2015年广州市高考模拟考试数学(理科)(原广州调研考试).doc

广州市2015年高三级调研考试 数 学(理科) 2015.1本试卷共4页，21小题，满分150分考试用时120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分1. 已知i为虚数单位，复数对应的点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2. 已知集合，则( )A. B. C. D. 3设向量，, 若方向相反, 则实数的值是( )开始输入整数是否输出结束A B C D 4一算法的程序框图如图1，若输出的， 则输入的的值可能为( )A B C D 5. 将函数的图象向左平移个单位，再向上平移个单位，所得图象的函数解析式是( ) A B C D6. 用,表示空间中三条不同的直线, 表示平面, 给出下列命题： 若, , 则; 若, , 则; 若, , 则; 若, , 则.其中真命题的序号是( )A B C D 图17. 已知双曲线的左，右焦点分别为，过点 的直线与双曲线的右支相交于，两点，且点的横坐标为，则的周长为( )A B C D 8. 已知映射.设点，点是线段上一动点，.当点在线段上从点开始运动到点结束时，点的对应点所经过的路线长度为( )A B C D 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分(一)必做题(913题)9. 不等式的解集是 . 10. 已知数列是等差数列，且，则的值为 .11. 在平面直角坐标系中，设不等式组所表示的平面区域是，从区域中随机取点，则的概率是 .12. 由，这十个数字组成的无重复数字的四位数中，十位数字与千位数字之差的绝对值等于的四位数的个数是 . 13. 已知函数, 则的值为 .(二)选做题(1415题，考生只能从中选做一题)14(几何证明选讲选做题)如图2，圆的直径，直线与圆相切于点，于点D，若，设，则_15(坐标系与参数方程选讲选做题) 图2在极坐标系中，设曲线与的交点分别为，则线段的垂直平分线的极坐标方程为 . 三、解答题： 本大题共6小题，满分80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16(本小题满分12分)已知函数R，是函数的一个零点. (1)求的值，并求函数的单调递增区间； (2)若，且，求的值.17(本小题满分12分)广州某商场根据以往某种商品的销售记录，绘制了日销售量的频率分布表(如表)和频率分布直方图(如图) 分组频数频率 表1将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立(1)求，的值.(2)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都高于100个且另1天的日销售量不高于50个的概率；(3)用表示在未来3天里日销售量高于100个的天数，求随机变量的分布列和数学期望18(本小题满分14分) 如图，四边形是正方形，与均是以为直角顶点的等腰直角三角形，点是的中点，点是边上的任意一点.(1)求证：；(2)求二面角的平面角的正弦值. 19(本小题满分14分)已知数列的前项和满足：，为常数，且，(1)求数列的通项公式；(2)若，设，且数列的前项和为，求证：20(本小题满分14分)已知椭圆的离心率为，且经过点圆.(1)求椭圆的方程；(2)若直线与椭圆C有且只有一个公共点，且与圆相交于两点，问是否成立？请说明理由21(本小题满分14分) 已知函数，R . (1)讨论函数的单调性; (2)若函数有两个极值点, 且, 求的取值范围; (3)在(2)的条件下, 证明:.2015年广州市高考模拟考试数学(理科)试题参考答案及评分标准说明：1参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数 2对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数，选择题和填空题不给中间分一选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算共8小题，每小题5分，满分40分题号12345678答案BBDCADAB二填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分其中1415题是选做题，考生只能选做一题9. 10. 11 12 13 14 15三解答题： 本大题共6小题，满分80分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16(1)解：是函数的一个零点， . 1分 . 2分 3分 . 4分由，Z ，得，Z ，5分 函数的单调递增区间是Z. 6分(2)解：， . . 7分 ，. 8分，. . 9分 ， . 10分.12分17.(1)解：，. 2分(2) 解：设表示事件“日销售量高于100个”，表示事件“日销售量不高于50个”，表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量高于100个且另1天销售量不高于50个”，. 5分(3)解：依题意，的可能取值为，且. 6分， ， 10分的分布列为01230.0640.2880.4320.216 11分 . 12分18.(1)证明：是的中点，且， . 1分 与均是以为直角顶点的等腰直角三角形， ，. ，平面，平面， 平面. 平面， . 2分 四边形是正方形， . 3分 ，平面，平面， 平面. 平面， . 4分 ，平面，平面， 平面. 5分 平面， . 6分(2)解法1：作于，连接， 平面，平面 . 7分 ，平面，平面， 平面. 8分 平面， . 9分为二面角的平面角. 10分设正方形的边长为，则， 在Rt中， 11分在Rt中，12分在Rt中， . 13分 二面角的平面角的正弦值为. 14分解法2：以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴 ， 建立空间直角坐标系，设，则，,.7分，.设平面的法向量为，由 得 8分令 ，得， 为平面的一个法向量. 9分 平面，平面， 平面平面.连接，则.平面平面，平面，平面.10分 平面的一个法向量为. 11分设二面角的平面角为，则. 12分. 13分 二面角的平面角的正弦值为. 14分19.(1)解：， . 1分当时， 3分得， 4分 数列是首项为，公比也为的等比数列 5分. 6分(2)证明：当时， 7分. 8分由， 10分. 11分 .13分 ， ，即. 14分20(1)解： 椭圆过点， . 1分， 3分椭圆的方程为. 4分(2)解法1：由(1)知，圆的方程为，其圆心为原点. 5分直线与椭圆有且只有一个公共点，方程组 (*) 有且只有一组解由(*)得 6分从而,化简得 7分 ，. 9分 点的坐标为. 10分由于，结合式知， . 11分 与不垂直. 12分 点不是线段的中点. 13分不成立. 14分解法2：由(1)知，圆的方程为，其圆心为原点. 5分直线与椭圆有且只有一个公共点，方程组 (*) 有且只有一组解由(*)得 6分从而,化简得 7分 ， 8分由于，结合式知，设,线段的中点为,由消去,得.9分 . 10分若,得 ,化简得,矛盾. 11分 点与点不重合. 12分 点不是线段的中点. 13分 不成立. 14分21.(1)解: 函数的定义域为, , 1分令, 得, 其判别式, 当,即时, , 此时,在上单调递增; 2分 当, 即时, 方程的两根为,3分若, 则, 则时, , 时, , 此时, 在上单调递减, 在上单调递增; 4分若,则, 则时, ,时, , 时, , 此时, 在上单调递增, 在上单调递减, 在上单调递增. 5分综上所述, 当时, 函数在上单调递减, 在上单调递增;