数学归纳法教学设计

精品文档 1欢迎下载 2 3 2 3 数学归纳法数学归纳法 教学设计教学设计 湖北省通城县第一中学湖北省通城县第一中学 魏魏 刚刚 一 一 教材分析教材分析 本节课选自 普通高中课程标准实验教科书数学选修 2 2 人教 A 版 第二章第三节 2 3 数学归纳法 在之前的学习中 我们已经用不完全归纳法得出了许多结论 例如某些 数列的通项公式 但它们的正确性还有待证明 因此 数学归纳法的学习是在合情推理的基 础上 对归纳出来的与正整数有关的命题进行科学的证明 它将一个无穷的归纳过程转化为 有限步骤的演绎过程 通过把猜想和证明结合起来 让学生认识数学的本质 把握数学的思 维 本节课是数学归纳法的第一课时 主要让学生了解数学归纳法的原理 并能够用数学归 纳法解决一些简单的与正整数有关的问题 二 二 学情分析学情分析 学生在学习本节课新知的过程中可能存在两方面的困难 一是从 骨牌游戏原理 启发得 到 数学方法 的过程有困难 二是解题中如何正确使用数学归纳法 尤其是第二步中如何 使用递推关系 可能出现问题 三 三 策略分析策略分析 本节课中教师引导学生形成积极主动 勇于探究的学习精神 以及合作探究的学习方式 注重提高学生的数学思维能力 体验从 实际生活 理论 实际应用 的过程 采用 教 师引导 学生探索 相结合的教学方法 在教与学的和谐统一中 体现数学的价值 注重 信息技术与数学课程的合理整合 四 四 教学目标教学目标 1 知识与技能目标 理解数学归纳法的原理与实质 掌握数学归纳法证题的两个步骤 会用数学归纳法证明某些简单的与正整数有关的命题 2 过程与方法目标 努力创设愉悦的课堂气氛 使学生处于积极思考 大胆质疑的氛围中 提高学生学习兴趣 和课堂效率 让学生经历知识的构建过程 体会归纳递推的数学思想 3 情感态度与价值观目标 通过本节课的教学 使学生领悟数学归纳法的思想 由生活实例 激发学生学习的热情 提高学生学习的兴趣 培养学生大胆猜想 小心求证 以及发现问题 提出问题 解决问题 的数学能力 精品文档 2欢迎下载 五 五 教学重难点教学重难点 教学重点 借助具体实例了解数学归纳法的基本思想 掌握它的基本步骤 能熟练运用它 证明一些简单的与正整数 n 有关的数学命题 教学难点 数学归纳法中递推关系的应用 六 六 教学方法与工具教学方法与工具 教法指导 本节课采用的教学方法是 启 思 演 练 结 五字教学法 即 以具体 的例子引入课题 启发学生想去了解归纳法 通过提出问题 创设情景 引导学生积极 思考 借助电脑的动画演示 提高直观性与趣味性 延长学生有意注意的时间 教学中 及时精选一些练习帮助学生巩固与强化知识 而 结 则包含两方面的内容 1 授课中 教师的及时小结与点拨 2 听课时学生的自我小结与巩固 学法指导 1 学习要求 课前预习教材中有关内容 听课时积极思考大胆质疑 课后及时完成课外作业 2 指导措施 通过设置问题情景 激发学生大胆思考 由具 体的事例吸引学生注意 通过直观模型演示 化抽象为具体 突破教学难点 借助电脑声 像效果 营造愉悦课堂氛围 提高学习兴趣 教学手段 多媒体辅助课堂教学 七 七 教学过程教学过程 一 创设问题情境 启动学生思维 说明引入数学归纳法的必要性 情境一 某人看到树上有一只乌鸦 深有感触 天下乌鸦一般黑 这个结论是否正确呢 情境二 在数列中 已知 发现 n a1 1 a 1 1 Nn a a a n n n 1 1 1 a 2 1 2 a 由此猜想数列的通项公式为 这个结论可靠吗 怎样才 3 1 3 a 4 1 4 a 1 Nn n an 能说明其正确性 设计意图 为了引入本节课的问题 首先复习之前学过的知识 承上启下 以上两个情 境都是不完全归纳法的体现 发现其结果不一定正确 而这里实际上体现了数学中的归纳思 想 归纳法分为 不完全归纳法 只验证几个个体成立 得到一般性结论 但结论不一定正 确 和 完全归纳法 验证每个个体都成立 得到一般性结论 其结论一定正确 二 搜索生活实例 激发学生兴趣 实例 播放多米诺骨牌的游戏视频 探究 多米诺骨牌全部倒下的条件 分析 实验一 在该实验中 骨牌的间距合适 用手推第一块骨牌 但没有推倒 第 精品文档 3欢迎下载 二块骨牌 第三块骨牌 自然也没有倒下 游戏失败 实验二 在该实验中 骨牌间距出现分化 使第一块骨牌和第二块骨牌间距足 够大 其他间距不变 这时用手推倒第一块骨牌 但第二块没倒下 第三块 第四 块也没有倒下 游戏失败 此时让学生对比实验一实验 分析原因 实验三 在该实验中用手推倒第一块骨牌 然后第二块骨牌 全部骨牌依次倒 下 设计意图 通过三个不尽相同而又密切相关的实验 旨在引导学生从不同角度 对比感 悟数学原理 实现学生思维由隐形到显性 由模糊到清晰 由片面到完整的过渡 三 立足生活 点燃思维的火花 由多米诺骨牌游戏的原理启发学生探索数学方法 解决情境二的问题 第一块骨牌必须要倒下 任意相邻的两块骨牌 若前一块倒下 则后一块也倒下 当时 猜想成立 任意相邻的两项 假设时 猜想成立 即1 nkn 则当时 1 Nk k ak 1 kn 1 1 1 1 1 1 1 Nk k k k a a a k k k 即当时猜想成立1 kn 发现 对任意的正整数 n 猜想都成立 即该数列的通项公式是 1 Nn n an 四 师生合作 形成概念 一般地 证明一个与正整数 n 有关的命题 可以按照以下步骤进行 1 归纳奠基 证明当 n 取第一个值 时命题成立 0 n 0 Nn 2 归纳递推 假设时命题成立 证明当 时 0 Nknkkn 1 kn 命题也成立 完成这两个步骤后 就可以断定命题对从开始的所有正整数都成立 0 nn 精品文档 4欢迎下载 上述这种证明方法叫做数学归纳法数学归纳法 问题一 在上面第一步中 n 是否必须从 1 开始取值 若不是 用反例说明 五 讲练结合 巩固概念 例 用数学归纳法证明 2 12 531nn 都成立 可知等式对2 和 1根据 时等式成立1 右边 1 2 1 12 1 12 531左边 时 1则当 12 531 时等式成立 即 假设 2 等式成立 1 右边1时 左边1 当1 证明 2 2 Nn kn k kk k kn kk Nkkn n 问题二 在证明过程中 发现有的同学是如下这样证明的 他的做法对吗 证明 1 当时 左边 1 右边 1 则等式成立 1 n 2 假设时 等式成立 即 kn 2 12 531kk 则当时 有1 kn 2 1 12 1 12 531 kk k 即当时 等式也成立 等式成立 1 kn Nn 错因 第 k 1 步的结论不是以第 k 步为条件得出的 证明过程中没有用到第二步的归纳递推 因此得到的结果未必正确 改正 时 有1 kn 12 531 k 12 12 531 kk 精品文档 5欢迎下载 12 2 kk 2 1 k 即当时 等式也成立 1 kn 设计意图 本题考查数学归纳法的证明过程 首先 教师将一道题目用数学归纳法完整 的证明出来 然后再让学生当 小老师 寻找另外一种证明过程中的错误 通过纠错这一思 维过程 澄清了学生对知识点的模糊认识 先正后反 有助于学生全面认识数学归纳法 练习 用数学归纳法证明 6 12 1 321 2222 Nn nnn n 证明 1 当时 左边 右边 1 n112 1 6 12 11 1 左边 右边 等式成立 2 假设当时等式成立 即 Nkkn 6 12 1 321 2222 Nk kkk k 则当时 1 Nkkn 22222 1 321左边 kk 2 1 6 12 1 k kkk 右边 6 32 2 1 Nn kkk 即当时 等式也成立 等式成立 1 kn Nn 设计意图 让学生自己尝试用数学归纳法证明之前学习中给出的公式 正整数的平方 和公式 加深了学生对已学知识的认识 当堂检测 当堂检测 1 观察式子 2 13 1 22 22 115 1 233 222 1117 1 2344 则可归纳出式子为 222 1111 1 2 2321 n nn 222 1111 1 2 2321 n nn 精品文档 6欢迎下载 222 11121 1 2 23 n n nn 222 1112 1 2 2321 n n nn 2 用数学归纳法证明 首项是 公比是的等比数列的通项公式是 前 n 项和公 1 aq 1 1 n n qaa 式是 1 1 1 1 q q qa S n n 六 回顾总结 反思提高 1 数学知识 数学归纳法 两个步骤一个结论 2 数学方法 数学归纳法 证明某些与正整数有关的命题 3 数学思想 归纳思想 递推思想 七 分层作业 一 选择题 1 1 用数学归纳法证明过程中 由递推到 14 3 1 12 531 22222 nnn kn 时 不等式左边增加的项为 1 kn A B C D 2 2 k 2 32 k 2 12 k 2 22 k 2 凸n边形有f n 条对角线 凸n 1 边形对角线的条数f n 1 为 A f n n 1 1 B f n n C f n n 1 D f n n 2 2 精品文档 7欢迎下载 3 用数学归纳法证明不等式 的过程中 由n k递推到 2 24 13 2 1 3 1 2 1 1 1 n nnnn n k 1时 不等式左边 A 增加了一项 B 增加了一项 1 2 1 k 1 2 1 12 1 kk C 增加了 又减少了 D 增加了 又减少了 1 2 1 12 1 kk1 1 k 1 2 1 k 1 1 k 二 填空题 4 已知数列 计算得 由此可猜测 1 1 43 1 32 1 21 1 nn 4 3 3 2 2 1 321 sss n s 5 若f k 则 4 1 3 1 2 1 1 2 1 12 1 kk 1 kf kf