折线最小值问题.doc

折线最小值问题由一模试卷上的一道题想到的黄月美（江苏省泰州市九龙实验学校 225312）苏科版八年级（上册）45页第9题：ABPQBL如图，A、B在直线L的同侧，点B是点B关于L的对称点，AB交L于点P（1）AB与AP+BP相等吗？为什么？（2）在L上取一点Q，并连接AQ和QB，那么AQ+QB与AP+PB哪一个大？为什么？本题实际上是在直线L上找一点P，使点P到直线L的同侧两个定点A、B的距离之和最小这道题是在学习了线段公理和轴对称后的一道很好的习题我们不妨将此类型问题归纳为“折线求最小值问题”，它涉及到“两点之间线段最短、利用对称化折线为直线的基本方法”。这道题有很多应用，从2008年中考试题中可以看到这一习题的结论是被如何应用的一、直接应用此结论DABCPMN中考链接（2008湖北省荆门市）如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是_ 本题由菱形的轴对称性，知对角线AC所在直线即为对称轴，所以只要取点M（或点N）关于AC的对称点M，则MN的长就是PM+PN的最小值二、间接应用此结论ONMP引例：公园里有两条河流OM、ON在点O处汇合，MON60，两河形成的半岛上有一处古迹P，现计划在两条小河上各建一座小桥Q和R，并在半岛上修3段小路分别连接两座小桥Q、R和古迹P，若古迹P到两条小河的距离都是50米，求这3段小路长度之和的最小值.本例很明显是折线求最小值问题，但与课本习题不同的是它演变为求3条线段之和的最小值，运用“两点之间，线段最短”公理，仍可采用对称化折线为直线的方法来解决.中考链接（2008福州市）如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系已知OA3，OC2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处（1）直接写出点E、F的坐标；（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由解：(1)E(3,1)；F(1,2)；(2)在RtEBF中,B=900，所以EF=.设点P的坐标为(0,n),其中n0,因为顶点F(1,2),所以设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+2(a0) 如图1,当EF=PF时,EF2=PF2,所以12+(n-2)2=5,解得n1=0(舍去),n2=4,所以P(0,4),所以4=a(0-1)2+2,解得a=2,所以抛物线的解析式为y=2(x-1)2+2如图2,当EP=FP时,EP2=FP2,所以(2-n)2+1=(1-n)2+9,解得n=(舍去) 当EF=EP时,EP=3,这种情况不存在.综上所述,符合条件的抛物线为y=2(x-1)2+2(3)存在点M、N,使得四边形MNFE的周长最小PO图ECyxADBFPO图ECyxADBF如图3,作点E关于x轴的对称点E/,作点F关于y轴的对称点F/,连接E/F/,分别与x轴、y轴交于点M、N,则点M、N就是所求.所以E/(3,-1)、F/(-1,2),NF=NF/,ME=ME/,所以BF/=4,BE/=3,所以FN+NM+ME=F/N+NM+ME/=F/E/=5.又因为EF=,所以FN+MN+ME+EF=5+,此时四边形MNFE的周长最小值为5+.E/F/MNO图ECyxADBF本题第（3）问是一个拓展问题，在两条直线上分别找一个点使与两个点相连构成的四边形周长最小问题.四边形的周长虽为4条线段之和，但EF一边是定长，因而与上例本质相同.中考链接（2008陕西省）某县社会主义新农村建设办公室，为了解决该县甲、乙两村和一所中学长期存在的饮水困难问题，想在这三个地方的其中一处建一所供水站，由供水站直接铺设管道到另外两处。如图，甲、乙两村坐落在夹角为30的两条公路的AB段和CD段（村子和公路的宽均不计），点M表示这所中学。点B在点M的北偏西30的3km处，点A在点M的正西方向，点D在点M的南偏西60的km处。为使供水站铺设到另两处的管道长度之和最短，现有如下三种方案：方案一：供水站建在点M处，请你求出铺设到甲村某处和乙村某处的管道长度之和的最小值；方案二：供水站建在乙村（线段CD某处），甲村要求管道铺设到A处，请你在图中，画出铺设到点A和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值；方案三：供水站建在甲村（线段AB某处），请你在图中，画出铺设到乙村某处和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值。综上，你认为把供水站建在何处，所需铺设的管道最短？北东D30ABCMOEF图乙村D30ABCMOEF图乙村DEDMsin603，ME，PEDE， P点与E点重合，即AM过D点。在线段CD上任取一点P，连接PA，PM，PM，则PMPM。A PPMAM，把供水站建在乙村的D点处，管道沿DA、DM线路铺设的长度之和最小，即最小值为ADDMAM北东D30ABCMOEF图PMP方案三：作点M关于射线OF的对称点M，作MNOE于N点，交OF于点G，交AM于点H，连接GM，则GMGMMN为点M到OE的最短距离，即MNGMGN在RtMHM中，MMN30，MM6，MH3，NEMH3DE3，N、D两点重合，即MN过D点。ND30ABCMOEF图乙村MNHGG在RtMDM中，DM，MD在线段AB上任取一点G，过G作GNOE于N点，连接GM，GM，显然GMGNGMGNMD把供水站建在甲村的G处，管道沿GM、GD线路铺设的长度之和最小，即最小值为GMGDMD。 综上，3，供水站建在M处，所需铺设的管道长度最短 本题方案一为点到线段距离最小问题.要用到直线外一点与直线上各点的连线中,垂线段最短方案二为线上一动点到另外两定点距离之和最小问题，是课本习题的直接应用方案三为线上一动点到一定点及到一线段距离之和最小问题，如何解决呢？至此，我们应发现其中奥妙：要在哪条线上寻找某一点,就以这条直线为对称轴,作出另一定点的对称点,要将供水站建在AB上，则以AB为对称轴，作点的对称点，问题即可解决本题巧妙利用了课本习题的方法和结论，是对课本习题很好的诠释海陵区第一次模拟考试最后一题也可用这一结论来解决，原题如下：如图，在平面直角坐标系中，已知四边形ABCD是等腰梯形，A、B在x轴上，D在y轴上，ABCD，ADBC，AB5，CD3，抛物线过A、B两点.（1）求b、c；（2）设M是x轴上方抛物线上的一动点，它到x轴与y轴的距离之和为d，求d的最大值；（3）当（2）中M点运动到使d取最大值时，此时记点M为N,设线段AC与y轴交于点E,F为线段EC上一动点，求 F到N点与到y轴的距离之和的最小值，并求此时F点的坐标. 本题第3问若用解决折线最短问题的思路来做的话，就与2008陕西省一题中的方案三情况一样了，只需作点N关于直线AC的对称点N，再过点N作y轴的垂线与的交点即为所求的点解题方法源于基础知识，只有对基础知识的掌握达到一定的熟练程度，才能得心应手地将基础知识及所提炼的方法进行恰当组合，应用创新，才能使思维敏捷、技法娴熟线段型最值的教学设计【 教科室 2006年3月17日浏览：374字体：大 中 小】 最值问题充满着现实世界，它是一个永恒的课题，也是历年数学高考中经常出现的题型之一，而线段型最值更是最典型、最广泛、最能体现数学思想的内容。解决好这一问题的关键在于抓住问题的特征，选取恰当视角，巧妙构建数学模型。下面是一堂高三数学复习课的教学过程，收到了良好的效果。 1.教学目标 知识目标：掌握求线段型函数最值的概念和常用方法 能力目标：通过典型例题,培养学生综合运用数学知识的能力，提高学生抽象的逻辑推理能力和用数形结合解决数学问题的能力。 素质目标：体验数学知识与方法的运用，逐步形成科学地分析、解决问题的能力。通过典型例题，尤其是各知识点的综合运用，渗透事物之间相互联系，相互转化等辨证唯物主义观点。 教学重点：掌握求线段型函数最值的常用方法及学生解题中含混的概念和错误的纠正。 教学难点：转化思想与数形结合等数学思想的渗透。 2.教学过程 （1）、回忆方法：学生讨论回顾，求函数最值的一些常用方法。 （2）、讨论例题： 问题1：已知A（2，3）、B（-1，-1），P是X轴上的点，求|PA|+|PB|的最小值 （如图1）。 引导学生观察图形：|PA|+|PB|最小值，即为|AB|=5。 问题2： 已知点A（2，3），B（-1，5），P是直线L：x-y=0上的点，求|PA|+|PB|的最小值（如图2）。 引导学生观察图形，要使|PA|+|PB|最小，作A关于直线L：x-y=0的对称点A（3，2），则|PA|=|PA|，所以|PA|+|PB|=|PA|+|PB|。显然当P在AB与L的交点时，|PA|+|PB|有最小值，其最小值为|AB|=5。 问题3：已知点A(1,3)，B(5,-2)，点P在x轴上，且使|AP|BP|最大，求P的坐标及|AP|BP|的最大值（如图3）。 同理作B关于X轴对称点B（5,2），则|BP|=|BP|。 故|AP|BP|=|AP|BP|AB|，等号当且仅当点P在直线AB上成立。从而点P为(13,0)时，|AP|BP|有最大值，最大值为|AB|=。 评析：求直线上点到两定点的距离之和最小值(或距离之差的最大值)问题，只要通过图象观察，就能容易找出所求的最值及动点的位置。 问题4：已知点A(2,2)，设F为椭圆的右焦点，M是椭圆上的一动点，求|AM|+|MF|的最小值,并求此时M点的坐标（如图4）。 引导学生分析： (1)能否建立目标函数求最值？ 设M(x,y)是椭圆上任意一点，则|AM|+|MF|=再转化为一元函数的最值问题，显然代入消元不易。 (2)观察|AM|+|MF|特点，思考下列问题： 为什么|MF|要乘以？ 这里的表示什么？ 显然这里的是椭圆的离心率e=的倒数。 而|MF|是椭圆上任一点到焦点的距离，由此联想到椭圆的第二定义，|MF|刚好表示M点到右准线的距离|MN|，从图中得知当AM、MN共线时|AM|+ |MF|为最小值，即其最小值为A到右准线L的距离，M为过A作右准线的垂线与椭圆的交点（解答由学生完成）。 评析：此题我们从观察入手，发现“特征数字是椭圆的离心率的倒数”这一隐含条件,联想到椭圆的第二定义，获得问题的解决。在双曲线、抛物线中的类似题型可同法来解决。 拓扩与应用 线段型最值在函数的最值及不等式的求解（证明）中也有重要应用。 问题5： 求函数的最小值，其中a,b,c是正实数。 分析：此题直接用函数问题求最值比较困难，若能建模如下：设M（x,0），A(0,a),B（c,b），则问题转化为求|MA|+|MB|最小值，其中M 是x轴上的点，从而问题5转化为如问题2。 问题6： 证明：对于x R，恒有|2。 分析：不等式变形为|2，设A（1，0），B（-1，0），M（x,1）则问题转化为|MA|MB|2。 因为A、B在x轴上，且|AB|=2，M在直线y=1上，故有三角形三边间的关系 得 ：|MA|MB|AB|=2，所以 原不等式成立。 师生回顾，反思，总结 1：在一直线上找点使到两定点的距离和（差）为最大或最小的线段型最值问题一般可运用两点间距离最短，三角形二边之和大于第三边，二边之差小于第三边等解决（如问题1，2，3）。 2：在二次曲线上找点使到一定点的距离与到一焦点的距离的某一倍数的和为最大或最小的线段型最值问题一般可运用二次曲线的第二定义解决（如问题4）。 3：两个二次根式的和或差型的函数最值（不等式）问题，可转化成线段型最值问题（如问题5，6）。 作业布置（略） 教学设计说明 在高一、高二时，我们陆续学习了求函数最值、对称、二次曲线、不等式等内容，但由于学习间隔时间较长，各知识点之间是零碎分散和不系统的， 到了高三就有必要做好知识归类梳理工作以及知识链的串接，通过这堂课，能自然地将数学各章节，各数学思想方法聚集起来，构成各部分知识纵横交叉、前后沟通的网络状态，从而密切了各知识点的联系。中考复习专题 线段公理的运用几何中线段公理简述为“两点之间，线段最短”。由此得到推论：“三角形两边之和大于第三边”，这是学生都很熟悉的公理和推论。可是部分学生并不会灵活的运用这个公理。这里我主要介绍一些该公理的运用方法.首先，那类数学题型适用线段公理呢？我总结是：所有线段和之间的大小关系比较、线段和的最小值等问题都运用这个公理。其次，如何运用这个公理呢？很多问题一般不能运用这个公理直接解答，而是要运用图形变换，借助平移、轴对称、旋转等将分散的线段集中起来，组成某两点之间的一条线段与其它折线和间的关系，从而达到解决问题的目的。一、 运用平移例1：在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且 求证：AD+BCAC 解决这个问题的关键在于：将AD 、BC以及AC移到同一个三角形中从而构成 三角形两边之和与第三边的关系。考虑到AC与BD相等，且夹角为60度，我们将AD平移到CE的位置，AC同时就平移到DE处，此时，由于DBE恰好是等边三角形， 即BE=BD=AC，于是问题得到解决。BCCEBE，而当AD平行于BC时，BC与CE共线，且与BE重合，即BC+CE=BE，再代换即得到AD+BCAC。例2：在ABC中，D、E是BC上的两点，且BD=CE，求证：AB+ACAD+AE 这里可以将ACE平移到FBD处，使FD交AB于点G，于是有AG+DG AD、FG+BG BF，两式相加得到AB+DFAD+BF，再将DF换成AC，BF换成AE，从而有AB+ACAD+AE问题得到解决。二、运用轴对称例3：在正方形ABCD中，E为BC上一点，已知：AB=4，BE=1，点P为AC上的点，求：BP+EP的最小值。 本题中求BP+EP的最小值，我们只要将它转变为某两点间的一条线段就可以了，根据轴对称性，BP=DP，因而，连接DE，DE的值就是BP+EP的最小值。即；BP+EP的最小值等于DE = 例4；如图：O的半径为6厘米， ，点C是弧AB的中点，点M为半径OB上一点，则：AM+CM的最小值是多少？ 本题同例2如出一辙，作点C关于OB的对称点D，则MD=MC，因而 AM+CM的最小值就是AM+DM的最小值，既线段AD的长，连接OD，易知 例5：在坐标平面内，点A（6，2）、点B（2，4）、点C（0，m）、点D（n，0），试问：当m、n各为多少时,四边形ABCD的周长最小,最小值是多少? 这里四边形ABCD的周长即AB+BC+CD+AD,由于AB是一个确定的值,实际上就要求BC+CD+AD最小,所以我们就需要将这三条边变换成某两点见的一条线段,作点A关于x轴的对称点M（，）,作B点关于y轴的对称点N（，）,于是总有AD=MD,BC=NC,则当且仅当点M、四点共线时，四边形的周长最小，这时可用过、的直线函数解析式求、的值，用勾股定理求和的长，从而求周长的最小值。三：运用旋转例6：在ABC中，AD是边BC上的中线，求证：AB+AC2AD要证明AB+AC2AD，只需要将AB、AC、2AD组成一个三角形，则可运用三角形两边之和大于第三边解决，根据已知条件，不妨将ADC绕点D旋转180度到 EBD处，于是有AB+BEAE，其中BE=AC，AE=2AD，从而解决了问题。例7：如图：在ABC中，AB=AC，点D、E是BC上的两个动点(与B、C不重合)，在点D、E运动过程中DAE等于BAC的一半，求证：BD+CEDE。这里BD、CE、DE三条线段在一条直线上，我们必须将它们通过变