单缝衍射的计算.doc

单缝衍射的计算李鹏军，付文羽（陇东学院 电气工程学院，甘肃 庆阳 745600）摘 要 ：本文主要讨论在观察点和光源距障碍物都是无限远（平行光束）时的衍射现象，在这种情况下衍射图样中光强的分布时的数学运算。 关键词 ：夫琅禾费单缝衍射；强度；线宽度；角宽度 Abstract: This article mainly discuss the observation points and the light source is apart from the obstacles are infinity, parallel beam diffraction phenomenon, in this case of light intensity distribution in the diffraction pattern of mathematical operations. Key words: Fraunhofer single-slit diffraction；strength；line width；angular breagth.1 引言我们讨论圆孔和直边衍射都是不需要用任何仪器就直接观察到的衍射现象，在这种情况下，观察点和光源距障碍物间的距离有限，在计算光程和叠加后的光强等问题时，都难免遇到繁琐的数学运算。夫琅禾费在18211822年间研究了观察点和光源距离障碍物都是无限远（平行光束）时的衍射现象。在这种情况下计算衍射图样中光强的分布时，数学运算就比较简单。 2夫琅禾费单缝衍射如图1（a）所示，使来自光源的光（如激光）经望远镜系统构成的扩束器扩束或不扩束直接投射到一狭缝上。在狭缝后面放置一透镜，那么在透镜的焦平面上放置的屏幕上将产生明暗相间的衍射图。图1 (b) 是用普通光源拍摄的单狭缝衍射图样，其特点是在中央有一条特别明亮的亮条纹，两侧排列着一些强度较小的亮条纹。相邻的亮条纹之间有一条暗条纹。如以相邻暗条纹之间的间隔作为亮条纹的宽度，则两侧的亮条纹是等宽的，而中央亮条纹的宽度为其他亮条纹的两倍。 3强度的计算由惠更斯菲涅耳原理知，如下图所示，图中狭缝的宽度，平行光束垂直于缝的平面入射时，波面和缝平面重合。将缝分为一组平行于缝长的窄带，从每一条这样的窄带发出次波的振幅正比于窄带。设光波的初相位为0，b为缝的宽度，为整个狭缝所发出在=0的方向上的合振幅，狭缝上单位宽度的振幅为，而宽度为的窄带所发出的次波的振幅为,则狭缝处各窄带所发次波的振动用下式表示： 这些次波都可认为是球面波，各自向前传播。现在，对其中传播方向与原入射方向成角（称为衍射角）的所有各次波进行研究。在入射的平面波面上各次波的相位都相等，光通过透镜后在焦平面F上的同一点处叠加。要计算点的合振幅，必须考虑到各次波的相位关系，这取决于由各窄带到点的光程。现在作平面垂直于衍射方向，根据面上各点的相位分布情况即可确定在点相遇的各次波的相位关系。从平面上各点沿衍射方向通过透镜到达点的光程差都相等，所以只要算出从平面到平面的各平行直线之间的光程差就可以了。设点为波面上的点，点面上的点，令，则，这就是分别从和两点发出的次波沿与平行的方向到达平面时的光程差。于是面上点的光振动的表达式为： 或 其复振幅为 为简化运算，假设各次波到达点时有相同的振幅。根据惠更斯菲涅耳原理，将上式对整个缝宽（从到）积分，最后可得到衍射角的所有次波在观察点叠加起来的和振幅： 令，固点的光强为 4 衍射图样的光强分布当光屏放置在透镜的焦平面上时，屏上出现衍射图样，光强的分布可由 式决定。不同的衍射角对应于光屏上不同的观察点。首先来决定衍射图样中光强最大值和最小值的位置。即为满足光强的一介导数为零的那些点： 由此得 ，分别解以上两式，可得出所有的极值点。（1） 单缝衍射中央最大值的位置 由，解得满足的那个方向，即 （中央最大值的位置）也就是在焦点处，光强为最大。这里，各个次波相位差为零，所以振幅叠加相互加强。（2） 单缝衍射最小值的位置 由，解得满足 的一些衍射方向，即 （最小值位置）时，为零，屏上这些点是暗的。（3） 单缝衍射次最大的位置 在每两个相邻最小值之间有一最大值，这些最大值的亮度比中央亮纹要暗一点，这些最大值叫做次最大值，由图样可知，次最大的位置和最小值位置相差，由公式 的，次最大位置为： 5角宽度，线宽度 亮条纹到透镜中心所张的角度称为角宽度。中央亮条纹和其他亮纹的角度不相等。中央亮条纹的角宽度等于，即等于其他亮条纹角度的2倍，这个结论证明如下：屏上各级最小值到中心的角宽度满足 式。当很小时，它可以近似地写为 由于在最小值的位置公式中，可取所有不为零的正负整数，而中央亮条纹以的最小位置为界限，故近似地写为 若透镜的焦距为，则光屏上所得中央亮条纹的线宽度为 任何两相邻暗纹之间为亮纹，故亮侧亮纹的角宽度为 6结论对于夫琅禾费单缝衍射，由惠更斯菲涅耳原理可知，可以看成是无数相干次波在某一点处的叠加，可以近似看成是光的干涉现象，在进行计算时，应注意观察点，光源在无限远处（可用两个透镜实现），计算时画出衍射图样会让我们分析问题更简单，光的衍射现象的计算反应了障碍物与光波之间限制和扩展的辩证关系，限制范围越小，扩展现象愈显著。其次，它包含着“放大”原理，这是一种光学变换放大。参考文献1 姚启钧