2007中考压轴题分析含解题过程(1).doc

2007年全国各地中考试题压轴题精选全解之一1（北京市）25我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；（2）如图，在中，点分别在上，设相交于点，若，请你写出图中一个与相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；（3）在中，如果是不等于的锐角，点分别在上，且探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论解：（1）回答正确的给1分（如平行四边形、等腰梯形等）（2）答：与相等的角是（或）四边形是等对边四边形（3）答：此时存在等对边四边形，是四边形证法一：如图1，作于点，作交延长线于点图1因为，为公共边，所以所以因为，所以可证所以所以四边形是等边四边形证法二：如图2，以为顶点作，交于点图2因为，为公共边，所以所以，所以因为，所以所以所以所以所以四边形是等边四边形说明：当时，仍成立只有此证法，只给1分2（上海市）25.已知：，点在射线上，（如图10）为直线上一动点，以为边作等边三角形（点按顺时针排列），是的外心（1）当点在射线上运动时，求证：点在的平分线上；（2）当点在射线上运动（点与点不重合）时，与交于点，设，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）若点在射线上，圆为的内切圆当的边或与圆相切时，请直接写出点与点的距离图10备用图（1）证明：如图4，连结，是等边三角形的外心，圆心角当不垂直于时，作，垂足分别为由，且，点在的平分线上当时，即，点在的平分线上综上所述，当点在射线上运动时，点在的平分线上图4图5（2）解：如图5，平分，且，由（1）知，定义域为：（3）解：如图6，当与圆相切时，；如图7，当与圆相切时，；如图8，当与圆相切时，图6图7图83（天津市）26. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，且满足，。（1）试证明；（2）证明；（3）对于二次函数，若自变量取值为，其对应的函数值为，则当时，试比较与的大小。解：（1）将已知的一元二次方程化为一般形式即 是该方程的两个实数根 ，而 （2） 于是，即 （3）当时，有 ， 又 ， 于是 由于， ，即 当时，有4(重庆市) 28已知，在RtOAB中，OAB900，BOA300，AB2。若以O为坐标原点，OA所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内。将RtOAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处。（1）求点C的坐标；（2）若抛物线（0）经过C、A两点，求此抛物线的解析式；（3）若抛物线的对称轴与OB交于点D，点P为线段DB上一点，过P作轴的平行线，交抛物线于点M。问：是否存在这样的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由。注：抛物线（0）的顶点坐标为，对称轴公式为解: （1）过点C作CH轴，垂足为H在RtOAB中，OAB900，BOA300，AB2OB4，OA由折叠知，COB300，OCOACOH600，OH，CH3C点坐标为（，3）2）抛物线（0）经过C（，3）、A（，0）两点 解得： 此抛物线的解析式为： （3）存在。因为的顶点坐标为（，3）即为点C MP轴，设垂足为N，PN，因为BOA300，所以ON P（，） 作PQCD，垂足为Q，MECD，垂足为E把代入得： M（，），E（，） 同理：Q（，），D（，1） 要使四边形CDPM为等腰梯形，只需CEQD 即，解得：，（舍） P点坐标为（，） 存在满足条件的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形，此时P点的坐为（，）DEKPQCBA图165(河北省)26. 如图16，在等腰梯形ABCD中，ADBC，AB=DC=50，AD=75，BC=135点P从点B出发沿折线段BA-AD-DC以每秒5个单位长的速度向点C匀速运动；点Q从点C出发沿线段CB方向以每秒3个单位长的速度匀速运动，过点Q向上作射线QKBC，交折线段CD-DA-AB于点E点P、Q同时开始运动，当点P与点C重合时停止运动，点Q也随之停止设点P、Q运动的时间是t秒（t0）（1）当点P到达终点C时，求t的值，并指出此时BQ的长；（2）当点P运动到AD上时，t为何值能使PQDC？（3）设射线QK扫过梯形ABCD的面积为S，分别求出点E运动到CD、DA上时，S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）（4）PQE能否成为直角三角形？若能，写出t的取值范围；若不能，请说明理由解：（1）t=（507550）5=35（秒）时，点P到达终点CFGDEKPQCBA图9HQKCHDEPBA图8此时，QC=353=105，BQ的长为135105=30（2）如图8，若PQDC，又ADBC，则四边形PQCD为平行四边形，从而PD=QC，由QC=3t，BA+AP=5t得50755t=3t，解得t=经检验，当t=时，有PQDC（3）当点E在CD上运动时，如图9分别过点A、D作AFBC于点F，DHBC于点H，则四边形ADHF为矩形，且ABFDCH，从而FH= AD=75，于是BF=CH=30DH=AF=40又QC=3t，从而QE=QCtanC=3t=4t（注：用相似三角形求解亦可）S=SQCE=QEQC=6t2；当点E在DA上运动时，如图8过点D作DHBC于点H，由知DH=40，CH=30，又QC=3t，从而ED=QH=QCCH=3t30S= S梯形QCDE=(EDQC)DH =120 t600（4）PQE能成为直角三角形当PQE为直角三角形时，t的取值范围是0t25且t或t=35（注：（4）问中没有答出t或t=35者各扣1分，其余写法酌情给分）下面是第（4）问的解法，仅供教师参考：当点P在BA（包括点A）上，即0t10时，如图9过点P作PGBC于点G ，则PG=PBsinB=4t，又有QE=4t= PG，易得四边形PGQE为矩形，此时PQE总能成为直角三角形当点P、E都在AD（不包括点A但包括点D）上，即10t25时，如图8图10DEKPQCBAC(P)DF(Q)BA(E)图11由QKBC和ADBC可知，此时，PQE为直角三角形，但点P、E不能重合，即5t503t3075，解得t当点P在DC上（不包括点D但包括点C），即25t35时，如图10由ED25330=45，可知，点P在以QE=40为直径的圆的外部，故EPQ不会是直角由PEQDEQ，可知PEQ一定是锐角对于PQE，PQECQE，只有当点P与C重合，即t=35时，如图11，PQE=90，PQE为直角三角形综上所述，当PQE为直角三角形时，t的取值范围是0t25且t或t=356(河北省郴州市) 27如图，矩形ABCD中，AB3，BC4，将矩形ABCD沿对角线AC平移，平移后的矩形为EFGH（A、E、C、G始终在同一条直线上），当点E与C重合时停止移动平移中EF与BC交于点N，GH与BC的延长线交于点M，EH与DC交于点P，FG与DC的延长线交于点Q设S表示矩形PCMH的面积，表示矩形NFQC的面积（1） S与相等吗？请说明理由（2）设AEx，写出S和x之间的函数关系式，并求出x取何值时S有最大值，最大值是多少？（3）如图11，连结BE，当AE为何值时，是等腰三角形 图11图10解: （1）相等 理由是：因为四边形ABCD、EFGH是矩形，所以所以 即： （2）AB3，BC4，AC5，设AEx，则EC5x，所以，即 配方得：，所以当时， S有最大值3 （3）当AEAB3或AEBE或AE3.6时，是等腰三角形.7(山西省) 26关于的二次函数以轴为对称轴，且与轴的交点在轴上方（1）求此抛物线的解析式，并在下面的直角坐标系中画出函数的草图；（2）设是轴右侧抛物线上的一个动点，过点作垂直于轴于点，再过点作轴的平行线交抛物线于点，过点作垂直于轴于点，得到矩形设矩形的周长为，点的横坐标为，试求关于的函数关系式；（3）当点在轴右侧的抛物线上运动时，矩形能否成为正方形若能，请求出此时正方形的周长；若不能，请说明理由参考资料：抛物线的顶点坐标是，对称轴是直线解：（1）据题意得：，当时，当时，又抛物线与轴的交点在轴上方，抛物线的解析式为：函数的草图如图所示（只要与坐标轴的三个交点的位置及图象大致形状正确即可）（2）解：令，得不时，43211234（第26题）当时，关于的函数关系是：当时，；当时，（3）解法一：当时，令，得解得（舍），或将代入，得当时，令，得解得（舍），或将代入，得综上，矩形能成为正方形，且当时正方形的周长为；当时，正方形的周长为解法二：当时，同“解法一”可得正方形的周长当时，同“解法一”可得正方形的周长综上，矩形能成为正方形，且当时正方形的周长为；当时，正方形的周长为解法三：点在轴右侧的抛物线上，且点的坐标为令，则，或由解得（舍），或；由解得（舍），或又，当时；当时综上，矩形能成为正方形，且当时正方形的周长为；当时，正方形的周长为8(山西省太原市)29. 如图（1），在平面直角坐标系中，的顶点在原点，点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限（1）直接写出点的坐标；（2）将绕点逆时针旋转，使落在轴的正半轴上，如图（2），得（点与点重合）与边，轴分别交于点，点设此时旋转前后两个平行四边形重叠部分的面积为，求的值；（3）若将（2）中得到的沿轴正方向平移，在移动的过程中，设动点的坐标为，与重叠部分的面积为，写出与（）的函数关系式（直接写出结果）xyAC（D）OGPAQFEBxyACOAB图（1）图（2）解：（1）（2），由旋转而成，在中，（3）xyACDOGPAQFEBNMxyAGAEMBCNFPQDOxyAECMKBFPAODNGxyAKCGDOPHNMBFA当运动到点在上时，如图，当，如图，当时，如图，当时，如图，9(山西省临汾市)26. 如图所示，在平面直角坐标系中，经过原点，且与轴、轴分别相交于两点（1）请求出直线的函数表达式；（2）若有一抛物线的对称轴平行于轴且经过点，顶点在上，开口向下，且经过点，求此抛物线的函数表达式；ABCDExyMO（3）设（2）中的抛物线交轴于两点，在抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）设直线的函数表达式为，直线经过，由此可得解得直线的函数表达式为EABCDxyMO（2）在中，由勾股定理，得，经过三点，且，为的直径，半径，设抛物线的对称轴交轴于点，由垂径定理，得在中，顶点的坐标为，设抛物线的表达式为，它经过，把，代入上式，得，解得，抛物线的表达式为（3）如图，连结，在抛物线中，设，则，解得，的坐标分别是，；设在抛物线上存在点，使得，则，当时，解得，；当时，解得，综上所述，这样的点存在，且有三个，10(沈阳市) 26已知抛物线yax2bxc与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OBOC）是方程x210x160的两个根，且抛物线的对称轴是直线x2（1）求A、B、C三点的坐标；（2）求此抛物线的表达式；（3）连接AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EFAC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（4）在（3）的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时BCE的形状；若不存在，请说明理由第26题图解：（1）解方程x210x160得x12，x28点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，且OBOC点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，8）又抛物线yax2bxc的对称轴是直线x2由抛物线的对称性可得点A的坐标为（6，0）（2）点C（0，8）在抛物线yax2bxc的图象上c8，将A（6，0）、B（2，0）代入表达式，得 第26题图(批卷教师用图)解得所求抛物线的表达式为yx2x8（3）依题意，AEm，则BE8m，OA6，OC8，AC10EFACBEFBAC即EF过点F作FGAB，垂足为G，则sinFEGsinCABFG8mSSBCESBFE（8m）8（8m）（8m）（8m）（88m）（8m）mm24m自变量m的取值范围是0m8（4）存在理由：Sm24m（m4）28且0，当m4时，S有最大值，S最大值8m4，点E的坐标为（2，0）BCE为等腰三角形11(辽宁省十二市课改实验区) 26如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH，点H的坐标为（8，0），点N的坐标为（6，4）（1）画出直角梯形OMNH绕点O旋转180的图形OABC，并写出顶点A，B，C的坐标（点M的对应点为A， 点N的对应点为B， 点H的对应点为C）；（2）求出过A，B，C三点的抛物线的表达式； （3）截取CE=OF=AG=m，且E，F，G分别在线段CO，OA，AB上，求四边形BEFG的面积S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；面积S是否存在最小值?若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；（4）在（3）的情况下，四边形BEFG是否存在邻边相等的情况，若存在，请直接写出此时m的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由解: （1） 利用中心对称性质，画出梯形OABC A，B，C三点与M，N，H分别关于点O中心对称，A（0，4），B（6，4），C（8，0） OMNHACEFDB8(6，4)xy（2）设过A，B，C三点的抛物线关系式为，抛物线过点A（0，4）， 则抛物线关系式为 将B（6，4）， C（8，0）两点坐标代入关系式，得解得所求抛物线关系式为：（3）OA=4，OC=8，AF=4m，OE=8m OA（AB+OC）AFAGOEOFCEOA （ 04） 当时，S的取最小值又0m4，不存在m值，使S的取得最小值 （4）当时，GB=GF，当时，BE=BG12(辽宁省旅顺口) 26已知抛物线经过及原点（1）求抛物线的解析式（2）过点作平行于轴的直线交轴于点，在抛物线对称轴右侧且位于直线下方的抛物线上，任取一点，过点作直线平行于轴交轴于点，交直线于点，直线与直线及两坐标轴围成矩形是否存在点，使得与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由附加题：如果符合（2）中的点在轴的上方，连结，矩形内的四个三角形之间存在怎样的关系？为什么？解：（1）由已知可得： 解之得，因而得，抛物线的解析式为：（2）存在设点的坐标为，则，要使，则有，即解之得，当时，即为点，所以得要使，则有，即解之得，当时，即为点，当时，所以得故存在两个点使得与相似点的坐标为附加题：在中，因为所以当点的坐标为时，所以因此，都是直角三角形又在中，因为所以即有所以，又因为，所以13(吉林省) 28如图，在边长为的正方形中，是对角线上的两个动点，它们分别从点，点同时出发，沿对角线以的相同速度运动，过作垂直交的直角边于；过作垂直交的直角边于，连接，设，围成的图形面积为，围成的图形面积为（这里规定：线段的面积为）到达到达停止若的运动时间为，解答下列问题：（1）当时，直接写出以为顶点的四边形是什么四边形，并求为何值时，（2）若是与的和，求与之间的函数关系式（图为备用图）FEGDCBAH图BA图CD（第28题）求的最大值解: （1）以为顶点的四边形是矩形正方形边长为，过作于，则，当时，解得（舍去），FEGDCBAH图BA图CDHEFG当时，（2）当时，当时，解法1：当时，当时，的最大值为当时，当时，的最大值为综上可得，的最大值为解法2：，当时，的最大值为，当时，的最大值为综上可得，的最大值为14(吉林省长春市) 26如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于两点，以为边作矩形，为的中点以，为斜边端点作等腰直角三角形，点在第一象限，设矩形与重叠部分的面积为（1）求点的坐标（1分）（2）当值由小到大变化时，求与的函数关系式（4分）（3）若在直线上存在点，使等于，请直接写出的取值范围（2分）（4）在值的变化过程中，若为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的值（3分）解: （1）作于，则，（2）当时，如图，图图当时，如图，设交于图即或图当时，如图，设交于，或当时，如图，（此问不画图不扣分）图（3）（提示：以为直径作圆，当直线与此圆相切时，）（4）的值为，（提示：当时，当时，（舍），当时，）15(哈尔滨市)28. 如图，梯形在平面直角坐标系中，上底平行于轴，下底交轴于点，点（4，），点，（1）求直线的解析式；（2）若点的坐标为，动点从出发，以1个单位/秒的速度沿着边向点运动（点可以与点或点重合），求的面积（）随动点的运动时间秒变化的函数关系式（写出自变量的取值范围）；（3）在（2）的条件下，当秒时，点停止运动，此时直线与轴交于点另一动点开始从出发，以1个单位/秒的速度沿着梯形的各边运动一周，即由到，然后由到，再由到，最后由回到（点可以与梯形的各顶点重合）设动点的运动时间为秒，点为直线上任意一点（点不与点重合），在点的整个运动过程中，求出所有能使与相等的的值（第28题图）（第28题备用图）16(南京市) 27在平面内，先将一个多边形以点为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为，并且原多边形上的任一点，它的对应点在线段或其延长线上；接着将所得多边形以点为旋转中心，逆时针旋转一个角度，这种经过和旋转的图形变换叫做旋转相似变换，记为，其中点叫做旋转相似中心，叫做相似比，叫做旋转角（1）填空： 如图1，将以点为旋转相似中心，放大为原来的2倍，再逆时针旋转，得到，这个旋转相似变换记为（，）；如图2，是边长为的等边三角形，将它作旋转相似变换，得到，则线段的长为；BDE图1BDE图2图3（2）如图3，分别以锐角三角形的三边，为边向外作正方形，点，分别是这三个正方形的对角线交点，试分别利用与，与之间的关系，运用旋转相似变换的知识说明线段与之间的关系解：（1），；（2）经过旋转相似变换，得到，此时，线段变为线段； 经过旋转相似变换，得到，此时，线段变为线段，17（苏州市）29设抛物线与x轴交于两个不同的点A(一1，0)、B(m，0)，与y轴交于点C.且ACB=90(1)求m的值和抛物线的解析式；(2)已知点D(1，n )在抛物线上，过点A的直线交抛物线于另一点E若点P在x轴上，以点P、B、D为顶点的三角形与AEB相似，求点P的坐标(3)在(2)的条件下，BDP的外接圆半径等于_解：(1)令x=0，得y=2 C(0，一2)ACB=90，COAB, AOC COB,OAOB=OC2；OB= m=418（无锡市）（1）已知中，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）ABC备用图ABC备用图ABC备用图（2）已知中，是其最小的内角，过顶点的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求与之间的关系解：（1）如图（共有2种不同的分割法）ABC备用图ABC备用图（2）设，过点的直线交边于在中，若是顶角，如图1，则，此时只能有，即，即若是底角，则有两种情况第一种情况：如图2，当时，则，中，1由，得，此时有，即2由，得，此时，即3由，得，此时，即，为小于的任意锐角第二种情况，如图3，当时，此时只能有，从而，这与题设是最小角矛盾当是底角时，不成立BDCA图1BDCA图2BDCA图319（南通市）28已知等腰三角形ABC的两个顶点分别是A(0，1)、B(0，3)，第三个顶点C在x轴的正半轴上关于y轴对称的抛物线yax2bxc经过A、D(3，2)、P三点，且点P关于直线AC的对称点在x轴上ABO(第28题图)Dxy(1)求直线BC的解析式；(2)求抛物线yax2bxc的解析式及点P的坐标；(3)设M是y轴上的一个动点，求PMCM的取值范围解：（1），是等腰三角形，且点在轴的正半轴上，设直线的解析式为，yxABDO（第28题）CPMQ直线的解析式为（2）抛物线关于轴对称，又抛物线经过，两点解得抛物线的解析式是在中，易得在中，易得是的角平分线直线与轴关于直线对称点关于直线的对称点在轴上，则符合条件的点就是直线与抛物线的交点点在直线：上，故设点的坐标是又点在抛物线上，解得，故所求的点的坐标是，（3）要求的取值范围，可先求的最小值I）当点的坐标是时，点与点重合，故显然的最小值就是点到轴的距离为，点是轴上的动点，无最大值，II）当点的坐标是时，由点关于轴的对称点，故只要求的最小值，显然线段最短易求得的最小值是6同理没有最大值，的取值范围是综上所述，当点的坐标是时，当点的坐标是时， 20（连云港市）28。如图，在直角坐标系中，矩形的顶点与坐标原点重合，顶点在坐标轴上，动点从点出发，以的速度沿轴匀速向点运动，到达点即停止设点运动的时间为（1）过点作对角线的垂线，垂足为点求的长与时间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）在点运动过程中，当点关于直线的对称点恰好落在对角线上时，求此时直线的函数解析式；（3）探索：以三点为顶点的的面积能否达到矩形面积的？请说明理由yxBCPOAT（第28题图）解：（1）在矩形中，即，当点运动到点时即停止运动，此时的最大值为所以，的取值范围是yxBCPOAT（第28题答图2）21（2）当点关于直线的对称点恰好在对角线上时，三点应在一条直线上（如答图2），点的坐标为设直线的函数解析式为将点和点代入解析式，得解这个方程组，得此时直线的函数解析式是yxBCPOAT（第28题答图3）E（3）由（2）知，当时，三点在一条直线上，此时点不构成三角形故分两种情况：（i）当时，点位于的内部（如答图3）过点作，垂足为点，由可得若，则应有，即此时，所以该方程无实数根所以，当时，以为顶点的的面积不能达到矩形面积的（ii）当时，点位于的外部（如答图4）此时若，则应有，即解这个方程，得，（舍去）由于，而此时，所以也不符合题意，故舍去所以，当时，以为顶点的的面积也不能达到矩形面积的综上所述，以为顶点的的面积不能达到矩形面积的21（扬州市）26.如图，矩形中，厘米，厘米（）动点同时从点出发，分别沿，运动，速度是厘米秒过作直线垂直于，分别交，于当点到达终点时，点也随之停止运动设运动时间为秒（1）若厘米，秒，则_厘米；（2）若厘米，求时间，使，并求出它们的相似比；（3）若在运动过程中，存在某时刻使梯形与梯形的面积相等，求的取值范围；DQCPNBMADQCPNBMA（4）是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形，梯形，梯形的面积都相等？若存在，求的值；若不存在，请说明理由解: （1），（2），使，相似比为（3），即，当梯形与梯形的面积相等，即化简得，则，（4）时，梯形与梯形的面积相等梯形的面积与梯形的面积相等即可，则，把代入，解之得，所以所以，存在，当时梯形与梯形的面积、梯形的面积相等22(南充市)21. 如图，点M（4，0），以点M为圆心、2为半径的圆与x轴交于点A、B已知抛物线过点A和B，与y轴交于点C（1）求点C的坐标，并画出抛物线的大致图象（2）点Q（8，m）在抛物线上，点P为此抛物线对称轴上一个动点，求PQPB的最小值（3）CE是过点C的M的切线，点E是切点，求OE所在直线的解析式CAMBxyODE解：（1）由已知，得A（2，0），B（6，0），抛物线过点A和B，则解得则抛物线的解析式为 故C（0，2）（说明：抛物线的大致图