概率论考试题目PPT课件

2 分球入盒问题例2 将3个球随机的放入3个盒子中去 问 1 每盒恰有一球的概率是多少 2 空一盒的概率是多少 解 设A 每盒恰有一球 B 空一盒 1 随机分组问题 3 分组问题例3 30名学生中有3名运动员 将这30名学生平均分成3组 求 1 每组有一名运动员的概率 2 3名运动员集中在一个组的概率 解 设A 每组有一名运动员 B 3名运动员集中在一组 2 例4设袋中装有a只红球和b b 3 只白球 从中连续取球四次 每次取一球 取后不放回 试求第四次才取到红球的概率 解 Ai 第i次取到白球 i 1 2 3 4 则 第四次取到红球 第四次才取到红球 3 故 4 例5市场上有甲 乙 丙三家工厂生产同一品牌商品 已知三家工厂的市场占有率是 且三家工厂的次品率是0 02 0 01 0 03 试求市场上该品牌的次品率 解 B 买到的是次品 A1 次品取自甲厂 A2 次品取自乙厂 A3 次品取自丙厂 三 全概率公式和贝叶斯公式 5 例5市场上有甲 乙 丙三家工厂生产同一品牌商品 已知三家工厂的市场占有率是 且三家工厂的次品率是 已知取到一件次品 试求该品牌的次品取自甲厂的概率 解 B 买到的是次品 A1 次品取自甲厂 6 0 02 0 01 0 03 例1有三批种子 发芽率分别为0 9 0 8 0 85 在这三批种子中各任取一粒 求取得的三粒种子中至少有一粒能发芽的概率 解 A 取得的三粒种子中至少有一粒能发芽 Ai 由第i批种子中取得的一粒种子能发芽 i 1 2 3 A1 A2 A3相互独立 且A A1 A2 A3 三 独立性的概念在计算概率中的应用 7 例2设袋中有3个红球 2个绿球 连续不返回地从袋中取球 直到取到红球为止 设此时取出了X个绿球 试求 1 X的分布律 2 X的分布函数F x 3 8 解 1 X可能的取值为0 1 2 且 故X的分布律为 设袋中有3个红球 2个绿球 连续不返回地从袋中取球 直到取到红球为止 设此时取出了X个绿球 试求 9 2 当x 0时 X x 为不可能事件 得 F x P X x 0 当0 x 1时 得 F x P X x P X 0 0 6 X x X 0 x 0 1 2 X x 0 1 2 X 10 当1 x 2时 又 X 0 与 X 1 互不相容 得 F x P X x P X 0 P X 1 0 6 0 3 0 9 X x X 0 X 1 x 0 1 2 X 当x 2时 X x 为必然事件 x 0 1 2 X 11 0 9 012x 得 F x P X x 1 注 左闭右开 1 0 6 12 3 0 3 F 2 F 1 0 3 1 0 9 0 4 P 1 X 2 P X 1 1 X 2 P X 1 P 1 X 2 13 例1设连续型随机变量X的概率密度为f x Ae x x 试求 1 常数A 2 P 0 X 1 3 X的分布函数 解 1 2A 1 14 2 P 0 X 1 3 x 0 x 0 f x Ae x x 15 X的分布函数为 综合得 16 例2设X N 0 1 试求Y eX的概率密度 解 1 y 0 2 y 0 FY y P Y y P eX y FY y P 0 fY y F Y y 0 FY y P X lny 17 即 本例用到变限的定积分的求导公式 18 求 1 常数C 2 X Y 的分布函数 3 P 0 X 1 0 Y 2 例4设二维随机变量 X Y 的概率密度为 解 1 C 12 1 19 2 当x 0 y 0时 1 e 3x 1 e 4y 当x y为其它情形时 F x y 0 20 注 其它情形 不能写成 x 0 y 0 并不同于一维分布 3 P 0 X 1 0 Y 2 F 1 2 F 1 0 F 0 2 F 0 0 1 e 3 1 e 8 或 21 22 23 24 例2设随机变量 X Y 的概率密度为 求 X和Y的边缘概率密度 解 0 其它 0 x 1 25 0 其它 0 y 2 26 例2一个袋中有三个球 依次标有数字1 2 2 从中任取一个 不放回袋中 再任取一个 设每次取球时 各球被取到的可能性相等 以X Y分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字 求 X Y 的分布律与分布函数 X Y 的可能取值为 解 27 故 X Y 的分布律为 下面求分布函数 28 29 30 所以 X Y 的分布函数为 31 例3设X与Y相互独立 它们的概率密度分别为 试求 Z X Y的概率密度 一般函数求导法 解 32 当z 0时 当0 z 1时 fZ z 0 z 1 e z fZ z FZ z 1 e z 33 当z 1时 综合 得 1 e z e1 z fZ z