百题多解80、81、82.doc

80p为ABC的边BC上的中线上的一点，BP、CP分别交AC、AB于F、E.求证：EFBC.证法一：过P作BC的PABCDEFNM平行线交AB、AC于M、N.则PM=PN又 EFBC.证法二：作DMAC交BF于M，DNAB交CE于N.则DM=，DN=.NMPABCDEF又 即EFBC.81.ABC中BAC的平分线交BC于D，过A作一圆切BC于D，交AB、AC于E、F。求证：EFBC。.ABCDETF.证法一：AD平分BAC 即又AEF切BC于D、.ABCDETF. 即 EFBC。证法二：连DF，则EFD=EAD=DAC=FDCEFBC。ABCDEFHG82过圆的内接四边形ABCD的顶点C，引CGBD，垂足为G，并延长与DA交于E，过D点引DHCA，垂足为H，并延长交CB于F。求证：EFAB。证法一：A、B、C、D共圆。BCA=BDA，CBA+CDA=180又ECBD于G，DFAC于H。CFH=DEG(等角的余角相等)即CFD=CED。C、D、E、F共圆。即CFE+CDE=180由、得：CBA=CFE，即EFAB。ABCDEFHGNMKL注：1.可通过证FCE=FDE来证C、D、E、F共圆.2.证明CFD=CED的方法较多。如设DF、CE交圆于K、L。作BMDF于M，ANCE于N。先证：CDBK=CDAL；MBF=NAE；证法二：设CE、DF交圆于M、N；CE，DF交于K；连MN。ABCDEFHGKL*NMCEBD于G，DFAC于H。则C、D、H、G共圆，CHK=DGK=90 CKH=DKG HCK=GDK，即ACM=BDN。AM=BN，MNAB 由、得：CKHDKG， 又A、B、C、D共圆，ACB=ADB，即HCF=GDE 由、得：CHFDGE， 由、得：，运用等比定理得；。C、D、E、F共圆。FEC=FDC=NMC，EFMN 由、得：EFAB。注：1.证明MNAB的方法不是一种。如可通过证(设AB、CE交于L) NMC=NDC=CDB+BDN，BLC=BAC+ACK=BDC+BDN。2.可连HG，仿上面证法来证EFAB。3.在证得C、D、E、F共圆后，可采用证法一的方法证或运用两直线平行的其他判定定理来证。AKBCDFHGE证法三：延长CA、FE交于K。C、D、E、F共圆(见证法一或证法二)BCD=AEK BFD=AEC 又A、B、C、D共圆，CBD=CAD=EAK 由、得：BCDAEK， 又CEBD于G，DFAC于H。C、D、H、G共圆。GDH=GCH，即BDF=ACE 由、得：BFDAEC， 由、得：，即。EFAB。 证法四：以AB的中点为原点，AB所在直线为x轴建立如图的直角坐标系。令圆的半径为R，圆心O(0, b )，A(a,0)，B(a,0)设C(x1,y1) ，D(x2,y2)，则有： x12+(y1b)2= x22+(y2b)2=R2= a2+b2，即x12+y12a 2=2by1 ， x22+y22a 2=2by2。xyB(-a,0)A(a,0)D(x2,y2)C(x1,y1)O(0 ,b)EF.HG又，。DFAC，CEBD。，。： ： 又： ： 解、得F的坐标：F解、得E的坐标：E把x1