《随机过程》第6章习题及参考答案.doc

湖南大学本科课程随机过程第6章习题及参考答案主讲教师：何松华 教授1. 给定实数和一个平稳随机过程，定义理想门限系统的特性为试证：(1) ；(2) 证：(1) 在任意时刻为只有两种取值1,0的随机变量，则(2)根据相关函数定义，有2设平方律检波器的传输特性为，在检波器输入端加入一窄带高斯随机过程，其概率密度函数为在检波器后联接一个理想低通滤波器，求低通滤波器输出过程的一维概率密度和均值；当时结果有何变化。解：根据题意，为非零均值的中频窄带随机过程，可以表示为：其中、为零均值窄带随机过程的同向分量以及正交分量，都服从均值为0、方差为的正态分布，且在同一时刻互不相关，则检波器输出信号通过理想低通滤波后，滤波器输出信号为由于随机变量、为互不相关(正态分布情况与独立等价)的正态随机变量，则服从自由度为2的卡方分布，即，根据随机变量函数的概率密度关系，的一维概率密度分布函数为当时，。3设对称限幅器的特性为(1)已知输入随机过程的一维概率密度，求输出随机过程的一维概率密度。(2)当输入随机过程为零均值平稳高斯过程、自相关函数为时，求输出过程的相关函数。解：的概率分布函数为显然，在处不连续，从0跳变到，其导数在该处将产生一个强度为的冲激，在处也不连续，从跳变到，其导数在该处将产生一个强度为的冲激，则有(2)根据相关函数的定义以及多维随机变量函数的数学期望特性，有：式中，根据的定义以及联合概率密度函数的对称性得到4设有理想限幅器假定输入为零均值平稳高斯随机过程。(1)求的一维概率密度和均值；(2)用Price定理证明：。解：(1) 显然，对任意时刻t，只有两种可能的取值1,-1，且概率各为0.5，则(2) 令为零均值、单位方差高斯噪声，则，根据Price定理上式中，令，并利用冲激函数的积分特性，得到根据以及得到：。5设有零均值高斯平稳随机过程，其自相关函数为，它的一维概率分布函数为，定义一个无记忆非线性系统，试用Price定理证明的相关函数为证：根据Price定理其中，取，得到式中，、，；上式中的积分为一个均值为0、方差为、归一化相关函数为的平稳高斯随机过程的二维联合概率密度分布函数的全积分，积分值为1，于是有：显然随机变量的取值范围为-1/2,1/2，当在-1/2,1/2范围内变化时，其概率分布函数为式中，为的反函数。因此，在任意时刻的概率密度分布为-1/2,1/2上的均匀分布，其均值为0，方差为1/12，代入或并利用或求得：，于是有：6平方律检波器的传输特性为，在检波器输入端加入一零均值平稳高斯随机过程，其方差为，相关函数为，求检波器输出过程的一维概率密度、均值及相关函数。解：，存在两个反函数，则在任意时刻的概率密度函数为根据联合正态分布随机变量的联合矩函数特性得到7全波线性检波器的传输特性为，在检波器输入端加入一零均值平稳高斯随机过程，其方差为，相关函数为，(1)求检波器输出过程的一维概率密度、均值；(2)用Price定理求输出过程的相关函数及方差。解：(1) ，存在两个反函数，则在任意时刻的概率密度函数为(2)设为零均值、单位方差、自相关函数为的平稳高斯随机过程，则有，对应的函数为，其二阶导数在处产生一个强度为的冲激，其余处的二阶导数值为0，则根据Price定理得到：根据分部积分性质，得到显然，的均方值与的均方值相同，代入、以及、得到：，于是有：8半波线性检波器的传输特性为在检波器输入端加入一零均值平稳高斯随机过程，其方差为，相关函数为，(1)求检波器输出过程的一维概率密度、均值；(2)用Price定理求输出过程的相关函数及方差。解：(1) 在任意时刻的概率分布函数为(2)设为零均值、单位方差、自相关函数为的平稳高斯随机过程，则有，对应的函数为，其二阶导数在处产生一个强度为的冲激，其余处的二阶导数值为0，则根据Price定理得到：根据分部积分性质，得到代入、以及、得到：、，于是有：9图示非线性系统。输入为零均值、功率谱密度为的高斯白噪声，求输出随机过程的自相关函数和功率谱密度。解：根据电路方程容易得到RC低通滤波器的传递函数为式中，则根据随机过程通过线性系统理论，低通滤波器输出过程的功率谱密度函数为根据典型傅立叶变换对关系得到低通滤波器输出过程的自相关函数为由于为零均值平稳高斯过程，则也为零均值平稳高斯过程，方差，则根据题6给出的平方律检波器的输入输出过程相关函数的关系(证明过程省略)得到：根据典型傅立叶变换关系得到检波器输出过程的功率谱密度函数为10设随机变量和是零均值、方差为的联合高斯随机变量，其概率密度分布函数分别为和，且，证明：证：根据高斯分布以及联合高斯分布随机变量的联合概率分布函数特性以及多维随机变量函数的数学期望性质，并令，有令、，则有(参见题5)，证毕。11设功率谱密度为的白噪声通过一个物理带宽为的理想低通滤波器，在低通滤波器后接一个传输特性为的平方律检波器，求检波器输出随机信号的自相关函数和功率谱密度，并将功率谱密度函数用图表示。解：理想低通滤波器输出信号的功率谱密度函数为根据相关函数与功率谱密度之间傅立叶变换关系，得到理想低通滤波器输出信号的自相关函数为根据题6给出的平方律检波器的输入输出过程相关函数的关系(证明过程省略)得到：根据傅立叶变换性质，有：根据卷积原理，宽度为、高度为1的矩形函数的卷积为宽度为、高度为的三角函数，则宽度为、高度为的矩形函数的卷积为宽度为、高度为的三角函数，则输出过程的功率谱密度函数如下图所示。12设为均值为、相关函数为的平稳高斯过程，将其加入到模型为的理想限幅器输入端，求限幅器输出过程的自相关函数。解：令为零均值、单位方差高斯噪声，则，令，根据Price定理，有：上式中，令，并利用冲激函数的积分特性，得到令式中，为函数在处的阶导数的值，则有式中13平方律检波器的传输特性为，在检波器输入端加入一窄带随机信号，其中包络服从瑞利分布求检波器输出过程的一维概率密度、均值和方差。解：根据窄带随机过程理论，当包络服从参数为的瑞利分布、相位服从-p,p上的均匀分布，且、相互独立时，窄带随机过程服从均值为0、方差为的正态分布证明过程参见第2章15题，或构造两外一个随机变量，根据多维随机变量的多维函数的联合概率密度特性得到根据函数关系得到检波器输出过程的一维概率密度为的均值、方差分别为14同步检波器如下图所示，设为窄带平稳随机信号，其相关函数为求检波器输出端的相关函数及平均功率。解：(由相关函数知该窄带随机过程的物理功率谱密度不是关于对称的，但不改变窄带信号的希尔伯特特性)将窄带随机过程表示为忽略符号特性(不改变相关函数及功率特性)，则理想低通滤波器输出信号可以表示为式中，为窄带随机过程的包络，为窄带随机过程的正交分量。根据窄带随机过程理论，的相关函数为式中，表示表示Hilbert变换。的平均功率对于窄带随机过程，可以进行近似计算。令，则有则功率谱的基带部分(非对称) 所对应的相关函数为根据希尔伯特变换原理以及傅立叶变换性质可知15设全波线性检波器的传输特性为，检波器的输入为，其中为直流电平信号，为零均值平稳高斯随机过程，其方差为，求检波器输入、输出