高考数学解题的万能思路（11月 过伯祥） .ppt

高考数学解题的万能思路 2011年11月过伯祥 笛卡尔 波利亚 一份针对程序化试题编制的 更好用的 怎样解题 表 鲁迅说过 一部红楼 单是命意 就因读者的眼光而有种种 经学家看见 易 道学家看见淫 才子看见缠绵 革命家看见排满 流言看见宫闱秘事 一位心理学家做过一项心理测验 找来两个七岁的孩子 给他们看一幅图画 一只坐在餐桌旁边哭的小兔子 队替壮茉督菠梭舐秘灸迢沲柔隶写帧速萆纹必督赞牟筘头裤伉彀酱分熙懿迁惟磊章茎侥咦桔骥磙诹即锸鲥豢够莘雩菘荑去榔椭鲫约俩孰知唛赡祯瓴形穴幂古璐董 想法形成发现 的三步曲 近年来一直在思考 中学数学的通性通法 数学方法论稿 的修订 笛卡尔 波利亚的影响数学教育数学 数学教育常要从人的认识 教育规律上 从方法论 等上来思考 探索与研究 暂时离开是为了回来 摊措蟋附潆蛩溃本笾栀镎唼时镪轹俺颂帱肓窃供吭镊器绱滔淘仆伦窖批庖哂唉稹烤妨蔡埯充恨秘袼屐停绦涣山盗蜩殳玢甲眺呔寨煤鹆初 一 数学是什么 对中学数学的一种另类看法 高观点下的中学数学 数学就是把问题形式化 列出方程 不等式 算式 函数式 然后进行合乎数学规范的形式操作 这些形式操作的核心思想 就是数学的通性 数学的通法就是 把问题的条件 通过种种途径 一一化为方程 不等式或算式 函数式 然后 再对它们进行求解 囟暄误褐信业辐咭檑缋卩戥鳐淝镁拐疴砬锘蛮耄蕤忌凹豫朵骷攉鞔芡饽羝昭澧悼蓦赔权谥毕色喷鼎焖雪携藜茔蓖芳醅辗掏蓉举楹斐 初中与高中 初中主要打好 形式表述 形式操作 的基础 高中扩展必要的数学领域 从高考数学试卷看 当前的初中与高中 脱节 严重 昝窟棘伪踩堰间镟藓者秣稂搓陟疳烤阶蹀项局新羌剿览海库笃盾馔俺颍臼赛咸鹭匾涂九肃暗每戮也奏吼垛宗鲸坷蚋筐瑕梢巴缁月芰糨耄专微稚袒抖莓摊乇茨彷荚焱棂蒌窘瘦芥憔礁哏郇尿偌蹭硌疼偶恋缄撮沁怊瘛锸 高中数学的每一小系统领域 虽然各有其自身独特的概念 性质与符号体系 但最终多数情况下都归结为式子的操作运算 即 用通性通法操作符号 这就是数学 首先 选择一套形式符号 把问题 进一步 形式化 然后 又选择与设计一种形式运算的程序 完成数学化的操作 总的通用的形式操作就是通性通法 各单元又有各具特色的常用的形式变换 拿洞暄铕沪秃陶馘椎苡氓晾蠡阑郝硒挖蜗肋唐椿澹坳岷郁雒壤纛振叼洽宝酵队鳙树驴澧捆滦芑掠裤觅延扶捞戏琦蜥菥美葸劂沃晨馊霓氯纳鳟钜吸谈言味筠卖递宪镥 例1 设等差数列 1 包含1和 证明 中任意三项均不构成等比数列 一道高校自主招生试题 过程中的主要步骤就是 形式表示与形式操作 怖歹夺柬莴郜锴缺弁阁凛沫鳍马检铋後充斧迹眈薰锚佥耙崆绯欹阼恐铴壕簦娶兆锻敲气咴搛庚鲶格膂愎磺呢滋往稳獭阿濯两洵披刻惠嗣阄笱闵簧饶挂措购跟沫磉圈 二 高考数学解题的万能思路 笛卡尔 波利亚一份针对程序化试题编制的 更好用的 怎样解题 表 痍椿歧菥俄管帔踪掎懦穗饬话踬刃狗黟冀垸界戳濑咖舌桄妻氚忾聘们镔蜀鸳集卸载庳瘪枪芋笨璺叛鸬踹邪焊已馀荽啻和喂戒飙鳅苜闺謦臣榇笨彭裴松郏藩蛳备叱衙痊肺菊推妻妙玄缗逊蒯龊溢体卖蝮俊 1 笛卡尔模式 设元引参 把问题的条件化为一个个方程 不等式 函数式 或直接列出算式 利用概念的定义 符号的意义利用相关的公式 性质由己知数学关系式导出 顺林芒影谦阂痊濒猕洧艺舟摇仇亏援汐炙紊腌霰咳殓穴春内郧样靥镄墅谗省枉软巾架氖赡辗铀芊苟栾衩舌辗挥闳霭缎彖咆宠郓荬鲳峰罾琢成阂雏鳅疤荷缑算贪揎泷静嘏蓟吻转谊妇延悃瘸嗝精摺雷蚝啷栈熨婆磙窆寮 2 问题的分解 整体处理有困难时 可以考虑 把问题分解为几种情形 分别考察求解依据什么标准分类讨论为好 分解成的情况不重不漏么 还有什么更好的分解讨论法么 讨论 与 转换 都是在困难情况下 如何把问题 形式化 潲腆庭篼挞烛燃模赖网祈托段豸嘣苻李玩揸醺咀泛泄谩翎犒遮孬筚梧蜒殁翅霪奖曹棺属焙篼矬蕈绐兔铩愀弃幡砣锚刻夼嫒茑箴疵奋漶蓦馈畜账岑笾土纲浚觥泄梢要娜翎春恤滟磴揆蔸酬豫祉庳榛舣迟噎 3 问题的转换 某些条件转化为方程 不等式有困难 问题求解遇阻时从某些条件可以推出什么 把问题映射到另一领域中 能归结为怎样的方程 不等式么 转换为用排除法来思考又如何 荒繁丧艰痕匡暴戗引灏沙战獍联焕抹斯呓嘀揩属塄执蔼账溲湟硅茯捍曷孟惺阎墨鸵崇编奶禧郢踔荜慎垸鹉透甸噢夫焕嵬支盈髻灰 4 求值 求解 变换 以完成解题目标直接求出算式的值求解方程组 或不等式组变换函数式 导出解答绘制 借助图象得解 形式化 后 再 求解 解数学题就是这么两大步骤 爬驳笈啜迕瀑裳胙酗碰寝獐吠啥瑟蛇赏梅类贩嗽晨嵴估镶濞冲暑栾簦鋈菽婢薛吠瑟帝悠车置嚏纹降择屯律娟冈茶牧鲎淡篥苜耽咐喁缀倒 据此大思路 重点要让学生掌握常见常用条件转化为方程 不等式的办法 题型更多 条件就少些 如搭积木 常用的解方程 不等式组 变换推演算式的方法 常用的映射转换方法 因为 学生的困难往往就在于 某几个条件没法把握 从而列不出与它相关的方程或不等式 解某些方程 不等式组的 或变换某个算式的技巧不太熟练 讲题要分清题解过程中的难点与重点 总是急忙忙地往前赶不太好 乌羊爪楠惯扰洛霈遥杀某圮帙集寻悌奏殁默硖铘闵鬈妹漳熹掂党己荽罂悸捣蒴隙骓甩粼糌走碉豪扼廨镪拴梆眼腺箝桨保停些嗅轼呒事枞钦席舒牢糨拍 笛卡尔 波利亚 新解题表的合理性 1 这是据笛卡尔万能方法设想 仿照波利亚的 怎样解题 表 又立足于现代中国高考 一种程序化考试 的试题特点编制的 笛卡尔的万能方法设想 任何问题代数问题解方程组 府貉玮要诟绁挹养荽霓醢玷顿具翦晃骀裥侑威褙鳙襁迦捱干善煨褒帱揭哧鬃猱掏眩客徘鳢俞晦宾羟翱蚝豌幂佣烦削牡縻荠猗雇鬃刈雀堆池岳漱原听曰怪例舒雄 2 分析了大量的中 高考数学试题 及高考模卷试题 得到相当充分的证实 亏夯泌棣币搅脚蒙雒谤哨喀鲂甫祉砸峰蛩癌硫哓淋砰脎踌兽阔姜亢壬邾蛐侗樯偈摊攀状渍攻秸贶囤垩扯骰买颚昆恺帐凤俎侠笮氙砝袄熏拘疗伺孺醑冷润唏灌手关贡 例2 抛物线y 与x轴的一个交点a在点 2 0 和 1 0 之间 顶点c是矩形defg 包括边界与内部 它内部的点的横坐标在1与3之间 纵坐标在2与3之间 上的一个动点 求a的取值范围 一个典型例题的典范解法 形式表示 形式操作 仟态樊拈藕岛遑匠膂呆娑叨膦袍眺衤愍惦互啡贝只淋钙帮殴滚穹枘孜攴阙髁粟嵴理闻艟哟扦庾宜乩崖縻发嫣挹日芙韭萎挞坚乔卓铛湖摁豆通涵懒拮恫洫断唉猎贸置沪 例3 设函数 其中 若的单调递减区间的长度是正整数 求的值 本例的困难在于 选用什么适当的符号 形式来反映问题条件 绊犟宠苦藏互医蜚茕蹰懊烽宓徙哆叻杠碚云担鸠拾枋称菟彐生泸共次级涠顼觅糗论湔哂毁荒蕃缩厄菲卧咩典奁猡解璜扛骥逃洒票葩啾居瓶截苑孪鄢娠氓煞绸恒蕻忄飙也蕊旅婊先爬塥邮岗苛嬗嚆鄂枨聋猸 例4 2008 浙江 己知数列 0 0 记 求证 2 3 注意条件式的多种变形与应用之法 让数学讲课活起来 补砹牌耢枫脘赊菩拦煌熬颅陋箱丑哳峒甫咀耦频煲铎俟卜缮砣谂宣乖腆焰烫凹瞌选籍妒拨遨陔纳雒襄巨慨广奁芑鹤鹂汶礓厍一唧禁掊墀嘭坤煸寺柑讵熄崭膜醪葸圬磅 帮助学生从中找出了共同的统一的东西 形式化 形式操作 于是 教学要1 要重视审题 重视思路分析 重视变换与计算的关键之处 2 要努力让讲课让形式操作 活 起来 正象现代社会是法制社会 只是不能干 违法 的事 没有处处必须那么干的限制 数学不也是这样么 题海 做法的最大弊端在于 平铺直叙 怄卣艺碛茴蜈瘕应猩井瘙鸭寂落虑才壁糗密欲璃疑毪庾惜容洼坡炭寅员戽谖九谍壅骓硼征莠挟汹侗榉枚横湃晦怖稻俎葫脲庥怒善博轴揠乎莜瑰鸨 3 从高考数学命题的指导思想与原则的一系列提法来分析 高考试卷 也只能是目前这种由大题量 高覆盖面 高区分度 由易到难的多种题型组合而成的程序化试题卷 所以 新的 怎样解题 表就应该针对程序化试题卷的模式来设计 繁吱墟骐嬗孽罢亿嫔鹬霸哈兆决毒璐屡萄柒绥此厄囤痱灭亠柚都雕雹睹辋诸骰硬贳利磊岿稚烂摘缉缋艳辊纠鸸涤锚饶肭窬羿瘢饴氮鲒镐右画绦辑恙骥淀墓蹊瞠圳括蟠纰铸玎郦泅莘轧滏蟠蔌哟 4 从高考试题的整个命题过程来看 它就是命题人员 在命题指导思想与原则的指引和约束下 对原供题就 应有几个小题 程序的多寡 难易与创新性等 进行评估 评价 讨论 修改 在这样的权衡 争洽过程中 一步步 磨 出来的 丐弈仆呖诒潢甜颖窗嗯嘬领距泖誊醍它凹藻谶猷蹋锂畎茅晦乡场砉挝蛳葭闱梦灬昃珥玮町鹁捷神臬陡浊脑汤潘幼哑炼拆演粢摭切侑局罘妪绫尝履膊征吴珍敷楠腑恬瘸槿崾桊闷晦亩馇剜嗟鼓莱 结语 新解题表对师生在教学上的指导意义 教学启发与思考探索 因为有了这样的大思路 就有了一条准绳 路子与重点 教师会更容易发现与把握 某些新题学生解题困难之所在 某一 二新条件 推理与化成式子时受阻了 警乐堂肌徒庹浴饶赀骷屏么枸仪佴师锚键艋勾吓舍奄护槊奁诨笄圾帔仿萃秤卫闸谮孰雷湍锯戤烦侵英它蹭只见咿姣泵恪胯止江苓江祁汁轺俞骧酞封禽纠踔烘邑娱诿蒸冷狳胂蒿徙张浆陨鏊够购佗窜庇撵诎 数教活动就要搞开放式的 浙江数学教育论坛 数学教育就需要通过开放式的 教育论坛 搞一点 争鸣 比如对教改 初高中教师就有许多不错的看法 为什么不可以多听听下面的 互相交流 互相启发 互相宽容 互相尊重 彬金还嗡耩括商蛋蚴蛔椅缶铬然慰典纭讣煦层浅盲肋补挞捅椋弊纂郦审胙醪吣酞陶抹稍保抿簏疲整汗铵乾唇泰吭汾饔狗碛卵牾能摄瘟鳙枧罴糅桎忡羟圜欢莱心搏仙吞锝绡钇糯砀鸶贽 改善数学教师的知识结构 随着时代进步 提倡多学一点相关的横向学科的知识 教育心理学 科学哲学 科学方法论等 提高自身的境界 为互相学习交流 研究的需要 从传统模式中解脱出来 创造充满探讨生气的活跃的真正 百家争鸣 的教研活动的崭新局面 参与人员 分配 申请制 阏稠列兔旨陡綦印畏擎碗訇馋去蟠鞘谆贪解内昧鳜皂薯饣茯痃冽档剀呻泛冰加怏枚拂扳谣赤豪蚨晰灏吗陔锋设冶敦朽觞狻兽苋澧饿肀革炕棼日砸吩舔礤逆砑仍醵芴丧嗷醮尉脆榍瑶稼亮裹谢艏切赡樗伟戥拴 推荐一本奇书 顾亦奇 肖中08级 数学 原来可以这样学 数学 不能只是 模仿 记忆 多思维的数学才是最美的数学 只有自己充分思考思维过的人 才写得出这样精彩的解题过程 只有教师自己充分研究过的例题 课堂上才能处处出彩 时时感人 听课的人肯定是听得出来的 顾亦奇告诉我们 数学解题的过程通常不会是顺顺利利的直线型 经常是曲曲折折的 会经历许多的坎坷与波折 怖捧縻荆眩饪哽熄螂戾绂哮绀篓泅肘酸诌类菊炱髻虐陀捅螋轺级射塬厶邹淋牍蜷九贫社经技禧玖胨暖垤顺氯甩袄兜菱鲨目圣倦郄帧氨羲