江苏省连云港市东海高级中学2012-2013学年高三（上）期中数学试卷（理科）(含解析.doc

2012-2013学年江苏省连云港市东海高级中学高三（上）期中数学试卷（理科）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上）1（5分）若集合M=x|x2x0，函数f（x）=log2（1|x|）的定义域为N，则MN=0，1）考点：对数函数的定义域；交集及其运算；一元二次不等式的解法专题：计算题分析：先解不等式求出集合M；再利用对数的真数大于0求出N相结合即可求出MN解答：解：由题得：M=x|x（x1）0=x|0x1=0，1；N=x|1|x|0=x|1x1=（1，1）MN=0，1）故答案为0，1）点评：本题考查对数函数的定义域以及一元二次不等式的解法和集合之间的运算考查学生发现问题解决问题的能力，是基础题2（5分）将函数的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数g（x）的图象，则g（x）的解析式为考点：函数y=Asin（x+）的图象变换专题：计算题；三角函数的图像与性质分析：直接利用左加右减、上加下减的平移原则，推出平移后的函数解析式即可解答：解：将函数的图象向左平移个单位，得到=，再向下平移1个单位，得到函数的图象，所以g（x）的解析式为故答案为：点评：本题考查三角函数的图象的平移变换，值域左加右减以及上加下减的法则，值域平移的方向与x的系数的关系3（5分）已知向量与的夹角为，则在方向上的投影为考点：平面向量数量积的含义与物理意义专题：平面向量及应用分析：由投影的定义可得：在方向上的投影为：，代值计算即可解答：解：由投影的定义可得：在方向上的投影为：，而=cos=故答案为：点评：本题考查向量投影的定义，熟练记准投影的定义是解决问题的关键，属基础题4（5分）给出下列命题，其中正确的命题是 （填序号）若平面上的直线m与平面上的直线n为异面直线，直线l是与的交线，那么l至多与m，n中的一条相交；若直线m与n异面，直线n与l异面，则直线m与l异面；一定存在平面同时与异面直线m，n都平行考点：平面的基本性质及推论专题：证明题分析：当l可以与m，n都相交，但交点不是同一个点时，平面上的直线m与平面上的直线n为异面直线，由此可以判断的真假；根据异面直线的几何特征，及空间线线关系的定义，可以判断的真假；与异面直线m，n公垂线垂直的平面（不过m，n）均于异面直线m，n都平行，由此可以判断的真假；进而得到答案解答：解：是错误的，因为l可以与m，n都相交；是错误的，因为m与l可以异面、相交或平行；是正确的，因为只要将两异面直线平移成相交直线，两相交直线确定一个平面，此平面就是所求的平面故答案为：点评：本题考查的知识点是异面直线的定义及判定，空间直线与直线关系的定义，异面直线的几何特征，熟练掌握空间直线与直线位置关系的定义，特别是正确理解异面直线的定义，几何特征，判定方法是解答本题的关键5（5分）函数f（x）的定义域为R，f（1）=2，对任意xR，f（x）2，则f（x）2x+4的解集为（1，+）考点：利用导数研究函数的单调性；其他不等式的解法专题：计算题分析：构建函数F（x）=f（x）（2x+4），由f（1）=2得出F（1）的值，求出F（x）的导函数，根据f（x）2，得到F（x）在R上为增函数，根据函数的增减性即可得到F（x）大于0的解集，进而得到所求不等式的解集解答：解：设F（x）=f（x）（2x+4），则F（1）=f（1）（2+4）=22=0，又对任意xR，f（x）2，所以F（x）=f（x）20，即F（x）在R上单调递增，则F（x）0的解集为（1，+），即f（x）2x+4的解集为（1，+）故答案为：（1，+）点评：本题考查学生灵活运用函数思想求解不等式，解题的关键是构建函数，确定函数的单调性，属于中档题6（5分）（2010合肥模拟）ABC中，若A=2B，则的取值范围是（1，2）考点：正弦定理的应用专题：计算题分析：先通过正弦定理及A=2B求出=2cosB，再根据A=2B和三角形内角和为180求出B的范围，进而根据余弦函数的单调性求出答案解答：解：，=2cosB，A=2BA+B+C=3B+C=180B=60B60又B0cosB112cosB2故答案为：（1，2）点评：本题主要考查了正弦定理的应用在三角形中解题时要注意角的范围7（5分）（2012黑龙江）已知向量夹角为45，且，则=3考点：平面向量数量积的运算；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角专题：计算题；压轴题分析：由已知可得，=，代入|2|=可求解答：解：，=1=|2|=解得故答案为：3点评：本题主要考查了向量的数量积 定义的应用，向量的数量积性质|=是求解向量的模常用的方法8（5分）（2010江苏二模）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，给出以下四个结论：D1C平面A1ABB1A1D1与平面BCD1相交AD平面D1DB平面BCD1平面A1ABB1上面结论中，所有正确结论的序号为考点：空间中直线与平面之间的位置关系专题：综合题分析：，可由线面平行的定义判断；，可由公理三判断；，可由线面垂直的判定定理判断；，可由面面垂直的判定定理判断解答：解：对于，由于平面A1ABB1平面CDC1D1，而D1C平面CDC1D1，故D1C与平面A1ABB1没有公共点，所以D1C平面A1ABB1正确；对于，由于A1D1BC，所以A1D1平面BCD1，错误；对于，只有ADD1D，AD与平面BCD1内其他直线不垂直，错误；对于，容易证明BC平面A1ABB1，而BC平面BCD1，故平面BCD1平面A1ABB1正确故答案为：点评：本题考查直线与平面的位置关系中的直线在平面内的判定、直线与平面垂直的判定、直线与平面平行的判定、平面与平面垂直的判定，解题时要牢记这些判定定理的条件9（5分）设定义在区间（b，b）上的函数是奇函数（a，bR，且a2），则ab的取值范围是考点：对数函数图象与性质的综合应用专题：函数的性质及应用分析：根据已知中定义在区间（b，b）上的函数是奇函数（a，bR，且a2），结合对数函数的定义域及奇函数的定义，可确定a=2，及b的取值范围，从而由指数函数的单调性，可求ab的取值范围解答：解：定义在区间（b，b）上的函数是奇函数f（x）+f（x）=0+=0=01a2x2=14x2a2a=2令0，可得x，0ba=2，ab的取值范围是（1，故答案为：（1，点评：本题考查函数的性质，考查指数函数的单调性，解题的关键是确定a的值，及b的取值范围10（5分）（2013辽宁一模）已知O是锐角ABC的外接圆圆心，A=，若，则m=sin（用表示）考点：正弦定理；平面向量数量积的运算；两角和与差的余弦函数专题：计算题；压轴题分析：根据题意画出相应的图形，取AB的中点为D，根据平面向量的平行四边形法则可得，代入已知的等式中，连接OD，可得，可得其数量积为0，在化简后的等式两边同时乘以，整理后利用向量模的计算法则及平面向量的数量积运算法则化简，再利用正弦定理变形，并用三角函数表示出m，利用诱导公式及三角形的内角和定理得到cosB=cos（A+C），代入表示出的m式子中，再利用两角和与差的余弦函数公式化简，抵消合并约分后得到最简结果，把A=代入即可用的三角函数表示出m解答：解：取AB中点D，则有，代入得：，由，得=0，两边同乘，化简得：，即，由正弦定理=化简得：C，由sinC0，两边同时除以sinC得：cosB+cosAcosC=msinC，m=sinA，又A=，则m=sin故答案为：sin点评：此题考查了正弦定理，平面向量的数量积运算，三角形外接圆的性质，利用两向量的数量积判断两向量的垂直关系，诱导公式，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键11（5分）正三棱锥SABC中，AB=2，D、E分别是棱SA、SB上的点，Q为边AB的中点，SQ平面CDE，则三角形CDE的面积为 考点：棱锥的结构特征分析：利用条件判断M为SQ的中点，求出 ，代入三角形CDE的面积公式进行运算解答：解：由Q为边AB的中点得SQAB，又SQ平面CDE，得 DEAB，SQCM，设SQ交DE于M点，另由，可得 CQ=SC，M为SQ的中点，从而DE是SAB的中位线，求得，则三角形CDE的面积为 DECM=，故答案为 点评：本题考查棱锥的结构特征，线线、线面平行垂直的判定，勾股定理求线段的长度以及求三角形的面积12（5分）若函数y=ax22ax（a0）在区间0，3上有最大值3，则a的值是1或3考点：二次函数在闭区间上的最值专题：计算题；函数的性质及应用分析：对函数y=ax22ax（a0）进行配方，求出其对称轴，研究函数的图象，对a值进行讨论：a0或a0，两种情况，从而进行求解；解答：解：函数y=ax22ax=a（x1）2a，对称轴为x=1；若a0，f（x）在（0，1）上为增函数，在（1，3）为减函数，f（x）在x=1取极大值也最大值，f（x）max=f（1）=a2a=3，推出a=3；若a0，f（x）在（0，1）上为减函数，在（1，3）为增函数，f（0）=0f（3）=a326a，可得f（3）=3a=3，a=1；综上a=3或1；故答案为3或1；点评：此题主要考查二次函数在闭区间上的最值问题，利用对称轴对函数的单调性进行判断，是解决本题的关键，解题过程中用到了分类讨论的思想，是一道中档题；13（5分）设A是自然数集的一个非空子集，对于kA，如果k2A，且，那么k是A的一个“酷元”，给定S=xN|y=lg（36x2），设集合M由集合S中的两个元素构成，且集合M中的两个元素都是“酷元”，那么这样的集合M有5个考点：元素与集合关系的判断专题：新定义分析：由36x20可解得6x6，又xN，故x可取0，1，2，3，4，5，由题意可知：集合M不能含有0，1，也不能同时含有2，4，通过列举可得解答：解：由36x20可解得6x6，又xN，故x可取0，1，2，3，4，5由题意可知：集合M不能含有0，1，也不能同时含有2，4故集合M可以是2，3、2，5、3，5、3，4、4，5，共5个故答案为：5点评：本题为列举法解决问题，正确理解题目给出的新定义是解决问题的关键，属基础题14（5分）（2013青岛二模）一同学为研究函数f（x）=+（0x1）的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD和BEFC点P是边BC上的一动点，设CP=x，则AP+PF=f（x），请你参考这些信息，推知函数g（x）=4f（x）9的零点的个数是2考点：根的存在性及根的个数判断专题：计算题分析：由题意可得当A、P、F共线 时，f（x）取得最小值为，当P与B或C重合时，f（x）取得最大值为+1g（x）=4f（x）9的零点的个数就是f（x）=的解的个数，而由题意可得 f（x）=的解有2个，从而得出结论解答：解：由题意可得 函数f（x）=+=AP+PF，当A、P、F共线 时，f（x）取得最小值为，当P与B或C重合时，f（x）取得最大值为+1g（x）=4f（x）9=0，即 f（x）=故函数g（x）=4f（x）9的零点的个数就是f（x）=的解的个数而由题意可得 f（x）=的解有2个，故答案为 2点评：本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，体现了化归与转化的数学思想，属于中档题二、解答题15（14分）已知集合A=x|y=，集合B=x|y=lg（x27x12），集合C=x|m+1x2m1（1）求AB；（2）若AC=A，求实数m的取值范围考点：集合关系中的参数取值问题；交集及其运算专题：计算题；分类讨论分析：（1）先化简集合，即解不等式 x25x140和x27x120，再求交集；（2）根据AC=A，得到CA，再m进行讨论，即可求出结果解答：解：（1）A=（，27，+），B=（4，3）AB=（4，3）（2）AC=A，CAC=，2m1m+1，m2C，则或m6综上，m2或m6点评：本题主要考查集合的关系与运算，同时，遇到参数要注意分类讨论体现了分类讨论的数学思想，考查了运算能力，属中档题16（14分）在ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，且满足a2+b2=ab+4，（1）时，若sinC+sin（BA）=2sin2A，求ABC的面积；（2）求ABC的面积等于的一个充要条件考点：解三角形专题：计算题分析：（1）先对sinC+sin（BA）=2sin2A化简整理求得sinB=2sinA进而根据正弦定理求得b=2a，与题设等式联立求得a和b，最后利用三角形面积公式求得答案（2）先看当ABC的面积等于，利用三角形面积公式求得ab的值，与题设等式联立求得a和b，推断出ABC为正三角形求得c；同时看当，ABC是边长为2的正三角形可求得三角形面积为，进而看推断出ABC的面积等于的一个充要条件解答：解：（1）由题意得sin（B+A）+sin（BA）=4sinAcosA，即sinBcosA=2sinAcosA，由cosA0时，得sinB=2sinA，由正弦定理得b=2a联立方程组解得，所以ABC的面积（2）若ABC的面积等于，则，得ab=4联立方程组解得a=2，b=2，即A=B，又，故此时ABC为正三角形，故c=2，即当三角形面积为时，ABC是边长为2的正三角形反之若ABC是边长为2的正三角形，则其面积为故ABC的面积等于的一个充要条件是：ABC是边长为2的正三角形点评：本题主要考查了解三角形问题，正弦定理的应用考查了学生综合分析问题和解决问题的能力17（15分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，BAD=60，AB=2，PA=1，PA平面ABCD，E是PC的中点，F是AB的中点（1）求证：BE平面PDF；（2）求证：平面PDF平面PAB；（3）求三棱锥PDEF的体积考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面平行的判定专题：空间位置关系与距离分析：（1）利用三角形的中位线定理、平行四边形的判定与性质定理及线面平行的判定定理即可证明；（2）利用线面垂直的性质定理和面面垂直的判定定理即可证明；（3）利用等积变形和三棱锥的条件计算公式即可得出解答：（1）证明：取PD的中点为M，连接ME，MF，E是PC的中点，ME是PCD的中位线MECD，ME=又F是AB的中点，且由于ABCD是菱形，ABCD，AB=CD，MEFB，且ME=FB四边形MEBF是平行四边形，BEMFBE平面PDF，MF平面PDF，BE平面PDF（2）证明：PA平面ABCD，DF平面ABCD，DFPA连接BD，底面ABCD是菱形，BAD=60，DAB为正三角形F是AB的中点，DFABPAAB=A，DF平面PABDF平面PDF，平面PDF平面PAB（3）解：E是PC的中点，点P到平面EFD的距离与点C到平面EFD的距离相等，故VPDEF=VCDEF=VEDFC，又SDFC=2=，E到平面DFC的距离h=，VEDFC=点评：熟练掌握线面、面面垂直与平行的判定定理和性质定理及利用等积变形计算三棱锥的体积的方法是解题的关键18（15分）如图，在边长为1的正三角形ABC中，E，F分别是边AB，AC上的点，若，m，n（0，1）设EF的中点为M，BC的中点为N（1）若A，M，N三点共线，求证m=n；（2）若m+n=1，求的最小值考点：向量的共线定理；向量的模专题：计算题；证明题分析：（1）利用向量共线的充要条件得到，据三角形的中线对应的向量等于相邻两边对应向量和的一半，将已知条件代入得到要证的结论（2）利用向量的运算法则：三角形法则将用三角形的边对应的向量表示，利用向量模的平方等于向量的平方，将表示成m的二次函数，求出二次函数的最值解答：解：（1）由A，M，N三点共线，得，设，即，所以，所以m=n（2）因为=，又m+n=1，所以，所以=故当时，点评：本题考查向量共线的充要条件；三角形的中线对应向量等于相邻两边对应向量和的一半；考查向量的运算法则：三角形法则；向量模的平方等于向量的平方；二次函数最值的求法19（16分）已知A、B、C为ABC的三个内角，设f（A，B）=sin22A+cos22B（1）当f（A，B）取得最小值时，求C的大小；（2）当时，记h（A）=f（A，B），试求h（A）的表达式及定义域；（3）在（2）的条件下，是否存在向量，使得函数h（A）的图象按向量平移后得到函数g（A）=2cos2A的图象？若存在，求出向量的坐标；若不存在，请说明理由考点：二倍角的余弦；函数的定义域及其求法；函数y=Asin（x+）的图象变换专题：计算题；三角函数的图像与性质分析：（1）先对已知函数进行配方，结合完全平方数可求当）当f（A，B）取得最小值时，A，B的大小，进而可求C的大小（2）由（1）中C可求A+B，代入h（A）=f（A，B），结合诱导公式及辅助角公式对已知函数进行化简，可求（3）由（2）可求函数h（A）的单调区间，及函数g（A）=2cos2A在相应区间上单调性，根据其单调性是否相同即可判断解答：解：（1）配方得f （A，B）=（sin2A）2+（cos2B）2+1，f （A，B）min=1，当且仅当时取得最小值在ABC中，故C=或（6分）（2）A+B=，于是h（A）=cos2A+3=2cos（2A+）+3A+B=，（11分）（3）函数h（A）在区间上是减函数，在区间上是增函数；而函数g（A）=2cos2A在区间上是减函数函数h（A）的图象与函数g（A）=2cos2A的图象不相同，从而不存在满足条件的向量（16分）点评：本题综合考查了三角函数的诱导公式及辅助角公式及三角函数的单调性等 知识的综合应用，解答本题要求考生具备综合应用知识的能力20（16分）（2013珠海二模）已知函数，（1）若xa时，f（x）1恒成立，求实数a的取值范围；（2）若a4时，函数f（x）在实数集R上有最小值，求实数a的取值范围考点：指数函数综合题；二次函数的性质专题：综合题；函数的性质及应用分析：