内积空间与希尔伯特空间

2.3 内积空间与希尔伯特空间通过前面的学习，知道维欧氏空间就是维线性赋范空间的“模型”，范数相当于向量的模，表明了线性赋范空间的代数结构对于三维向量空间，我们知道向量不仅有模，而且两个向量有夹角，例如为向量和的夹角时有：或者，其中表示两个向量的数量积(或点积或内积)，表示向量的模于是便有了直交性、直交投影以及向量的分解等概念，这些均反映了空间的“几何结构”通过在线性空间上定义内积，可得到内积空间，由内积可导出范数，若完备则为Hilbert空间2.3.1 内积空间定义1.1 设是数域上的线性空间，若存在映射：，使得，它满足以下内积公理： (1) ； 正定性(或非负性)(2) ； 共轭对称性(3) ， 线性性则称在上定义了内积，称为与的内积，为上的内积空间(Inner product spaces)当时，称为实内积空间；当时，称为复内积空间称有限维的实内积空间为欧几里德(Euclid spaces)空间,即为欧氏空间；称有限维的复内积空间为酉(Unitary spaces)空间注1：关于复数：设，那么；其中为辐射角、；对于，有注2：在实内积空间中，第二条内积公理共轭对称性变为对称性注3：在复内积空间中，第三条内积公理为第一变元是线性的，第二变元是共轭线性的因为，所以有，即对于第二变元是共轭线性的在实内积空间中，第三条内积公理为第一变元、第二变元均为线性的在维欧氏空间中，有，即下面的引理说明这样的性质在内积空间上同样成立如果在内积空间上定义范数，其中，通过Schwarz不等式可证明为线性赋范空间，即需验证满足范数公理引理1.1 Schwarz不等式 设为内积空间，有证明 当或者时，显然结论成立假设及，那么有即 令，则有，即，因此讨论什么条件下？Schwarz不等式中的成立验证满足范数公理(1)正定性和(2)齐次性容验证；(3)三角不等式：有故因此任何内积空间都可看成由内积导出的线性赋范空间，由范数导出的距离为例1.1 在点列依范数收敛时，内积是的连续映射即内积空间中的点列，依范数收敛，那么有证明 因为当时，所以有界，即存在正实数，使得，那么因此二元函数是连续函数2.3.2 希尔伯特空间定义1.2 设是数域上的内积空间，如果按内积导出的范数成为Banach空间，就称为Hilbert空间，简记为空间注4：因为内积可导出范数，范数可导出距离，所以有内积空间线性赋范空间度量空间其中称完备的线性赋范空间为Banach空间，完备的内积空间为Hilbert空间下面给出一些Hilbert空间的例子1、实内积空间是Hilbert空间对于 ，维欧式空间上的标准内积定义为导出的范数为，距离为2、复内积空间是Hilbert空间对于 ，维酉空间上的内积定义为导出的范数为，距离为3、复内积空间是Hilbert空间，定义内积为由Cauchy不等式知，内积导出的范数为，距离为4、复内积空间是Hilbert空间，定义内积为由荷尔德(Hlder)公式知内积导出的范数为，距离为2.3.3 内积空间与线性赋范空间的关系对于一个内积空间而言，内积可诱导一个范数，即它也是一个线性赋范空间，那么内积空间中的内积与它作为线性赋范空间的范数的关系如何？定理1.1 极化恒等式 内积空间中的内积与范数的关系式(1) 在实内积空间中(2) 在复内积空间中证明 (1) 由于在实内积空间中范数，所以同理可证(2)复内积空间中的极化恒等式成立注5：从上证明过程可知，对于任何内积空间有；对应的另一个结果可从下面的证明过程获得：由于内积可诱导出范数，所以一个内积空间可自然而然的看成一个线性赋范空间，然而一个线性赋范空间的范数却未必可由它的某个内积导出，什么情况下成立呢？定理1.2 内积空间的特征性质线性赋范空间成为内积空间，范数满足平行四边形公式证明 必要性 因为，所以充分性 首先定义内积，当是实内积空间时，定义；当是复内积空间时，定义下面仅验证实内积空间定义的内积满足正定性、共轭对称性及线性性，对于是复内积空间时同理可证(练习)由于，显然内积公理中的正定性成立；根据可知内积公理中的对称性同样成立下面证明及有，由平行四边形公式知：；上述两式相减并除以4得，即，特别地，取或得，于是利用归纳法可证对于正整数，成立，对于有理数，其中，有，于是得成立因为对于实数，存在有理数列，所以有，利用范数的连续性知，故注6：对于线性赋范空间而言，上述定理表明：如果上的范数不满足平行四边形公式，那么上不存在这样的内积，使得它导出的范数就是上的范数例1.2 对于线性赋范空间，其中，范数定义为，距离为，前面章节的结论表明为Banach空间, 为Hilbert空间证明当时，不成为内积空间证明 由上述定理知，只需验证当时，不满足平行四边形公式令，则，且，以及，于是，因此当且仅当，即当时，上不能定义内积使得例1.3 对于连续函数空间空间而言，范数为，导出的距离为时，为Banach空间证明不成为内积空间证明 令，显然，而，于是有，从而得，因此平行四边形公式不成立，即在上不能定义内积使得例1.4 对于次幂可积函数空间，范数定义为，导出的距离为，为Banach空间证明当时，不成为内积空间证明 令，其中，于是有，则，故，可见当时平行四边形公式不成立，即在上不能定义内积使得数学家简介大卫希尔伯特（David Hilbert，1862 年1月23日1943年2月14日），德国数学家，是19世纪和20世纪初最具影响力的数学家之一希尔伯特1862年出生于哥尼斯堡，1943年在德国哥廷根逝世他因为发明和发展了大量的思想观念（例如：不变量理论，公理化几何，希尔伯特空间）而被尊为伟大的数学家、科学家希尔伯特和他的学生为形成量子力学和广义相对论的数学基础做出了重要的贡献他还是证明论、数理逻辑、区分数学与元数学之差别的奠基人之一他热忱地支持康托的集合论与无限数他在数学上的领导地位充分体现于：1900年，在巴黎举行的第2届国际数学家大会上，38岁的大卫希尔伯特作了题为数学问题的著名讲演，提出了新世纪所面临的23个问题这23个问题涉及了现代数学的大部分重要领域，著名的哥德巴赫猜想就是第8个问题中的一部分对这些问题的研究，有力地推动了20世纪各个数学分支的发展希尔伯特的着作有希尔伯特全集几何基础线性积分方程一般理论基础等1928年他跟威廉阿克曼合写理论逻辑原理（Grundzuge der Theoretischen Logik）1930年，希尔伯特在他退休时演讲的最后六个单词，Wir mssen wissen, wir werden wissen. 我们必须知道，我们必将知道（We must know, we shall know）也是鼓舞一代数学家的六个单词尽管当时第三次数学危