【教学设计】《二次函数的应用》（北师大）探究式教学.doc

二次函数的应用安徽省无为县刘渡中心学校 丁浩勇 模式介绍“探究式教学”是指学生在学习概念和原理时，教师只是给他们一些事例和问题，让学生自己通过阅读、观察、实验、思考、讨论、听讲等途径去主动探究，自行发现并掌握相应的原理和结论的一种教学方法它的指导思想是在教师的指导下，以学生为主体，让学生自觉地、主动地探索，掌握认识和解决问题的方法和步骤，研究客观事物的属性，发现事物发展的起因和事物内部的联系，从中找出规律，形成概念，建立自己的认知模型和学习方法架构探究式教学法能充分发挥了学生的主体作用探究式教学通常包括以下五个教学环节：创设情境启发思考探究问题形成结论巩固提高 设计说明首先通过问题1回顾二次函数的顶点坐标等知识，为学生学习最值问题打好基础，问题2通过裁剪直角三角形得最大面积的矩形问题让学生产生认知冲突，为学习本节作了铺垫问题3和问题4进一步解决最大面积问题，达到培养学生发散思维能力的目的问题5解决了一个最大利润问题，让学生感受二次函数是一类最优化问题的数学模型最后通过问题6、随堂练习和议一议的设计，加深学生对模型思想解决实际问题的理解 教材分析本节是北师大版义务教育教科书数学九年级下册第二章二次函数的第4节二次函数的应用的教学内容，是在学生学习了本章的二次函数的概念、图象和性质等知识之后对二次函数知识应用的深入推进，它是学生学习数学知识的归宿本节教材是利用二次函数的最大值解决两类实际问题，第一类是利用二次函数解决以最大面积为代表的实际问题，第二类是利用二次函数解决以最大利润为代表的实际问题，每个问题都是建立二次函数模型，利用二次函数的图象和性质来解决的，让学生深刻体会了二次函数的实际应用价值新课标中要求学生能通过对实际问题的情境的分析确定二次函数的表达式，体会其意义，能根据图象的性质解决简单的实际问题而本节解决的最值问题又是生活中利用二次函数知识解决最常见、最有实际应用价值的问题之一 教学目标【知识与能力目标】1、能够将一些较简单的实际问题转化为数学问题，建立二次函数模型，确定二次函数的最值，从而解决实际问题2、进一步理解二次函数图象的顶点坐标与函数最值的关系，并明确当时函数取最大值，当函数取最小值【过程与方法】经历探索二次函数最值问题的过程，体会模型的思想和数形结合的思想【情感态度与价值观】通过将二次函数的最值的知识灵活运用于实际，让学生体会到数学的价值，提高学生学习数学的兴趣 教学重难点【教学重点】从实际问题中抽象出二次函数关系并运用二次函数的最大(小)值解决实际问题【教学难点】从现实问题中建立二次函数模型 课前准备多媒体课件、教具等 教学过程【创设情境】问题1 填空：二次函数的图象和性质当a0时，二次函数的图象(抛物线)开口_，有最_点，对称轴是_，顶点坐标是_；当a0时，二次函数的图象(抛物线)开口_，有最_点，对称轴是_，顶点坐标是_；当a0时，二次函数的图象(抛物线)开口_，有最_点，对称轴是_，顶点坐标是_问题2 如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上(1)如果设矩形的一边AB=xm，那么AD边的长度如何表示？(2)如果设矩形的面积为，当取何值时，的值最大？最大值是多少?设计意图：问题1复习二次函数的图象和性质，并由二次函数的解析式可以求出相应函数的最大（小）值，为本节课根据函数最值解决实际问题作准备；问题2通过求矩形的最大面积问题引出本节课所要解决的问题，激发学生的学习热情【启发思考】问题3 如果把问题2中的矩形改为如下图所示的位置，其它条件不变，那么矩形的最大面积是多少？你是怎样知道的？解析：可以求出大直角三角形的斜边为50m，斜边上的高为24m，设矩形的一边AD=xm，另一边AB=am，则，得所以，矩形的面积(0x50)因此，当x=25时，设计意图：通过把问题2进行一定的变化，解决问题的方法了随之改变，但始终是利用二次函数关系来解决最值问题，即从实际问题中抽象出二次函数的模型，并求其最值通过两种情况的分析，达到培养学生发散思维能力的目的【探究问题】问题4 某建筑物的窗户如图所示，它的上半部分是半圆，下半部分是矩形，制造窗框的材料总长（图中所有黑线的长度和）为15m当x等于多少时，窗户通过的光线最多？（结果精确到0.01m）此时，窗户的面积是多少？（结果精确到0.01m2）解：，0x50，且050，0x1.48设窗户的面积是Sm2，则当时，因此，当x约为1.07m时，窗户通过的光线最多此时，窗户的面积约为4.02m2设计意图：通过解决窗户的最大面积问题，让学生进一步经历解决最值问题的过程，明确解决这类问题的一般步骤问题5 服装厂生产某品牌的T恤衫成本是每件10元，根据市场调查，以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销5000件，并且表示每件降价0.1元，愿意多经销500件.请你帮助分析，厂家批发单价是多少时可以获利最多？解析：设批发价下降0.1x元(0x30)，那么批发价为(13-0.1x)元；销售量为(5000+500x)件；销售额为(5000+500x)(13-0.1x)；所获利润为(5000+500x)(13-0.1x-10)元用y元表示，则当x=10，即批发价是12元时，所获利润最大，最大利润为20000元活动意图：通过这个实际问题，让学生感受到二次函数是一类最优化问题的数学模型，并再次感受数学的应用价值【形成结论】运用二次函数的知识解决最大面积、最大利润等实际问题的思路如下：1、理解题意；2、分析问题中的变量和常量，以及它们之间的关系；3、用二次函数的表达式表示出它们之间的关系；4、运用二次函数的图象和性质等知识求解；5、检验结果的合理性，给出问题的解答.【巩固提高】问题6 某旅社有客房120间，每间房的日租金为160元时，每天都客满，经市场调查发现，如果每间客房的日租金每增加10元时，那么客房每天出租数会减少6间不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？解：设每间客房的日租金提高10x元，则每天客房出租数会减少6x间设客房日租金的总收入为y元，则，当x2时，y有最大值 19440.这时每间客房的日租金为（元）因此，每间客房的日租金提高到180元时，客房的收入最高，最高收入为19440元.随堂练习：课本P49随堂练习某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件.如何提高售价，才能在半个月内获得最大利润？解：设销售单价提高x元，销售利润为y元，则 y=(30-20+x)(400-20x)-20x2+200x+4000-20(x-5)2+4500.答：当销售单价提高5元时，可在半月内获得最大利润4500元议一议：还记得本章一开始的“种多少棵橙子树”的问题吗？我们得到了表示增种橙子树的数量x(棵)与橙子总产量y(个)的函数表达式y(600-5x)(100+x)-5x2+100x+60000.(1)利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.(2)增种多少棵橙子树，可以使橙子的总产量在60400个以上？（要求学生画出二次函数的图象，并根据图象回答问题）答案：(1)当x10时，橙子的总产量随增种橙子树的增加而减小.(2)由图可知，增种6棵、7棵、8棵、9棵、10棵、11棵、12棵、13棵或14棵，都可以使橙子总产量在60400个以上.课堂小结：师生共同回顾本节内容，并请学生回答下列问题：1、本节课学习了哪些主要内容？2、本节课你有