相似三角形复习题

1 相似三角形复习题 一 选择题 1 如图 Rt ABAC中 AB AC AB 3 AC 4 P是BC边上一点 作PE AB于 E PD AC于D 设BP x 则PD PE A B C D 3 5 x 4 5 x 7 2 2 1212 525 xx 2 如图 2 小明在打网球时 使球恰好能打过网 而且落点恰好在 离网 6 米的位置上 则球拍击球的高度 h 为 A B 1 C D 8 15 4 3 8 5 6 米 0 8 米 4 米 h 米 3 如图 3 已知等边三角形 ABC 的边长为 2 DE 是它的中位线 则下面四个结 论 1 DE 1 2 AB 边上的高为 3 CDE CAB 4 CDE 的3 面积与 CAB 面积之比为 1 4 其中正确的有 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 A B C DE 图 3 4 如图 丁轩同学在晚上由路灯走向路灯 当他走到点时 发现身后ACBDP 他影子的顶部刚好接触到路灯的底部 当他向前再步行 20m 到达点时 ACQ 发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯的底部 已知丁轩同学的身高是BD A B C D E P 2 1 5m 两个路灯的高度都是 9m 则两路灯之间的距离是 D A 24mB 25mC 28mD 30m 5 下列四个三角形 与左图中的三角形相似的是 A B C D 6 若 ABC DEF ABC 与 DEF 的相似比为 2 3 则 S ABC S DEF为 A 2 3 B 4 9 C D 3 223 7 在同一时刻 身高 1 6 米的小强在阳光下的影长为 0 8 米 一棵大树的影长 为 4 8 米 则树的高度为 C A 4 8 米B 6 4 米C 9 6 米D 10 米 8 如图 每个小正方形边长均为 1 则下列图中的三角形 阴影部分 与左图中 相似的是 BABC A B C D A B C 9 如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图 点 P 处放一水平的平面 镜 光线从点 A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙 CD 的顶端 C 处 已知 AB BD CD BD 且测得 AB 1 2 米 BP 1 8 米 PD 12 米 那么该古城墙的 高度是 A 6 米 B 8 米 C 18 米 D 24 米 10 如图 1 已知 AD 与 VC 相交于点 O AB CD 如果 B 40 D 30 则 AOC 的大小为 3 ED C B A A 60 B 70 C 80 D 120 11 如图 已知D E分别是的AB AC边上的点 且ABC DE BC 那么等于 1 ADEDBCE SS 四边形 AE AC A 1 9 B 1 3 C 1 8 D 1 2 B A C DE 12 如图G是 ABC的重心 直线 L 过A点与BC平行 若直线CG分别与AB A L交于D E两点 直线BG与AC交于F点 则 AED的面积 四边形ADGF的 面积 A 1 2 B 2 1 C 2 3 D 3 2 A B G C D E F L 13 图为 ABC与 DEC重迭的情形 其中E在BC上 AC交DE于F点 且AB DE 若 ABC与 DEC的面积相等 且EF 9 AB 12 则DF A BC D E F A 3 B 7 C 12 D 15 14 如果两个相似三角形的相似比是 那么它们的面积比是 1 21 2 B C D 1 41 22 1 15 如图 在中 分别是 边的中点 若 则ABC DEABAC6BC 等于 DE A 5 B 4 C 3 D 2 二填空题 1 在 ABC 中 若 D E 分别是边 AB AC 上的点 且 DE BC AD 1 DB 2 则 ADE 与 ABC 的面积比为 4 第 17 题图 ED CB A 2 如图 DE 与 ABC 的边 AB AC 分别相交于 D E 两点 且 DE BC 若 DE 2 BC 3 EC 则 AC 3 2 3 如图 已知李明的身高为 1 8m 他在路灯下的影 长为 2m 李明距路灯杆底部为 3m 则路灯灯泡 距地面的高度为 m 4 如图 某学习小组选一名身高为 1 6m 的同学直立 于旗杆影子的顶端处 其他人分为两部分 一部 分同学测量该同学的影长为 1 2m 另一部分同学 测量同一时刻旗杆影长为 9m 那么旗杆的高度是 m 5 如图 在 ABC 中 DE BC 若 3 1 AB AD DE 2 则 BC 的长为 6 如图 则 90EC3 AC4 BC2 AE AD 三 简答题 1 如图 10 四边形 ABCD DEFG 都是正方形 连接 AE CG AE 与 CG 相交于点 M CG 与 AD 相交于点 N 求证 1 CGAE 2 MNCNDNAN A B C E D 3 4 2 5 2 如图 在 8 8 的网格中 每个小正方形的顶点叫做格点 OAB的顶点都在 格点上 请在网格中画出 OAB的一个位似图形 使两个图形以O为位似中心 且所画图形与 OAB的位似比为 2 1 3 如图 四边形和四边形都是平行四边形 点为的中点 ABCDACEDRDE 分别交于点 BRACCD PQ 1 请写出图中各对相似三角形 相似比为 1 除外 2 求 BP PQ QR 4 如图 在 ABC 中 BC AC 点 D 在 BC 上 且 DC AC ACB 的平分线 CF 交 AD 于 F 点 E 是 AB 的中点 连结 EF 1 求证 EF BC 2 若四边形 BDFE 的面积为 6 求 ABD 的面积 A 第 8 题图 B O A B C D E P O R 6 5 如图 点 D E 在 BC 上 且 FD AB FE AC 求证 ABC FDE F ED CB A 6 如图 7 在梯形 ABCD 中 若 AB DC AD BC 对角线 BD AC 把梯形分成了四 个小三角形 1 列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况 并求出选取 到的两个三角形是相似三角形的概率是多少 注意 全等看成相似的特例 2 请你任选一组相似三角形 并给出证明 7 如图 ABCD 中 E 是 CD 的延长线上一点 BE 与 AD 交于点 F CDDE 2 1 F A D E BC 求证 ABF CEB 若 DEF 的面积为 2 求 ABCD 的面积 8 如图 AC 是圆 O 的直径 AC 10 厘米 PA PB 是圆 O 的切线 A B 为切点 过 A 作 AD BP 交 BP 于 D 点 连结 AB BC 1 求证 ABC ADB 2 若切线 AP 的长为 12 厘米 求弦 AB 的长 A P DB C O A B CD 图 7 7 一 选择题 2 C 3 D 4 D 5 B 6 B 7 C 8 A 9 B 10 B 11 B 12 B 13 D 14 B 15 B 16 C 二 填空题 1 50 2 10 5 3 6 4 4 5 6 6 7 4 8 8 ADE ACB 或4 9 AED ABC 或 ADAE ACAB 9 100 10 三 解答题 1 解 1 皮尺 标杆 2 测量示意图如右图所示 3 如图 测得标杆 树和标杆的影长分DEa 别为 ACb EFc DEFBAC DEFE BACA ac xb ab x c 2 1 证明 AD CD DE AC DE 垂直平分 AC AF CF DFA DFC 90 DAF DCF DAB DAF CAB 90 CAB B 90 DCF DAF B 在 Rt DCF 和 Rt ABC 中 DFC ACB 90 DCF B DCF ABC 即 AB AF CB CD CDCF ABCB CDAF ABCB 2 解 AB 15 BC 9 ACB 90 AC 12 CF AF 6 22 ABBC 22 159 6 3x 27 x 0 1 9 2 yx BC 9 定值 PBC 的周长最小 就是 PB PC 最小 由 1 可知 点 C 关于直线 DE 的对称点是点 A PB PC PB PA 故只要求 PB PA 最小 显然当 P A B 三点共线时 PB PA 最小 此时 DP DE PB PA AB 由 1 ADF FAE DFA ACB 90 地 DAF ABC EF BC 得 AE BE AB EF 1 2 15 2 9 2 AF BC AD AB 即 6 9 AD 15 AD 10 Rt ADF 中 AD 10 AF 6 DF 8 DE DF FE 8 9 2 25 2 当 x 时 PBC 的周长最小 此时 y 25 2 129 2 C D EF B A 8 3 证明 1 四边形和四边形都是正方形 ABCDDEFG 90 ADCD DEDGADCEDG ADECDGADECDG AECG 2 由 1 得 又CNDANMDCGDAECDGADE ANMN ANDNCNMN CNDN 即 AMN CDN 4 证明 DEFG为正方形 GD FE GDB FEC 90 ABC是等边三角形 B C 60 BDG CEF AAS a 解法一 设正方形的边长为x 作 ABC的高AH 求得3 AH 由 AGF ABC得 3 3 2 xx 解之得 或 32 32 x 634 x 解法二 设正方形的边长为x 则 2 2x BD 在 Rt BDG中 tan B BD GD 3 2 2 x x 解之得 或 32 32 x634 x 解法三 设正方形的边长为x 则xGB x BD 2 2 2 A BC DE FG 解图 2 H 9 由勾股定理得 222 2 2 2 x xx 解之得 634 x b 解 正确 由已知可知 四边形GDEF为矩形 FE F E BF FB EF FE 同理 BF FB GF FG GF FG EF FE 又 F E F G FE FG 因此 矩形GDEF为正方形 5 解 1 ABE DAE ABE DCA BAE BAD 45 CDA BAD 45 BAE CDA 又 B C 45 ABE DCA 2 ABE DCA CD BA CA BE 由依题意可知CA BA 2 n m2 2 m n 2 自变量 n 的取值范围为 1 n 2 3 由BD CE可得BE CD 即 m n m n 2 m n 2 OB OC BC 1 2 1 OE OD 12 D 1 0 2 A BC D E FG 解图 3 G F E D F D H A G ECB 10 BD OB OD 1 1 2 CE DE BC 2BD 2 2 2 2222 22 BD CE 2 BD 2 2 12 8 DE 2 2 222 2 2 2 2 2 2 12 82 BD CE DE 222 4 成立 证明 如图 将 ACE绕点A顺时针旋转 90 至 ABH的位置 则 CE HB AE AH ABH C 45 旋转角 EAH 90 连接HD 在 EAD和 HAD中 AE AH HAD EAH FAG 45 EAD AD AD EAD HAD DH DE 又 HBD ABH ABD 90 BD HB DH 222 即BD CE DE 222 6 解 1 RtA 6AB 8AC 10BC 点为中点 DAB 1 3 2 BDAB 90DHBA BB BHDBAC DHBD ACBC 312 8 105 BD DHAC BC 2 QRAB 90QRCA CC RQCABC RQQC ABBC 10 610 yx 即关于的函数关系式为 yx 3 6 5 yx 3 存在 分三种情况 当时 过点作于 则 PQPR PPMQR MQMRM 1290 290C A BC D E R P H Q M 2 1 A BC D E R P H Q 11 1C 84 cos 1cos 105 C 4 5 QM QP 13 6 425 12 5 5 x 18 5 x 当时 PQRQ 312 6 55 x 6x 当时 则为中垂线上的点 PRQR RPQ 于是点为的中点 REC 11 2 24 CRCEAC tan QRBA C CRCA 3 6 6 5 28 x 15 2 x 综上所述 当为或 6 或时 为等腰三角形 x 18 5 15 2 PQR 7 解 1 MN BC AMN B ANM C AMN ABC 即 AMAN ABAC 43 xAN AN x 2 分 4 3 0 4 3 分S 2 1 33 2 48 MNPAMN SSx xx x 2 如图 2 设直线BC与 O相切于点D 连结AO OD 则AO OD MN 2 1 在 Rt ABC中 BC 5 22 ABAC 由 1 知 AMN ABC 即 AMMN ABBC 45 xMN 5 4 MNx 5 分 5 8 ODx A BC D E R P H Q A B C MN D 图 2 O Q 12 过M点作MQ BC 于Q 则 5 8 MQODx 在 Rt BMQ与 Rt BCA中 B是公共角 BMQ BCA BMQM BCAC 5 5 25 8 324 x BMx 25 4 24 ABBMMAxx x 49 96 当x 时 O与直线BC相切 7 分 49 96 3 随点M的运动 当P点落在直线BC上时 连结AP 则O点为AP的 中点 MN BC AMN B AOM APC AMO ABP AM MB 2 1 2 AMAO ABAP 故以下分两种情况讨论 当 0 2 时 x 2 8 3 xSy PMN 当 2 时 8 分x 2 33 2 82 y 大大 当 2 4 时 设PM PN分别交BC于E F x 四边形AMPN是矩形 PN AM PN AM x 又 MN BC 四边形MBFN是平行四边形 FN BM 4 x 424PFxxx 又 PEF ACB 2 PEF ABC SPF ABS 9 分 23 2 2 PEF Sx 10 MNPPEF ySS 2 22 339 266 828 xxxx 分 当 2 4 时 x 2 9 66 8 yxx 2 98 2 83 x A B C MN P 图 4 O EF A B C M N P 图 3 O 13 当时 满足 2 4 11 分 8 3 x x2y 大大 综上所述 当时 值最大 最大值是 2 12 分 8 3 x y 8 9 解 1 BCPBER PCQPAB PCQRDQ PABRDQ 2 四边形和四边形都是平行四边形 ABCDACEDBCADCE 又 ACDE PBPR 1 2 PC RE PCDR PCQRDQ 点是中点 RDEDRRE 1 2 PQPCPC QRDRRE 2QRPQ 又 3BPPRPQQRPQ 3 1 2BP PQ QR 10 1 ABC 为等腰三角形 AC BC CAB CBA 又 CH 为底边上的高 P 为高线上的点 PA PB PAB PBA CAE CAB PAB CBF CBA PBA CAE CBF 2 AC BC CAE CBF ACE BCF ACE BCF AAS AE BF 3 若存在点 P 能使 S ABC S ABG 因为 AE BF 所以 ABG 也是一个等腰三角 形 这两个三角形面积相等 底边也相同 所以高也相等 进而可以说明 ABC ABG 则对应边 AC AE ACE AEC 所以 0 C 90 11 解 作图 作 BAC的平分线交线段BC于E 4 分 痕迹清晰 准确 本步骤给满分 4 分 否则酌情扣 1 至 4 分 另外两点 及边作的是否准确 不扣分 如图 四边形ADEF是正方形 EF AB AD DE EF FA 5 分 CFE CAB A B C 第 11 题图 D E F 14 6 分 CA CF BA EF AC 2 AB 6 设AD DE EF FA x 6 6 2 xx 7 分 x 即正方形ADEF的边长为 2 3 2 3 8 分 本题可以先作图后计算 也可以先计算后作图 未求出AD或AF的值用作中 垂线的方法找到D点或F点 给 2 分 12 1 证明 CFACB 平分 12 又 DCAC CF 是 ACD 的中线 点 F 是 AD 的中点 点 E 是 AB 的中点 EF BD 即 EF BC 2 解 由 1 知 EF BD AEF ABD 2 AEF ABD SAE SAB 又 1 2 AEAB 6 AEFABDABDBDFE SSSS 四边形 2 61 2 ABD ABD S S 8 ABD S 的面积为 8 ABD 15 13 提示 1 如图 AD 即为所求