用Maple做微积分.doc

用数学软件Maple做微积分作者：徐小湛四川大学数学学院2011年7月22日目 录前言极限 函数极限 单侧极限 分段函数的极限 单向极限 无穷大的极限 数列极限 递归定义的数列的极限导数 显函数的导数 单侧导数 高阶导数 参数方程的导数 隐函数的导数导数的应用 微分中值定理 洛必达法则 切线和法线 渐近线 求方程的根 单调区间和极值 凹凸区间和拐点 曲率积分 不定积分 定积分 广义积分 积分变限函数的导数 定积分的几何应用 面积 旋转体体积 弧长 旋转曲面面积空间解析几何 数量积 向量积 混合积 向量的模和单位化 两点的距离 多元微分学 偏导数 高阶偏导数 全微分 隐函数的偏导数多元微分学的应用 向量函数的导数 空间曲线的切线与法平面 曲面的切平面与法线 梯度与方向导数 二元函数的极值重积分 二重积分 极坐标计算二重积分 三重积分 柱面坐标计算三重积分 球面坐标计算三重积分重积分的应用 曲面的面积 体积曲线积分 第一类曲线积分 第二类曲线积分曲面积分 第一类曲面积分 第二类曲面积分 高斯公式与散度 斯托克斯公式与旋度无穷级数 常数项级数 幂级数的收敛半径与收敛域 幂级数的和函数 函数展开成幂级数 泰勒公式 泰勒级数 傅里叶级数微分方程 一阶微分方程 可分离变量方程 一阶线性方程 高阶微分方程高阶线性微分方程 欧拉方程图形 平面图形 显函数的图形 二元方程的图形 隐函数曲线 参数曲线 极坐标曲线 导数的图形 积分变限函数的图形 平面区域的图形空间图形 显函数曲面 参数曲面 三元方程的图形 隐函数曲面 空间曲线 空间区域 微分方程作图数学家 欧拉 牛顿 莱布尼茨 拉格朗日 阿贝尔 泰勒 麦克劳林 柯西 斯托克斯 高斯 傅里叶 笛卡儿 狄利克雷参考文献前 言Maple是著名的数学软件，具有强大的的数学运算能力和绘图功能。本文档用Maple来计算微积分中的各种习题,并绘制了很多图形。 本文档中所有的例子都是用Maple 13编程和计算的，有的命令在版本较低的Maple可能无法执行。如有对本文档中的内容任何问题，请发邮件到与作者讨论。邮箱：xuxz2011-7-22返回目录极限函数极限自变量趋于有限值的极限例 求极限解 输入：f:=x-sin(x)/x;Limit(f(x),x=0);输出： 或f:=x-sin(x)/x;limit(f(x),x=0); 或f:=x-sin(x)/x:Limit(f(x),x=0)=limit(f(x),x=0); 自变量趋于无穷大的极限例 求极限 （同济六版139页，1（14）题） f:=x-(2*x-1)*exp(1/x);Limit(f(x),x=infinity)=limit(f(x),x=infinity);k:=limit(f(x)/x,x=infinity);b:=limit(f(x)-%*x,x=infinity);JJX:=k*x+b;quxian:=plot(f(x),x=-2.2):jianjinxian:=plot(k*x+b,x=-2.2):display(quxian,jianjinxian,scaling=constrained); 例 求极限。 f:=x-x*sin(a/x);Limit(f(x),x=infinity)=limit(f(x),x=infinity); 单侧极限例 求左极限 f:=x-exp(1/x);Limit(f(x),x=0,left)=limit(f(x),x=0,left); 例 求右极限 f:=x-exp(1/x);Limit(f(x),x=0,right)=limit(f(x),x=0,right); 例 求极限 f:=x-exp(1/x);Limit(f(x),x=0)=limit(f(x),x=0); （极限不存在） 例 求右极限 f:=x-arctan(1/x);Limit(f(x),x=0,right)=limit(f(x),x=0,right); 分段函数的极限例 求函数在处的右极限、左极限和极限。 g:=x-piecewise(x3,x2-6,3arctan(x);Limit(f(x),x=infinity)=limit(f(x),x=infinity); 例 求极限 f:=x-arctan(x);Limit(f(x),x=-infinity)=limit(f(x),x=-infinity); 无穷大的极限例 求右极限 f:=x-exp(1/x);Limit(f(x),x=0,right)=limit(f(x),x=0,right); 返回目录数列的极限例 求极限 f:=n-(1-1/n)n;Limit(f(n),n=infinity)=limit(f(n),n=infinity); 递归定义的数列的极限例 设 ，求。 x0:=0:for n from 1 to 100 doxn:=sqrt(2+xn-1);od:seq(evalf(xn),n=1.20);a:=proc(n) option remember; sqrt(a(n-1)+2); end; a(1):=sqrt(2);plot(seq(n,a(n),n=1.10),style=point); seq(evalf(a(n),n=1.10);limit(a(n),n=infinity); Error, invalid input: limit expects its 2nd argument, p, to be of type Or(name = algebraic,set(name = algebraic), but received 101 = infinity However, because this sequence is defined recursively, Maple is unable to compute the limit./math/Calculus/labs/215/html%20labs/%5BIndex%20215%5D/Sequences%20215%20problem%2002.html 返回目录导数显函数的导数求导函数例 设 ，求导数 f:=x-sin(2*x2+2);Diff(f(x),x);diff(f(x),x);Diff(f(x),x)=diff(f(x),x); 或 f:=x-sin(2*x2+2);D(f);Diff(f(x),x)=D(f)(x); 求某一点的导数例 设 ，求导数。 f:=x-(2*x2+3)*sin(x);D(f)(x);D(f)(2); 用定义求导数导数的定义： 或 例 设 ，求导数。 f:=x-piecewise(x0,x,0piecewise(x0,x,0sin(2*x2+3);diff(f(x),x$2);Diff(f(x),x$2)=diff(f(x),x$2); 或f:=x-sin(2*x2+3);(D2)(f)(x); 或f:=x-sin(2*x2+3):Diff(f(x),x$2)=(D2)(f)(x); 三阶导数f:=x-sin(2*x2+3);Diff(f(x),x$3)=diff(f(x),x$3);或Diff(f(x),x$3)=(D3)(f)(x); 求某一点的二阶导数例 设 ，求二阶导数。 f:=x-exp(x)*cos(2*x2);(D2)(f)(x);(D2)(f)(1); 例 设 ，求010阶导数。 f:=x-1/(x+1);seq(Diff(f(x),x$n)=diff(f(x),x$n),n=1.10); 或f:=x-1/(x+1);seq(Dn)(f)(x),n=1.10); 例 求函数在x=0处的010阶导数。 f:=x-1/(x+1);seq(Dn)(f)(0),n=1.10); 返回目录参数方程的导数参数方程的导数：。 例 设 ，求导数。 x:=t-2*t2;y:=t-sin(t);Dx:=diff(x(t),t);Dy:=diff(y(t),t);DyDx=Dy/Dx; 例 设 ， , 求 。 x:=t-exp(t)*sin(t);y:=t-exp(t)*cos(t);Dx:=D(x)(t);Dy:=D(y)(t);DyDx=Dy/Dx;simplify(%); 或x:=t-exp(t)*sin(t);y:=t-exp(t)*cos(t);a:=Pi/3:Dx:=D(x)(a);Dy:=D(y)(a);DyDx=Dy/Dx;simplify(%); 参数方程的高阶导数参数方程的导数：； 二阶导数： 三阶导数： 例 设 ，求一阶和二阶导数。 x:=t-2*t2;y:=t-sin(t);Y:=D(y)(t)/D(x)(t);Yi:=t-D(y)(t)/D(x)(t);Er:=D(Yi)(t)/D(x)(t);simplify(%); 或用公式 （用微分记号D） x:=t-2*t2;y:=t-sin(t);(D(x)(t)*(D2)(y)(t)-D(y)(t)*(D2)(x)(t)/(D(x)(t)3;simplify(%); （或用记号diff）x:=t-2*t2;y:=t-sin(t);(diff(x(t),t)*diff(y(t),t$2)-diff(x(t),t$2)*diff(y(t),t)/diff(x(t),t)3;simplify(%); 例 设 ，求一阶、二阶、三阶导数。x:=t-2*t2:y:=t-sin(t):Yi:=D(y)(t)/D(x)(t);Yi:=t-D(y)(t)/D(x)(t):Er:=D(Yi)(t)/D(x)(t);Er:=simplify(%);Er:=t-D(Yi)(t)/D(x)(t):San:=D(Er)(t)/D(x)(t);San:=simplify(%); 只显示最终结果：x:=t-2*t2:y:=t-sin(t):Yi:=D(y)(t)/D(x)(t);Yi:=t-D(y)(t)/D(x)(t):Er:=D(Yi)(t)/D(x)(t):Er:=simplify(%);Er:=t-D(Yi)(t)/D(x)(t):San:=D(Er)(t)/D(x)(t):San:=simplify(%); 返回目录隐函数的导数例 设 ，求。 方法一 利用公式：（同济6版下册84页） F:=(x,y)-1-x*exp(y)-y;Fx:=diff(F(x,y),x);Fy:=diff(F(x,y),y);DyDx:=-Fx/Fy; 方法二 直接求导 eq:=1-x*exp(y(x)=y(x);solve(diff(eq, x), diff(y(x),x); （参考：/johnson/calcA98/implicit.html）方法三 利用命令 implicitdiff F:=1-x*exp(y)-y;implicitdiff(F,y,x); 隐函数的二阶导数隐函数的导数： 二阶导数： （同济六版下册84页） 例 设 ，求和 （同济六版上册106页，例4）。 F:=(x,y)-x+sin(y)/2-y;Fx:=diff(F(x,y),x);Fy:=diff(F(x,y),y);Yijie:=-Fx/Fy;Fxx:=diff(F(x,y),x,x);Fxy:=diff(F(x,y),x,y);Fyy:=diff(F(x,y),y,y);Erjie:=-(Fxx*Fy2-2*Fxy*Fx*Fy+Fyy*Fx2)/Fy3; 返回目录导数的应用微分中值定理例 在区间上对函数验证拉格朗日中值定理的正确性。（同济六版，134页，2题）解 即验证存在，使得 f:=x-4*x3-5*x2+x-2;a:=0:b:=1:solve(diff(f(x),x)=(f(b)-f(a)/(b-a);evalf(%); 得到两个解，均在0,1之间。 例 在区间上对函数和验证柯西中值定理的正确性。（同济六版134页，3题） 解 即验证存在，使得f:=x-sin(x);F:=x-x+cos(x);a:=0:b:=Pi/2:solve(D(f)(x)*(F(b)-F(a)=D(F)(x)*(f(b)-f(a);evalf(%); 后一个解在0, Pi/2之间。或指定范围f:=x-sin(x);F:=x-x+cos(x);a:=0:b:=Pi/2:fsolve(D(f)(x)*(F(b)-F(a)=D(F)(x)*(f(b)-f(a),x,0.Pi/2);（求指定范围内的根） 返回目录洛必达法则由于Maple直接计算极限，因此洛必达法则已无必要。见函数极限部分。切线和法线1显函数曲线的切线和法线 曲线 y = f(x) 在点 P(x0, f(x0) )处的切线方程： 曲线 y = f(x) 在点 P(x0, f(x0) )处的法线方程： （同济六版，84页）例 求在处的切线和法线方程。 f:=x-x2;a:=1;y-f(a)=D(f)(a)*(x-a);y-f(a)=(-1/D(f)(a)*(x-a); 或f:=x-x2;a:=1;y=f(a)+D(f)(a)*(x-a);y=f(a)+(-1/D(f)(a)*(x-a); 例 求在处的切线和法线方程，并作图。 f:=x-sin(x);a:=1;T:=f(a)+D(f)(a)*(x-a);N:=f(a)+(-1/D(f)(a)*(x-a);with(plots):plot(f(x),T(x),N(x),x=-1.3,thickness=3,scaling=constrained); 2. 参数曲线的切线和法线参数曲线在点P(x(t0), y( t0) 处的 切线方程： 法线方程： 例 求在处的切线和法线方程。 公式：切线： 法线： x:=t-t2;y:=t-sin(t);a:=1:y=y(a)+(D(y)(a)/D(x)(a)*(x-x(a);y=y(a)-(D(x)(a)/D(y)(a)*(x-x(a);with(plots):quxian:=plot(x(t),y(t),t=-2.2,color=red):qiexian:=plot(x(a)+D(x)(a)*t,y(a)+D(y)(a)*t,t=-2.2,color=blue):faxian:=plot(x(a)+D(y)(a)*t,y(a)-D(x)(a)*t,t=-2.2,color=green):display(quxian,qiexian,faxian,thickness=3,scaling=constrained); 或用公式：切线 法线 x:=t-t2;y:=t-sin(t);a:=1:(y-y(a)*D(x)(a)=D(y)(a)*(x-x(a);D(x)(a)*(x-x(a)+(y-y(a)*D(y)(a)=0; 3一般方程 (隐函数) 曲线的切线和法线例 求曲线在处的切线和法线方程，并作图。 F:=(x,y)-2*x2+y2-3;m:=(x,y)-D1(F)(x,y)/D2(F)(x,y);x0:=1:y0:=1:y=y0+m(x0,y0)*(x-x0);y=y0-(1/m(x0,y0)*(x-x0);with(plots):quxian:=implicitplot(F(x,y)=0,x=-2.2,y=-2.2):qiexian:=plot(y0+m(x0,y0)*(x-x0),x=-1.2,color=blue):faxian:=plot(y0-(1/m(x0,y0)*(x-x0),x=-2.2,color=green):display(quxian,qiexian,faxian,scaling=constrained,thickness=3); 或利用公式： 曲线在点P(x0, f(x0) ) 处的 切线方程： 法线方程： F:=(x,y)-2*x2+y2-3;Fx:=D1(F);Fy:=D2(F);x0:=1:y0:=1:Fx(x0,y0)*(x-x0)+Fy(x0,y0)*(y-y0)=0;Fy(x0,y0)*(x-x0)=Fx(x0,y0)*(y-y0);with(plots):quxian:=implicitplot(F(x,y)=0,x=-2.2,y=-2.2):qiexian:=plot(y0+m(x0,y0)*(x-x0),x=0.2.2,color=blue):faxian:=plot(y0-(1/m(x0,y0)*(x-x0),x=-2.2,color=green):display(quxian,qiexian,faxian,scaling=constrained,thickness=3); 返回目录渐近线例 求曲线的渐近线，并作图。（同济六版168页，例3） f:=x-1+36*x/(x+3)2;A:=Limit(f(x),x=infinity)=limit(f(x),x=infinity);J1:=y=1;x0:=-3;B:=Limit(f(x),x=x0)=limit(f(x),x=x0);J2:=x=x0;with(plots):quxian1:=plot(f(x),x=-1.7.20,thickness=2):quxian2:=plot(f(x),x=-20.-5.3,thickness=2):JJX1:=plot(1,x=-20.20,thickness=2,color=blue):JJX2:=plot(x0,y,y=-35.10,thickness=2,color=brown):display(quxian1,quxian2,JJX1,JJX2);（水平渐近线）（铅直渐近线）例 求曲线的斜渐近线，并作图。（同济六版76页，14题） f:=x-(2*x-1)*exp(1/x);Limit(f(x),x=infinity)=limit(f(x),x=infinity);k:=limit(f(x)/x,x=infinity);b:=limit(f(x)-%*x,x=infinity);JJX:=k*x+b;with(plots):quxian:=plot(f(x),x=0.4.3,thickness=2):jianjinxian:=plot(k*x+b,x=-2.3,thickness=2,color=blue):display(quxian,jianjinxian);（斜渐近线）例 求曲线的铅直渐近线，并作图。（同济六版76页，14题） f:=x-(2*x-1)*exp(1/x);x0:=0;B:=Limit(f(x),x=x0,right)=limit(f(x),x=x0,right);JJX:=x=x0;with(plots):quxian:=plot(f(x),x=0.16.2,thickness=2):jianjinxian:=implicitplot(x=x0,x=-1.1,y=-360.20,thickness=3,color=blue):display(quxian,jianjinxian);（铅直渐近线）返回目录求方程的根例 求方程的实根，并作图。（同济六版179页，例1） f:=x-x3+1.1*x2+0.9*x-1.4;solve(f(x)=0,x);plot(f(x),x=-2.2,thickness=2); 第一个为实根或指定范围f:=x-x3+1.1*x2+0.9*x-1.4;fsolve(f(x)=0,x,0.1);（求区间（0,1）内的根） 例 求方程的实根，并作图。 f:=x-x3+x2-2*x-1;plot(f(x),x=-2.2,thickness=2);fsolve(f(x)=0,x);fsolve(f(x)=0,x,-1.1);fsolve(f(x)=0,x,-2.0);fsolve(f(x)=0,x,1.2); （区间（-1,1）内的根） （区间（-2,0）内的根） （区间（1,2）内的根） 返回目录单调区间和极值例 求函数的单调区间，并作图。 f:=x-x3-2*x+3;solve(D(f)(x)=0,x);plot(f(x),x=-2.3,thickness=2); 例 求函数的单调区间、极值，并作图。 f:=x-x/(x2+2);plot(f(x),x=-5.5,thickness=2); solve(D(f)(x)=0,x);Min:=f(-sqrt(2);Max:=f(sqrt(2); 例 求函数在内的极值，并作图。 f:=x-2*sin(2*x)2-(5/2)*cos(x/2)2;plot(f(x),x=0.Pi,thickness=2);x1:=fsolve(D(f)(x)=0,x,0.5.1);Max:=f(x1);x2:=fsolve(D(f)(x)=0,x,1.2);Min:=f(x2);x3:=fsolve(D(f)(x)=0,x,2.3);Max:=f(x3); 返回目录凹凸区间和拐点例 求曲线的凹凸区间，并作图。 f:=x-x3-2*x2+3*x+2;solve(D2)(f)(x)=0,x);plot(f(x),x=-1.2,thickness=2); 例 求曲线的凹凸区间和拐点，并作图。 f:=x-x/(2+x2);plot(f(x),x=-2.2,thickness=2); solve(D2)(f)(x)=0,x);GD1:=;GD2:=;GD2:=; （拐点） （拐点） 返回目录曲率（1）曲线的曲率：（2）参数曲线 的曲率：例 求曲线的曲率。（同济六版上册，177页，2题） y:=x-ln(sec(x);K:=abs(diff(y(x),x$2)/(1+diff(y(x),x)2)(3/2); 注：可以人工化简为。 或y:=x-ln(sec(x);a:=(D2)(y)(x);b:=D(y)(x);K:=a/(1+b2)(3/2); 例 求曲线在的曲率。（同济六版上册173页，例1） y:=x-1/x;a:=(D2)(y)(1):b:=D(y)(1):K:=a/(1+b2)(3/2); 例 求椭圆在处的曲率。（同济六版上册177页，1题） x:=t-cos(t);y:=t-2*sin(t);t0:=Pi/2;a:=D(x)(t0):b:=D(y)(t0):c:=(D2)(x)(t0):d:=(D2)(y)(t0):K:=abs(a*d-b*c)/(a2+b2)(3/2); 例 求星形线在处的曲率。（同济六版上册177页，4题） x:=t-a*cos(t)3;y:=t-a*sin(t)3;a1:=D(x)(t0):b:=D(y)(t0):c:=(D2)(x)(t0):d:=(D2)(y)(t0):K:=abs(a1*d-b*c)/(a12+b2)(3/2);K:=simplify(%);教材上的答案是： 。Maple给出的答案已经很不错了。或利用曲率命令：x:=t-a*cos(t)3:y:=t-a*sin(t)3:with(VectorCalculus):Curvature(,t):K:=simplify(%);返回目录积分不定积分求不定积分（原函数）例 求函数的原函数。 f:=x-x2+sin(x)+1;Integrate(f(x),x);integrate(f(x),x);Integrate(f(x),x)=integrate(f(x),x); 例 求不定积分：。 f:=x-x*arctan(x):Integrate(f(x),x)=integrate(f(x),x); 返回目录定积分牛顿-莱布尼茨公式： 例 求函数的定积分：。 f:=x-x2+sin(x)+1:a:=0:b:=1:Integrate(f(x),x=a.b);integrate(f(x),x=a.b);Integrate(f(x),x=a.b)=integrate(f(x),x=a.b); 求数值解f:=x-x2+sin(x)+1:a:=0:b:=1:m:=integrate(f(x),x=a.b):f:=x-x2+sin(x)+1:Integrate(f(x),x=a.b)=m;Integrate(f(x),x=a.b)=evalf(m); 例 求定积分：。 f:=x-1/sqrt(1-x2):Integrate(f(x),x=0.1/2)=integrate(f(x),x=0.1/2); 返回目录广义积分例 求广义积分：。 f:=x-x*exp(-2*x):Integrate(f(x),x=0.infinity)=integrate(f(x),x=0.infinity); 例 求广义积分：。 f:=x-1/(1+x2):Integrate(f(x),x=-infinity.2)=integrate(f(x),x=-infinity.2);Integrate(f(x),x=-infinity.2)=evalf(integrate(f(x),x=-infinity.2); 例 求广义积分：。 f:=x-1/(3+x2):a:=-infinity:b:=infinity:Integrate(f(x),x=a.b)=integrate(f(x),x=a.b);Integrate(f(x),x=a.b)=evalf(integrate(f(x),x=a.b); 例 求广义积分：。 f:=x-1/x2:a:=0:b:=1:Integrate(f(x),x=a.b)=integrate(f(x),x=a.b); 返回目录积分变限函数的导数例 求导数：。 f:=x-x*exp(-x);F:=Integrate(f(t),t=0.x);Diff(F,x)=diff(F,x); 例 求导数：。 f:=x-x*exp(-x);F:=Integrate(f(t),t=ln(x).x2);Diff(F,x)=diff(F,x); 返回目录定积分的几何应用面积曲线和轴之间的曲边梯形的面积为：例 求曲线与x所围成的图形的面积，并作图。 f:=x-x3-2*x;solve(f(x),x);A:=Integrate(abs(f(x),x=-sqrt(2).sqrt(2)=integrate(abs(f(x),x=-sqrt(2).sqrt(2);with(plots):quxian:=plot(f(x),x=-2.2,thickness=2):quyu:=plot(f(x),x=-sqrt(2).sqrt(2),filled=true,color=green):display(quxian,quyu,scaling=constrained); 设，则曲线和之间的图形的面积为： 例 求两曲线所围成的图形的面积，并作图。 曲线和之间的图形的面积为：例 求两曲线（）所围成的图形的面积，并作图。 f:=x-sin(x);g:=x-sin(2*x);solve(f(x)=g(x),x);A:=Integrate(abs(f(x)-g(x),x=0.Pi)=integrate(abs(f(x)-g(x),x=0.Pi);with(plots):plot(f(x),g(x),x=0.Pi,thickness=2); 例 求心形线所围成的图形的面积。（同济六版