江西省吉安市2016届高三(上)期末数学试卷(文)含答案解析

第 1 页（共 19 页） 2015年江西省吉安市高三（上）期末数学试卷（文科） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 58 分，每小题给出四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确的序号填入答题卡中） 1已知集合 A=x|1x4， xN， B=y|y=xA，则 AB=（ ） A 1， 4B 2， 3C 9， 16D 1， 2 2若复数 z 满足 =其中 i 为虚数单位，则 z=（ ） A +1+ 1 i 3甲、乙两名同学在高考前的 7 次数学模拟测试中，四个填空题的成绩统计如图的茎叶图所示，则关于甲、乙两名同学的成绩分析不正确的是（ ） A甲、乙两位同学填空题的成绩的中位数都是 15 B甲同学填空题 的成绩的众数是 15 C乙同学填空题的成绩的众数是 20 D乙同学填空题的平均成绩要好些 4庄子说： “一尺之锤，日取其半万世不竭 ”这句话描述的问题实质是一个等比数列，设等比数列 首项 ，前 n 项和 ） A B C 2D 2 5已知函数 h（ x） =008，若 h（ t） =2016，则 h（ t）等于（ ） A 1008B 0C 2016D不确定 6如图是一个程序框图，它的功能是（ ） A输出年份 y2000， 2500）且 yN“哪年是闰年 ”“哪年不是闰年 ” B输出年份 y2000， 2500且 yN“哪年是闰年 ”“哪年不是闰年 ” 第 2 页（共 19 页） C输出年份 y2000， 2500）且 yN“多少年是闰年 ”“多少年不是闰年 ” D输出年份 y2000， 2500且 yN“多少年是闰年 ”“多少年不是闰年 ” 7给出下列三个结论： 命题 p： ， 0，则非 p： xR， x2+x+3=0； a =N，（ a 0， a1， N 0） 命题 “若 x2+，则 x， y 都为零 ”的否命题为： “若 x2+，则 x， y 都不为零； 其中正确的结论的个数为（ ） A 0B 1C 2D 3 8已知函数 f（ x） = ，则函数 g（ x） =x f（ ） 的一个单调递增区间为（ ） A 0， B ， C ， D ， 9已知双曲线 =1 和双曲线 =1，其中 b a 0，则关于双曲线 命题 渐近线相同； 焦点相同； 离心率 足 + =1； 两个双曲线焦点在同一圆上， 其中所有正确的命题序号为（ ） A B C D 10已知函数 f（ x） = +2x x+1）在（ 1， +）上是增函数，则实数 m 的取值范围为（ ） A（ ， 2 B（ ， 2 ） C（ ， 3） D（ ， 3 11已知抛物线 C： x 的焦点为 F，准线为 l， P 是 l 上一点，直线 抛物线 C 相交于 A、 B 两点，若 =3 ，则 |（ ） A 5B C D 8 12方程 |y|=1 |y|所表示的曲线是（ ） A B C D 二、填空题 :（本大题共 4个小题，每小题 5 分，共 20 分，把 答案直接写在答题卡中相应题号的横线上） 第 3 页（共 19 页） 13已知两个单位向量 ， 的夹角为 150， =2 +3 ，则 | 2 |= 14已知函数 f（ x） =1 ，则 f（ 2） +f（ 3） +f（ 10） +f（ ） +f（ ） +f（ ） = 15若函数 f（ x） =2x+ ）（ （ ， ）的图象向左平移 个单位长度得到函数 g（ x）的图象，且函数 g（ x）是偶函数，则 的值为 16设 x， y 满足约束条件 ，则（ x+1） 2+（ y+2） 2 的取值范围为 三、解答题 .（本大题共 5 小题，共 60 分，解答应写出必要的文字说明、证明或演算步骤） 17已知数列 足 ， ， =， =nN* （ 1）求数列 通项公式； （ 2）设数列 足 cn=annN*，求数列 前 n 项和 18设圆 O： x2+，椭圆 C： +，定义横、纵坐标为整数的点为 “格点 ” （ 1）设圆上及圆内的 “格点 ”构成集合 A，椭圆上及椭圆内的 “格点 ”构成集合 B，求集合 A，B； （ 2）设 C=A B， D=AB，在集合 C 中任取两个元素，至少有一个元素在集合 D 的概率是多少？ 19在 ，角 A、 B、 C 所对的边分别为 a， b， c，且 1）求角 B 的取值范围； （ 2）若 D 是边 中点，且 面积为 ， b=3，求 | |的值 20已知椭圆 C： + =1（ a b 0）的右焦点 F 与抛物线 x 的焦点重合，且点 A（ ， ）是两曲线的一个交点，过焦点 F 作一条直线 l 交椭圆 C 于 M， N 两点 （ 1）求椭圆 C 的标准方程； （ 2）若 = 7，求直线 l 的方程 21已知函数 f（ x） =bx+c（ a0），且 f（ 1+x） =f（ 1 x）， f（ 0） =1， f（ 1） =0，令 g（ x） =x 1） 2 f（ x） （ 1）求函数 f（ x）的表达式及函数 g（ x）的单调区间； （ 2）关于 x 的方程 g（ x） = x 1 a 在 0， 2上恰有两个不等的实根，求实数 a 的取值范围 第 4 页（共 19 页） 请考生在 22、 23、 24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 选修 4何证明选讲 22如图，圆 O 的直径 ， P 是 长线上一点， ，割线 圆 O 于点 C，D，过点 P 作 垂线，交直线 点 E，交直线 点 F （ 1）求证： F； （ 2）若 ，求 值 选修 4标系与参数方程 23已知圆 C 的极坐标方程是 =4轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系 （ 1）求圆 C 的直角坐标方程和圆心和圆心 C 的极坐标； （ 2）若斜率为 2，且过点 P（ 0， a）的直线 l 与圆 C 相交于 A， B 两点，且 |3，求实数 a 的值 选修 4等式选讲 24已知关于 x 的不等式 |x 1| |x+1| |4m 2|的解集不是空集 （ 1）求实数 m 的取值集合 M； （ 2）若 aM， bM，设 示数集 A 的最小数， I= ， ， 2 ，求证：I2 第 5 页（共 19 页） 2015年江西省吉安市高三（上）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 58 分，每小题给出四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确的序号填入答题卡中） 1已知集合 A=x|1x4， xN， B=y|y=xA，则 AB=（ ） A 1， 4B 2， 3C 9， 16D 1， 2 【考点】 交集及其运算 【分析】 列举出 A 中的元素确定出 A，将 A 中元素代入 B 确定出 B，找出两集合的交集即可 【解答】 解：由题意得： A=1， 2， 3， 4， 把 x=1， 2， 3， 4，分别代入 y=： y=1， 4， 9， 16，即 B=1， 4， 9， 16， 则 AB=1， 4， 故选： A 2若复数 z 满足 =其中 i 为虚数单位，则 z=（ ） A +1+ 1 i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 首先把 为 ，再利用复数代数形式的乘除运算化简即可得答案 【解答】 解：复 数 z 满足 = ， 则 z= = 故选： B 3甲、乙两名同学在高考前的 7 次数学模拟测试中，四个填空题的成绩统计如图的茎叶图所示，则关于甲、乙两名同学的成绩分析不正确的是（ ） A甲、乙两位同学填空 题的成绩的中位数都是 15 B甲同学填空题的成绩的众数是 15 C乙同学填空题的成绩的众数是 20 D乙同学填空题的平均成绩要好些 【考点】 茎叶图 第 6 页（共 19 页） 【分析】 根据茎叶图中的数据，结合中位数与平均数、众数的概念，进行判断即可 【解答】 解：根据茎叶图中的数据知， 甲的成绩中位数是 15，乙的成绩中位数也是 15， A 正确； 甲的成绩众数是 15， B 正确； 乙的成绩众数是 15 和 20， C 错误； 甲的成绩平均数是 （ 5+10+15+15+15+20+20） = ， 乙的成绩 （ 5+15+15+15+20+20+20） = ， 所以乙同学的平均成绩要好些， D 正确 故选： C 4庄子说： “一尺之锤，日取其半万世不竭 ”这句话描述的问题实质是一个等比数列，设等比数列 首项 ，前 n 项和 ） A B C 2D 2 【考点】 等比数列的前 n 项和 【分析】 由题意可得： ， q= ，利用等比数列的前 n 项和公式即可得出 【解答】 解：由题意可得： ， q= ， = 2 5已知函数 h（ x） =008， 若 h（ t） =2016，则 h（ t）等于（ ） A 1008B 0C 2016D不确定 【考点】 函数奇偶性的性质 【分析】 求出 1008，从而求出 h（ t）的值即可 【解答】 解： h（ x） =008， h（ t） = 008=2016， 解得： 1008， h（ t） =008 1008=0， 故选： B 6如图是一个程序框图，它的功能是（ ） 第 7 页（共 19 页） A输出年份 y2000， 2500）且 yN“哪年是闰年 ”“哪年不是闰年 ” B输出年份 y2000， 2500且 yN“哪年是闰年 ”“哪年不是闰年 ” C输出年份 y2000， 2500）且 yN“多少年是闰年 ”“多少年不是闰年 ” D输出年份 y2000， 2500且 yN“多少年是闰年 ”“多少年不是闰年 ” 【考点】 程序框图 【分析】 模拟程序框图的运行过程，得出该程序是判断并输出年份 y2000， 2500且 yN“哪年是闰年 ”“哪年不是闰年的应用问题，由此选出正确的答案 【解答】 解：模拟程序框图的运行过程，得出 ； 当 y2000， 2500时，判断 y 不能被 4 整除， 或 y 被 4 整除且不能被 100 整除， 或 y 被 4 整除且被 100 整除时，再判断 y 是否被 400 整除； 从而输出 y 是闰年或者不是闰年 由此得出选项 B 正确 故选： B 7给出下列三个结论： 命题 p： ， 0，则非 p： xR， x2+x+3=0； a =N，（ a 0， a1， N 0） 命题 “若 x2+，则 x， y 都为零 ”的否命题为： “若 x2+，则 x， y 都不为零； 其中正确的结论的个数为（ ） A 0B 1C 2D 3 【考点】 命题的真假判断与应用 【分析】 根据全称命题的否定是特称命题进行判断 根据指数恒等式进行判断即可 根据否命题的定义进行判断 【解答】 解： 命题 p： ， 0，则非 p： xR， x2+x+3=0，正确；故 正确， a =N，（ a 0， a1， N 0），成立，故 正确， 第 8 页（共 19 页） 命题 “若 x2+，则 x， y 都为零 ”的否命题为： “若 x2+，则 x， y 不都 为零，错误；故 错误， 故选： C 8已知函数 f（ x） = ，则函数 g（ x） =x f（ ） 的一个单调递增区间为（ ） A 0， B ， C ， D ， 【考点】 正弦函数的图象 【分析】 利用分段函数求得 g（ x）的解析式，再利用余弦函数的单调性，求得 g（ x）的增区间 【解答】 解： f（ ） =f（ ） =f（ ） = ） = ， g（ x） =x f（ ） =2x ） = 令 2x2， 求得 kx，可得 g（ x）的增区间为 ， kZ， 令 k=0，可得增区间为 0， ， 故选： A 9已知双曲线 =1 和双曲线 =1，其中 b a 0，则关于双曲线 命题 渐近线相同； 焦点相同； 离心率 足 + =1； 两个双曲线焦点在同一圆上， 其中所有正确的命题序号为（ ） A B C D 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 分别求得双曲线的渐近线方程和焦点坐标、以及离心率，即可判断 正确，错误 【解答】 解：由双曲线 =1 和双曲线 =1， 可得渐近线方程均为 y= x，故 正确； 第 9 页（共 19 页） 双曲线 ， 0），双曲线 焦点为（ 0， ）， 故 错误； 离心率 = + = =1， 故 正确； 由焦点为（ ， 0），（ 0， ），可得它们在圆 x2+y2=a2+ 故 正确 故选： B 10已知函数 f（ x） = +2x x+1）在（ 1， +）上是增函数，则实数 m 的取值范围为（ ） A（ ， 2 B（ ， 2 ） C（ ， 3） D（ ， 3 【考点】 函数单调性的判断与证明 【分析】 求导数得到 ，可设 g（ x） =2 4 m） x+3 m，根据 f（ x）在（ 1， +）上为增函数便可得到 g（ x） 0 在（ 1， +）上恒成立，从而得到 0，或 ，这样便可解出实数 m 的取值范围 【解答 】 解： = ； f（ x）在（ 1， +）上是增函数； f（ x） 0 在（ 1， +）上恒成立； 设 g（ x） =2 4 m） x+3 m，则 g（ x） 0 在（ 1， +）上恒成立； =（ 4 m） 2 8（ 3 m） 0，或 ； 解得 ，或 ； 实数 m 的取值范围为 故选： A 11已知抛物线 C： x 的焦点为 F，准线为 l， P 是 l 上一点，直线 抛物线 C 相交于 A、 B 两点，若 =3 ，则 |（ ） A 5B C D 8 【考点】 抛物线的简单性质 第 10 页（共 19 页） 【分析】 先根据题意写出直线的方程，再将直线的方程与抛物线 x 的方程组成方程组，消去 y 得到关于 x 的二次方程，最后利用根与系数的关系结合抛物线的定义即可求线段 【解答】 解：抛物线 C： x 的焦点为 F（ 1， 0），准线为 l： x= 1，设 A（ B（ A， B 到准线的距离分别为 由抛物线的定义可知 |dA=， |dB=，于是 |x1+ =3 ， 直线 斜率为 ， F（ 1， 0）， 直线 方程为 y= （ x 1）， 将 y= （ x 1），代入方程 x，得 3（ x 1） 2=4x，化简得 310x+3=0， x1+，于是 |x1+= +2= 故选： B 12方程 |y|=1 |y|所表示的曲线是（ ） A B C D 【考点】 函数的图象 【分析】 易知 |y|1；从而排除 A， B； 再分类讨论以确定曲线的形状即可 【解答】 解： 1 |y|0， |y|1； 故排除 A， B； 当 1y0 时， |y|=1 |y|可化为 y=1+y， 故 y= ； 当 0 y1， y 时， y y， 故 y= ， 故排除 C， 故选 D 二、填空题 :（本大题共 4个小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案直接写在答题卡中相应题号的横线上） 13已知两个单位向量 ， 的夹角为 150， =2 +3 ，则 | 2 |= 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 由 =2 +3 ，得 ，求其模的平方，然后开方得答案 第 11 页（共 19 页） 【解答】 解： =2 +3 ， ， 又向量 ， 为单位向量且夹角为 150， =4+4 = ， | 2 |= 故答案为： 14已知函数 f（ x） =1 ，则 f（ 2） +f（ 3） +f（ 10） +f（ ） +f（ ） +f（ ） = 9 【考点】 函数的值 【分析】 化简可得 f（ ） =1 =1 ， f（ x） +f（ ） =1，从而解得 【解答】 解： f（ x） =1 ， f（ ） =1 =1 ， f（ x） +f（ ） =1， 故 f（ 2） +f（ 3） +f（ 10） +f（ ） +f（ ） +f（ ） =f（ 2） +f（ ） +f（ 3） +f（ ） +f（ 10） +f（ ） =1+1+1+1=9， 故答案为： 9 15若函数 f（ x） =2x+ ）（ （ ， ）的图象向左平移 个单位长度得到函数 g（ x）的图象，且函数 g（ x）是偶函数，则 的值为 【考点 】 函数 y=x+）的图象变换 【分析】 由条件利用 y=x+）的图象变换规律，三角函数的奇偶性，求得 的值 第 12 页（共 19 页） 【解答】 解：把函数 f（ x） =2x+ ）（ （ ， ）的图象向左平移 个单位长度， 得到函数 g（ x） =2（ x+ ） + =2x+ + ）的图象 再根据函数 g（ x）是偶函数，可得 + =，即 = + ， kZ， 故 = ， 故答案为： 16设 x， y 满足约束条件 ，则（ x+1） 2+（ y+2） 2 的取值范围为 ， 18 【考 点】 简单线性规划 【分析】 作平面区域，从而可得（ 1+1） 2+（ +2） 2（ x+1） 2+（ y+2） 2（ 2+1） 2+（ 1+2）2，从而解得 【解答】 解：作平面区域如下， ， 由图象可得， A（ 1， ）， B（ 2， 1）， 故（ 1+1） 2+（ +2） 2（ x+1） 2+（ y+2） 2（ 2+1） 2+（ 1+2） 2， 故 （ x+1） 2+（ y+2） 218， 故答案为： ， 18 三、解答题 .（本大题共 5 小题，共 60 分，解答应写出必要的文字说明、证明或演算步骤） 第 13 页（共 19 页） 17已知数列 足 ， ， =， =nN* （ 1）求数列 通项公式； （ 2）设数列 足 cn=annN*，求数列 前 n 项和 【考点】 数列的求和；数列递推式 【分析】 （ 1）数列 满足 ， =，利用等差数列的通项公式即可得出数列 足 ， =nN*，可得 =3用等比数列的通项公式即可得出 （ 2） cn=an 2n 1） 3n利用 “错位相减法 ”与等比数列的前 n 项和公式即可得出 【解答】 解：（ 1）数列 满足 ， =， 数列 等差数列，首项为 1，公差为 2 +2（ n 1） =2n 1 数列 足 ， =nN*， =3 数列 等比数列，首项为 3，公比为 3 n （ 2） cn=an 2n 1） 3n 数列 前 n 项和 +332+533+（ 2n 1） 3n， 32+333+（ 2n 3） 3n+（ 2n 1） 3n+1， 2+2（ 32+33+3n）（ 2n 1） 3n+1=2 3（ 2n 1） 3n+1=（ 22n） 3n+1 6， n 1） 3n+1+3 18设圆 O： x2+，椭圆 C： +，定义横、纵坐标为整数的点为 “格点 ” （ 1）设圆上及圆内的 “格点 ”构成集合 A，椭圆上及椭圆内的 “格点 ”构成集合 B，求集合 A，B； （ 2）设 C=A B， D=AB，在集合 C 中任取两个元素，至少有一个元素在集合 D 的概率是多少？ 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率；集合的表示法 【分析】 （ 1）根据圆的性质和椭圆的性质即可求 出格点的坐标，分别写出相应的集合即可， （ 2）分别求出集合 C， D 的元素个数，根据概率公式计算即可 【解答】 解：（ 1）由题意可得， A=（ 0， 0），（ 1， 0），（ 1， 0），（ 0， 1），（ 0， 1） ， B=（ 0， 0），（ 1， 0），（ 1， 0），（ 0， 1），（ 0， 1），（ 2， 0），（ 2， 0） ， （ 2）设 C=A B=（ 0， 0），（ 1， 0），（ 1， 0），（ 0， 1），（ 0， 1），（ 2， 0），（ 2， 0） 共有 7 个， D=AB=（ 0， 0），（ 1， 0），（ 1， 0），（ 0， 1），（ 0， 1） ， 从 集合 C 中任取两个元素共有 1 种， 没有有一个元素在集合 D，有 种， 故至少有一个元素在集合 D 的概率为 1 = 19在 ，角 A、 B、 C 所对的边分别为 a， b， c，且 1）求角 B 的取值范围； 第 14 页（共 19 页） （ 2）若 D 是边 中点，且 面积为 ， b=3，求 | |的值 【考点】 余弦定理；正弦定理 【分析】 （ 1）由余弦定理可得 b2=得 ，利用基本不等式可得 ，可得 B（ 0， ，利用三角形面积公式即可得解取值范围 （ 2）由（ 1）可得： ，利用三角形面积公式可求 值，利用平面向量的运算即可求值得解 【解答】 （本题满分为 12 分） 解：（ 1）由余弦定理可得： b2=2 分 则： = ， 5 分 B（ 0， ）， B（ 0， 6 分 （ 2）由（ 1）可得： ac= b=3， ， 7 分 S ，则： ，可得： 8 分 则： 2=c2+6， =6，即 | |=| （ ） |=3 12 分 20已知椭圆 C： + =1（ a b 0）的右焦点 F 与抛物线 x 的焦点重合，且点 A（ ， ）是两曲线的一个交点，过焦点 F 作一条直线 l 交椭圆 C 于 M， N 两点 （ 1）求椭圆 C 的标准方程； （ 2）若 = 7，求直线 l 的方程 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ 1）求得抛物线的焦点，可得 ，再将 A 的坐标代入椭圆方程，解方程即可得到椭圆方程； （ 2）设直线 l 的方程为 x=，代入椭圆方程 82，消去 x，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，解方程可得 m，进而得到所求直线的方程 【解答】 解：（ 1）抛物线 x 的焦点为（ 1， 0）， 即有 ， 第 15 页（共 19 页） 代入点 A（ ， ），可得 + =1， 解得 a=3， b=2 ， 即有椭圆方程为 + =1； （ 2） F（ 1， 0），设直线 l 的方程为 x=， 代入椭圆方程 82， 可得（ 9+8664=0， 设 M（ N（ 即有 y1+ ， ， 由 ）（ ） =m（ y1+1， 即有 = 1+m（ y1+1 =（ 1+（ ） +m（ ） +1= 7， 解得 m= ， 即有直线 l 的方程为 x= y+1 21已知函数 f（ x） =bx+c（ a0），且 f（ 1+x） =f（ 1 x）， f（ 0） =1， f（ 1） =0，令 g（ x） =x 1） 2 f（ x） （ 1）求函数 f（ x）的表达式及函数 g（ x）的单调区间； （ 2）关于 x 的方程 g（ x） = x 1 a 在 0， 2上恰有两个不等的实根，求实数 a 的取值范围 【考点】 二次函数的性质；根的存在性及根的个数判断 【分析】 （ 1）根据函数的对称性求出函数的对称轴，结合 f（ 0） =c=1， f（ 1） =a b+c=0，求出 a， b， c 的值，从而求出 f（ x）的表达式，求出 g（ x）的表达式，通过求导得到 g（ x）的单调区间即可； （ 2）问题转化为 x+1） 2 x+a=0，令 （ x） =x+1） 2 x+a，求出函数的单调性，结合二次函数的性质求出 a 的范围即可 【解答】 解：（ 1）由 f（ 1+x） =f（ 1 x）， 得： = 1， 又 f（ 0） =c=1， f（ 1） =a b+c=0， 解得： a=1， b=2， c=1， 函数 f（ x）的表达式是 f（ x） =（ x+1） 2， g（ x） =x+1） 2（ x+1） 2， g（ x） = ，（ x 1）， 由 g（ x） 0，解得： x（ ， 2） （ 1， 0）， 由 g（ x） 0，解得： x（ 2， 1） （ 0， +）， 第 16 页（共 19 页） 函数 g（ x）的单调递增区间是（ ， 2） （ 1， 0），递减区间是（ 2， 1） （ 0， +）； （ 2） g（ x） = x 1 a 即为 x+1） 2 x+a=0， 令 （ x） =x+1） 2 x+a，则 （ x） = ， 函数 （ x）在（ 0， 1）递增，在（ 1， 2）递减， 又方程 g（ x） = x 1 a 在 0， 2上恰有两个不等的实根， 则 ，解得： a（ 1 22 2 请考生在 22、 23、 24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 选修 4何证明选讲 22如图，圆 O 的直径 ， P 是 长线上一点， ，割线 圆 O 于点 C，D，过点 P