简单的论述哈密顿原理.doc

简单的论述哈密顿原理摘要：证明力积分变量与变分无关的情况下积分运算与变分运算次序的可交换性，从不同角度论述了哈密顿原理的含义。关键词：哈密顿原理，拉格朗日函数，变分，拉格朗日方程1. 引言哈密顿原理是分析力学中几个重要原理之一，但它不是一个独立原理，它可已从其他原理推导出来，因而可以从不同角度说明它的物理含义。一般理论力学教材都是在拉格朗日方程两边同时乘以虚位移求所有自由度下的虚功之和，然后再求从位形1即q1(=1,2,S) 到位形2，即 q 2(=1,2,s)之间或时间t1至t2之间的作用量得出t1t2Ldt=0，最后变换成t1t2Ldt=0，并没有说明最后一步为什么要那样做，也没有说明那样做的意义。本文先证明当积分变量与变分无关的条件下积分运算与变分运算次序的可交换性，然后再从不同角度论述哈密顿原理的意义。2. 理论2.1变分运算与积分运算次序的可交换性假定变量F由一个或一组函数yi=yix,i=1,2,n的选取而确定，则变量F称为函数yi=yix,i=1,2,n的泛函，记作Fy1x,y2x,ynx。泛函F 由n个函数的形式确定，是函数的“函数”。泛函与函数的概念略有不同，函数中的变量是可以变化的数值，而对于泛函处于自变量地位的是形式可以变化的函数。下面举例说明，如图1中有A，B两个固定点，连接两个固定点之间的曲线的长度J由下式确定，即J=XAxB1+dy/dx2dx 显然，F依赖于函数yx的选取，若函数yx的形式发生变化，则曲线的形状随之变化，曲线的长度也随之变化。长度J 就是yx的泛函。下面证明变分运算与积分运算顺序的可交换性，该泛函只依赖一个函数，即 J=xAxAFyx,yx,xdx (1)自变量为x的函数表示为yx。函数的变分是函数的微变量，它与函数的微分有本质有本质的不同，函数的微分dy=ydx，粗略的讲，它是由自变量x的变化引起的。而函数的变分不是因为自变量x 的变化，它是来自函数形式的变化引起，这种由于函数形式变化造成的函数的变化称为函数的变分，记作y。与函数y临近但形式与y不同的函数有许多。假设这些函数可以表示为如下的形式：yx,=yx,0+xyx,=yx,0+x 2其中 是非常小的参数，x是任意给定的可微函数，因=0时yx,0=yx，函数形式的变化决定于上式的第二项。因此函数的变分写成y=yx,-yx,0=xy=x引入（2）式的记法（1）可记为J=xAxBFyx,0+x,yx,0+x,xdx被积函数Fyx,yx,x的形式是已知的，积分的上下限是固定的。当函数yx的形式上发生变化时，泛函就会发生变化，这种由于函数形式的变化引起泛函的变化就为泛函J的变分，记作J。现将被积函数 F=Fyx,0+x,yx,0+x,x在 =0处展开，并只保留线性部分，Fyx,0+x,yx,0+x,x= Fyx,yx,x+Fy=0dy+Fy=0dy+Fxdx = Fyx,yx,x+Fy=0x+Fy=0x+Fydx注意F=Fyx,0+x,yx,0+x,x的变分不包含（3）式中的最后一项，因F是由于处于自变量地位的yx的形式变化引起的，而不是因为x变化引起的，故泛函 F（y,y,x) 的变分为F=Fyx,0+x,yx,0+x,x-Fyx,yx,x=Fy=0x+Fy=0x而F=xAxBFyx,0+x,yx,0+x,xdx-xAxAFyx,yx,xdx=xAxBFyx,0+x,yx,0+x,x-Fyx,yx,xdx=xAxBFdx上式积分变量为x，变分是由yx的形式变化引起，因此积分变量与变分无关时，积分次序与变分次序可以交换。哈密顿原理的数学表达式为 t1t2Ldt=0 (4)在（4）中L代表体系的拉格朗日函数，其表达式为L=T-V，即体系的动能和势能之差，哈密顿称t1t2Ldt为作用函数，它的量纲为功和时间的乘积，单位为Js。当它表示为端点时间和位置的函数时，也叫主函数，并以S表示。如图2所示，满足约束许可条件的轨道有许多条。其中实线为真实轨道，而虚线为真实轨道附近只满足约束所许可的条件，图2只画了一条。原理的含义为在约束所许可的许多条可能轨道中真实轨道的作用函数的变分为零。此原理给出了在卫星1即 q1(=1,2,S) 到位形2，即 q 2(=1,2,s) 之间真实轨道必须满足的条件就是哈密顿原理。 哈密顿原理是在拉格朗日方程 ddtLq-Lq=0 =1,2,s （5）的两端同乘以q 然后对 从1到S求和 =1sddtLq-Lqq=0 （6）再对（6）从t1 到 t2积分，即 t1t2=1sddtLq-Lqqdt=0 7因为 ddtLqq=ddtLqq-Lqq 8把（8）代入（7）式得 t1t2=1sddtLqqdt-t1t2=1sddtLqq-Lqqdt=0 9利用初始条件q t=t1=qt=t2=0 知（9）式左边第一项为零，从而有 t1t2=1sddtLqq-Lqqdt=0 10因为（5）式中积分变量为t，而变分是由L的形式变化引起，积分变量与变分无关，所以积分与变分的次序可以交换，即可得到（4）的结果。对于哈密顿原理的判断：保守的，完整的力学体系在相同时间内，由某一初位形转移到另一已知位形的一切可能运动中，真实运动的主函数具有稳定性。即对于真实运动来讲，主函数的变分等于零卖。从数学角度结果无可非议，但大部分教材并没有说明为什么要这样做，也没有说明哈密顿原理的物理含义，下面将从不同角度说明讨论保守，完整体系哈密顿原理的必然性和深刻含义。2.2从不同角度理解哈密顿原理2.2.2从对拉格朗日方程的二次积分意义角度理解众所周知，拉格朗日函数L它是体系的动能和势能之差L=T-V，它是体系的一个特性函数，表征者约束，运动状态，相互作用等性质。它的表达式中只含有广义速度，广义坐标和时间，即L=L(q,q,t) (=1,2,S) 11（）式可以看作拉格朗日方程的第一积分或首次积分。而 t1t2Ldt 12可以看作拉格朗日方程的二次积分，积分的最终形式为Fq1,q2,q3,qs,t=C 13（）式的C为积分常数。11式实际上就是蕴含体系运动规律的轨道方程，那么就在位形和位形之间从众多约束所许可的可能轨道中挑选出真实轨道必有t1t2Ldt=0，即真实轨道只有一条，所以真实轨道方程的变分为零。也就是（）式所示的哈密顿原理的数学表达式。而且还可以把上式写成微分形式，因为对给定的体系，选定的广义坐标和给定的位形拉格朗日函数的吗形式唯一，故哈密顿原理的变分形式可表示为L=0。2.2.2从虚功角度理解拉格朗日方程（）式的左端每一项的量纲都为广义力，其意义为体系在主动力和惯性力的作用下，在非惯性系中作惯性运动或保持相对平衡。给（）式的左端每一项乘以q即（）式，求出从位形变化到位形或体系从t1时刻到t2时刻过程中总的加权（时间为权）虚功，即作用量。若总的虚作用量为零，说明体系仍处于相对平衡，它所走的轨道为实际轨道。否则，说明体系的轨道就不是真实轨道。换句话说，要让体系运动的轨道为实际轨道，则在任何时间间隔内对体系的虚作用量必须为零。2.2.3从达朗伯拉格朗日方程的变形结果理解达朗伯拉格朗日方程i=1nFi-miairi=0记 W=i=1nFiri W=i=1n-miairi=-ddti=1nmiviri+i=1nmividdtri=-ddti=1nmiviri+i=1nTiW-T=ddti=1nmivirit1t2W-Tdt=-t1t2ddti=1nmiviridt=-i=1nmivirit1t2=0从而有t1t2Wdt=t1t2Tdt对于保守系来说，其中主动力为保守力或有势力，所以上式的左边可表示为t1t2W+i=1nFiridt=0t1t2T-i=1nVixii+Viyij+Vizik(xii+yij+zik)dt=0t1t2T-i=1nVixixi+Viyiyi+Vizizidt=0t1t2T-Vdt=0t1t2T-Vdt=t1t2Ldt=0从推导结果看对完整，保守系来说，体系在真实轨道中必有动能和势能的虚作用量数量相等符号相反，即动能的虚增量为多少，势能的虚减小量就为多少，同样得到了（）的结果。3. 结论综上所述，本文首先证明了在积分变量与变分无关时，积分运算与变分次序的可交换性，使初学者对此有了更清楚的认识。其次分别从拉格朗日方程的二次积分意义，从虚功的角度，从能量转化的角度，对哈密顿原理作了深层次的剖析和论证。参考文献： 1Zhou yanbai, Theory Mechanics Tutorial M.1986.2Zhang Jianshu,Sun Xiujun,Zhang Zhengjun. Theory MechanicsM2005.3Chen Shimin. Theory Mechanics a simple tutorialM2008.3Lu Shengzhi. Theory Mechanics basic tutorialM2004.A SIMPLE DISCUSSION OF HAMILTONS PRINCIPLE UM WELLAbstract: Prove the power of the variable of integration and variational unrelated to calculus and