）在列方程组之前，我们做了哪些准备？（2）列方程组解决实际问题的一般步骤是什么？ 【设计意图】通过问题2巩固复习用二元一次方程组建模，解决实际问题的过程；通过加减消元解方程复习巩固消元思想，和后续古代解决方程问题形成对比，打下铺垫.（三）古今共解，加深认识问题3：问题2，在古代是如何解答的？【师生互动3】牛 羊 金 二元一次方程组 古代算筹方阵 矩 阵 5x+2y=12 5 2 12 2x+5y=9 2 5 9运算过程： 问题3小结：（1）直除法：在一个方程两边同时乘以另一个方程中某个未知数的系 数，然后再累减另一个方程，从而消去这个未知数. 累 减：连续减，减到这一项系数为零. 直除法和累减的本质思想是 消元 思想.（2）古代解决实际方程问题的一般步骤是什么？ 数学问题 （算筹方阵）实际问题 放筹，列算筹方阵 直除法 累 减 （消元）数学问题的解（算筹值）实际问题的答案 检 验【设计意图】通过问题3了解古代如何用算筹方阵解决实际问题，从算筹运算中了解直除法和累减的本质思想是消元思想。对比发现从古至今数学中建模、消元思想的传承. 问题4：上等谷3束，中等谷2束，下等谷3束，可得粮食39斗；上等谷2束，中等谷3束，下等谷1束，可得粮食34斗；上等谷1束，中等谷2束，下等谷3束，可得粮食26斗.求：上、中、下三等谷每束各可得粮食几斗？【独立作业2】（1）试用方程组解决问题4. 解：设每斗上等谷有x束，每斗中等谷有y束，每斗下等谷有z束3x+2y+3z=39 x =37/42x+3y+z=34 解这个方程组，得 y =17/4x+2y+3z=26 z =11/4 答：上等谷束，中等谷束，下等谷束.【小组合作】（2）请尝试将上述方程组转化为算筹方阵.问题4小结：古今对比，在解决实际应用问题时，有何不同和相似之处？【设计意图】加深古今解决方程问题的认识，在对比中再次感受建模及消元思想的传承，感受祖先的智慧和时代的进步，加深自身责任感.（四）谈古论今，归纳总结 你的收获： 你的困惑： （五）目标检测设计1今有上禾七秉，损实一斗，益之下禾二秉，而实一十斗.下禾八秉，益实一斗与上禾二秉，而实一十斗.问上、下禾实一秉各几何？2. 今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻.一雀一燕交而处，衡适平