小学奥数——猫吃老鼠问题(约瑟夫问题)演练

猫吃老鼠(约瑟夫问题)问题第一章 一条直线有一天，Tom抓了100只老鼠，很不幸，Jerry也在其中。Tom决定把老鼠排成一条直线，从1到100号编了号，从1号开始，吃一个隔一个，从排头吃到排尾，下一轮继续从排头开始，直到只剩下最后一个的时候就放掉。那么Jerry该站到哪个位置，才能保证不被Tom吃掉呢？练习一下：现在Tom抓了2000只老鼠，还是排成一排，从1号开始，吃一个隔一个，这样吃下去，那么最后剩下的老鼠的编号是多少？拓展一下：现在Tom又抓了100只老鼠排成一排，很不幸，这次Jerry又被抓住了，这次Tom决定从1号开始，吃两个隔一个，这样吃下去，直到剩下的老鼠不足3个，那么这次Jerry该站在哪里呢？实战应用：（第14届华杯赛决赛第3题）将七位数1357924重复写287次组成一个2009位数“13579241357924”。删去新数中所有位于奇数位上的数字，按上述方法一直删下去直到剩下一个数字为止，则最后剩下的数字是_。思考：假设S只老鼠排成一排，Tom从1号开始，吃m个隔n个，这样循环吃下去，直到剩下的老鼠不到m+n个，那么剩下的老鼠的编号是多少？第二章 一个圆圈又有一天，Tom又抓了100只老鼠，很不幸，Jerry又被抓住了。这一次，Tom决定把老鼠排成一个圆，从1到100号编了号，从1号开始，隔一个吃一个，一圈一圈的吃下去，直到只剩下最后一个的时候就放掉。那么这一次，Jerry该站到哪个位置，才能保证不被Tom吃掉呢？拓展一下：Tom抓了99只老鼠，这一次，Tom决定把老鼠排成一个圆，从1到99号编了号，从1号开始，隔一个吃两个，一圈一圈的吃下去，直到只剩下最后一个的时候就放掉。那么这一次，最后哪只老鼠是幸运儿呢？思考：如果Tom抓了100只老鼠，从1号开始，隔一个吃两个，一圈一圈的吃下去，最后剩下的会是几号呢？（注意：这时候，Tom无法在吃掉2n只老鼠后，剩下3m只老鼠）终极拓展：（第15届少年数学邀请赛赛前教程第二章）圆周上放置有2009枚，按顺时针编号为1、2、32008和2009，首先取走2号棋子，然后按顺时针方向，每隔2枚棋子就取走1枚棋子，直到圆周上仅仅剩下2枚棋子为止。问：剩下2枚棋子的编号各是多少？实战应用一：（第12届华杯赛总决赛二试第6题）圆周上放置有3000枚棋子，按顺时针依次编号为1、2、3、2999、3000。首先取走3号棋子，然后按顺时针方向，每隔2枚棋子就取走1枚棋子，直到1号棋子被取走为止。问：此时，（1）圆周上还有多少枚棋子？（2）在圆周剩下的棋子中，从编号最小一枚棋子开始数，第181枚棋子的编号是多少？实战应用二：（第6届华杯赛总决赛二试第4题）圆周上放有N枚棋子，如图所示，B点的一枚棋子紧邻A点的棋子。小洪首先拿走B点处1枚棋子，然后顺时针每隔1枚拿走2枚棋子，连续转了10周，9次越过A。当将要10次越过A处棋子取走其它棋子时，小洪发现圆周上余下20多枚棋子。若N是14的倍数，请帮助小洪精确计算一下圆周上还有多少枚棋子？练习（第3届华杯赛总决赛一试第6题）在一个圆周上放了1枚黑色的