3.5 转动惯量ppt课件

3 5转动惯量 2 3 5转动惯量 角速度描述刚体的整体转动 我们希望把刚体的动量矩与动能 和角速度联系起来 这将引出转动惯量的概念 3 3 5 1刚体的动量矩 定点转动刚体的动量矩 从质点组的角度来写 1 2 3 2 3 代入 1 可得 静止系或活动系都可以 4 3 5 1刚体的动量矩 定点转动刚体的动量矩 5 3 5 2刚体的转动动能 1 2 代入 1 可得 6 3 5 3转动惯量的概念 由转动动能引入转动惯量 7 3 5 3转动惯量的概念 平行轴定理 已知刚体对通过其质心的某轴线lC的转动惯量为IC 则对与lC平行的轴线l的转动惯量为 其中是刚体的总质量 是两轴线的垂直距离 8 回转半径 3 5 3转动惯量的概念 有时为了方便 将刚体对某轴线的转动惯量等效地写为 其中 m是刚体的质量 k叫做刚体对该轴线的回转半径 相当于将刚体简化为一个集中了所有质量的点 此点到转轴的距离就是k 9 3 5 4惯量张量和惯量椭球 转动惯量的一般计算式 某时刻 设转轴l的方向余弦分别是 则 转动动能 静止系或活动系都可以 10 转动惯量的一般计算式 3 5 4惯量张量和惯量椭球 前面已知 两式比较可得刚体对转轴l的转动惯量为 11 转动惯量的一般计算式 3 5 4惯量张量和惯量椭球 即刚体对三个坐标轴的转动惯量 即刚体对三个坐标轴的惯量积 12 3 5 4惯量张量和惯量椭球 惯量张量 矩阵元统称惯量系数 则对转轴的转动惯量可写成矩阵形式 13 3 5 4惯量张量和惯量椭球 惯量张量 转动动能的矩阵形式 动量矩的矩阵形式 14 3 5 4惯量张量和惯量椭球 惯量椭球的概念 以刚体自身作为参考系 则瞬轴随时间变化绕O点转动 不同时刻有不同的瞬轴 记所有这些瞬轴为ln n 1 2 在ln上取一点Qn 要求满足 刚体对ln的转动惯量为In 则点集 Q1 Q2 Qn 在空间密布成一个椭球面 此椭球称为此刚体的惯量椭球 15 3 5 4惯量张量和惯量椭球 惯量椭球的概念 求证 定点转动刚体上满足所有点Q构成一个椭球面 证明 在刚体上建立活动系O xyz 并设瞬轴l的方向余弦为 设Q点的坐标为 x y z 则 16 3 5 4惯量张量和惯量椭球 惯量椭球的概念 证明 2 代入 3 并利用 1 消去I和R可得 因为是活动系 或上式中惯量系数均为常数 上式即点Q的坐标必须满足的方程 这是一个椭球面方程 得证 17 3 5 4惯量张量和惯量椭球 惯量椭球的概念 惯量椭球方程 综上所述 任何做定点转动的刚体都 背着一个隐形的包袱 即惯量椭球 在转动定点O上架设一个活动系O xyz 其中 Ixx Iyy Izz分别是刚体对三个坐标轴的转动惯量 Ixy Iyz Izx分别是惯量积 它们都是常数 则此椭球面方程为 18 3 5 4惯量张量和惯量椭球 惯量椭球的概念 惯量椭球的意义 因此如果知道了惯量椭球 可以利用上式计算刚体对任意瞬轴的转动惯量 19 3 5 5惯量主轴 惯量椭球是在活动系下描述的结果 所以 惯量椭球也是固连在刚体上的 于是我们可以选择一个特殊的活动系 以惯量椭球的三条互相垂直的对称轴作为活动系的三条坐标轴 这样的活动系称为主轴坐标系 三条坐标轴称为惯量主轴 主轴坐标系和惯量主轴的概念 20 3 5 5惯量主轴 主轴系的特点 惯量积均为零 证明 在椭球面上任取一点Q x y z 将这两点分别代入椭球面方程 可得 1 2 两式相减可得Iyzy Izxx 0 因为x y是任意的 故必须Iyz Izx 0 同理可证 21 3 5 5惯量主轴 在主轴系下 惯量张量对角化为 其中 对瞬轴的转动惯量 惯量椭球方程简化为 对转动定点的动量矩简化为 转动动能简化为 22 3 5 5惯量主轴 判断刚体惯量主轴的方法 1 若均匀刚体有对称轴 且通过转动定点 则此对称轴必是其惯量主轴 证明 于是与z轴相关的两个惯量积 所以 z轴必是惯量主轴 23 3 5 5惯量主轴 判断刚体惯量主轴的方法 2 若均匀刚体有对称面 且转动定点在此对称面上 则与该面垂直且通过转动定点的轴必是其惯量主轴 证明 以转动定点O为原点 以此对称面为xy平面建立活动坐标系O xyz 则点 xi yi zi 与点 xi yi zi 必同在此刚体上 故 z轴必是惯量主轴 24 3 5转动惯量 例题 均匀长方形薄片的边长为a和b 质量为m 求此长方形薄片绕其对角线转动时的转动惯量 解 如图建立主轴坐标系 其中I1 I2 I3分别是薄板对三个坐标轴的转动惯量 是对角线l的三个方向余弦 25 3 5转动惯量 例题 对角线l的三个