九年级数学二次函数总复习

,课题：二次函数复习,图象与性质,交点情况,解析式的确定,应 用,一、图象与性质,二 次 函 数,二次函数知识要点,0,ax2+bx+c,2,1、二次函数的定义： 形如“y= （a、b、c为常数，a ）”的函数叫二次函数。即，自变量x的最高次项为 次。,2、二次函数的解析式有三种形式： 一般式为 ； 顶点式为 。其中，顶点坐标是（ ），对称轴是 ； 交点式为 。其中x1，x2分别是抛物线与x轴两交点的横坐标。,yax2bxc,ya(x-h)2k,h, k,xh的直线,ya(xx1)(xx2),3、图象的平移规律：,正上左，负下右；位变形不变。,对于抛物线y=a(x-h)2+k的平移有以下规律：,(1)、平移不改变 a 的值；(2)、若沿x轴方向左右平移，不改变 a, k 的值；(3)、若沿y轴方向上下平移，不改变a , h 的值。,4、,5、对于二次函数y=ax2+bx+c（a0），a决定图象的 。当a0时，开口向 ，当a0 或c0时，y随x的增大而减小.,例2：已知二次函数y=x2-x+c。 求它的图象的开口方向、顶点坐标和对称轴； c取何值时，顶点在x轴上？ 若此函数的图象过原点，求此函数的解析式，并判断x取何值时y随x的增大而减小。,例 题,解：函数y X2X C中，a10，,此抛物线的开口向上。,根据顶点的坐标公式x 时，y ,顶点坐标是（ ， ）。对称轴是x 。,例 题,例3：将抛物线 如何平移，可使平移后的抛物线经过点（3，-12）？(说出一种平移方案）,例 题,(1)直线 x = 2，（2，-9）,(2) A（1，0） B（5，0） C（0，5）,(3) 27,例4 已知二次函数 的图象与 x 轴交 于A、B两点，与 y 轴交于C点，顶点为D点. （1）求出抛物线的对称轴和顶点坐标； （2）求出A、B、C的坐标； （3）求 DAB的面积.,例题解答,例 题,例4 已知抛物线 与 x 轴交于点A（1, 0） 和B（3，0），与 y 轴交于点C ，C在 y 轴的正半轴上， SABC为8. （1）求这个二次函数的解析式；（2）若抛 物线的顶点为D，直线CD交 x 轴于E. 则x 轴 上的抛物 线上是否存在点P ，使 SPBE=15 ？,1、 抛物线 如图所示，试确定 下列各式的符号：,a _0(2) b _0(3) c _0(4) a+b+c _0(5) ab+c _0,0时,抛物线与x轴有 个交点，这两个交点的横坐标是方程ax2+bx+c=0的两个不相等的根。当=0时,抛物线与x轴有 个交点。这时方程ax2+bx+c=0有两个 的根。当0时，抛物线与x轴 交点。这时方程ax2+bx+c=0根的情况 。,两,一,无,没有实数根,相等,7、若抛物线 与x轴两交点为 则x1 、x2是方程ax2+bx+c=0的两个根 ;,当 时，两个交点在原点两侧；当 时，两个交点都在原点右侧；当 时，两个交点都在原点左侧。,1、抛物线y=x2-2x-3与x轴分别交于A、B两点，则AB的长为 .,练一练,2、直线y=3x+2与抛物线y=x2x+3的交点有 个，交点坐标为 。,3、抛物线y=x2+bx+4与x轴只有一个交点则b= 。,4,一,(-1,5),4或-4,4二次函数y=x2-2(m+1)x+4m的图象与x轴 （ ）A、没有交点 B、只有一个交点C、只有两个交点 D、至少有一个交点,练一练,D,5、已知二次函数 y=kx27x7的图象与x轴 有交点，则k的取值范围是 ( ),B,二 次 函 数,练一练,例 题,1、已知抛物线y=x2+ax+a-2. (1)证明:此抛物线与x轴总有两个不同的交点; (2)求这两个交点间的距离(用关于a的表达式来表达); (3)a取何值时,两点间的距离最小?,例 题,2、已知二次函数y=-x2+(m-2)x+m+1，（1）试说明：不论m取任何实数，这个二次函数的图象必与x轴有两个交点；（2）m为何值时，这两个交点都在原点的左侧？（3）若这个二次函数的图象与x轴有两个交点A(x1,0)、B(x2,0), 且x10x2, OA=OB，求m的值。,3、已知抛物线yax2(b1)x2.（1）若抛物线经过点（1,4）、（1,2）, 求此抛物线的解析式;(2) 若此抛物线与直线yx有两个不同的交点P、Q,且点P、Q关于原点对称. 求b的值; 请在横线上填上一个符合条件的a的值： a ,并在此条件下画出该函数的图象.,例 题,例 题,4、巳知：抛物线 (1)求证；不论m取何值，抛物线与x轴必有两个交点，并且有一个交点是A(2，0)； (2)设抛物线与x轴的另一个交点为B，AB的长为d，求d与m之间的函数关系式； (3)设d=10，P(a，b)为抛物线上一点： 当A是直角三角形时，求b的值；,练习：,1、抛物线y=x2-（2m-1）x- 6m与x轴交于（x1，0）和（x2，0）两点，已知x1x2=x1+x2+49，要使抛物线经过原点，应将它向右平移 个单位。,2、抛物线y=x2+x+c与x轴的两个交点坐标分别为(x1,0)，(x2,0)，若x12+x22=3，那么c值为 ，抛物线的对称轴为 ,3、一条抛物线开口向下，并且与x轴的交点一个在点A（1，0）的左边，一个在点A（1，0）的右边，而与y轴的交点在x轴下方，写出一个满足条件的抛物线的函数关系式 ,4、已知二次函数y=-x2+(m-2)x+3(m+1)的图象如图所示（1）当m-4时，说明这个二次函数的图象与x轴必有两个交点；（2）求m的取值范围；（3）在（2）的情况下，若OAOB=6，求C点坐标；,O,练习：,5、已知二次函数y=kx2+(2k-1)x-1与x轴交点的横坐标为x1、x2（x1x2），则对于下列结论：当x2时，y1；当xx2时，y0；方程kx2+(2k-1)x-1=0有两个不相等的实数根x1、x2；x1-1，x2-1； ，其中所有正确的结论是 （只需填写序号）,归纳小结：,二 次 函 数,抛物线y=ax2+bx+c (a0)与x轴的两交点A、B的横坐标x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根。,1若抛物线y=ax2+bx+c的所有点都在x轴下方，则必有 （ ）A、a0, b2-4ac0; B、a0, b2-4ac 0;C、a0, b2-4ac0 D、a0, b2-4ac0.,课后练习：,2、已知抛物线=x2+2mx+m -7与x轴的两个交点在点（1，0）两旁，则关于x的方程x2+（m+1）x+m2+5=0的根的情况是（ ）（A）有两个正根 （B）有两个负数根 （C）有一正根和一个负根 （D）无实数根。,课后练习：,4、设 是抛物线 与X轴的交点的横坐标，求 的值。,5、二次函数 的图象与X轴交于A、B两点，交Y轴于点C，顶点为D，则SABC= , SABD= 。,3、已知抛物线 与x轴的两个交点间的距离等于4, 那么a= 。,6、已知抛物线yx2mxm2. （1）若抛物线与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧，并且AB ，试求m 的值；（2）设C为抛物线与y轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M、N，并且 MNC的面积等于27，试求m的值,课后练习：,7、已知抛物线 交 ，交y轴的正半轴于C点，且 。 （1）求抛物线的解析式；（2）是否存在与抛物线只有一个公共点C的直线。如果存在，求符合条件的直线的表达式；如果不存在，请说明理由,课后练习：,二 次 函 数,三、解析式的确定,回 顾,1、已知函数类型，求函数解析式的基本方法是： 。,2、二次函数的表达式有三种：（1）一般式： ；（2）顶点式： ；（3）交点式： 。,待定系数法,Y=ax2+bx+c(a0),Y=a(x-h)2+k (a0),Y=a(x-x1)(x-x2) (a0),例1. 选择最优解法，求下列二次函数解析式,已知二次函数的图象过点(1, 6)、 (1，2)和(2，3)已知二次函数当x=1时，有最大值6，且其图象过点(2，8)已知抛物线与x轴交于点A(1，0)、B(1，0)并经过点M(0，1),1）设二次函数的解析式为,2）设二次函数的解析式为,3）设二次函数的解析式为,解题策略：,例2、已知二次函数y=ax2+bx+c ，当x=3时，函数取得最大值10，且它的图象在x轴上截得的弦长为4，试求二次函数的关系式,例3、已知：抛物线 y=ax+bx+c（a0）与x轴交于点A （1，0）和点B，点B 在点A的右侧， 与y轴交于点C（0，2），如图。（1）请说明abc是正数还是负数。（2）若OCA=CBO，求此抛物线的解析式。,A,B,O,C,议一议想一想,例4、 已知抛物线C1的解析式是yx22xm， 抛物线C2与抛 物线C1关于y轴对称。(1)求抛物线C2的解析式；,C2的解析式为： y(x1)21m x22xm .,C1,C2,（1,1m）,（1,1m）,议一议想一想,例4 已知抛物线C1的解析式是yx22xm， 抛物线C2与抛 物线C1关于y轴对称。(1)求抛物线C2的解析式；(2)当m为何值时,抛物线C1、C2与x轴有四个不同的交点；,由抛物线C1与x轴有两个交点，得10，即(2)24（1）m0，得m1 由抛物线C2与x轴有两个交点，得20，即(2)24（1）m0， 得m1,当m=0时，C1、C2与x轴有一公共交点(0，0)， 因此m0 综上所述m1且m0。,议一议想一想,例4 已知抛物线C1的解析式是yx22xm， 抛物线C2与抛 物线C1关于y轴对称。(1)求抛物线C2的解析式；(2)当m为何值时,抛物线C1、C2与x轴有四个不同的交点；(3)若抛物线C1与x轴两交点为A、B（点A在点B的左侧）， 抛物线C2与x轴的两交点为C、D（点C在点D的左侧）, 请你猜想ACBD的值，并验证你的结论。,解：设抛物线C1、C2与x轴的交点分别A (x1,0) 、B (x2,0) 、C (x3,0) 、D (x4,0),则 ACBD x3x1 x4x2 (x3x4)(x1x2)，,于是 ACx3x1，BDx4x2，,x1x22， x3x42，,ACBD 4。,有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点：甲：对称轴是直线x=4；乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3请写出满足上述全部特点的一个二次函数的关系式,议一议,例5、某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物，如图所示，大门地面宽AB=4m，顶部C离地面高度为44m现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面28m，装货宽度为24m请判断这辆汽车能否顺利通过大门,1、已知二次函数 的图象经过点（1，0），（0，-2），（2，3）。求解析式。,2、二次函数当x=3时，y有最大值-1，且图象过（0，-3）点，求此二次函数解析式。,3、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴是直线x=2，图象与x轴的两个交点间的距离等于2，且图象经过点（4，3）。求这个二次函数解析式。,练 习,练 习,4、二次函数的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,如图所示,AC= ,BC= ，ACB=90,求二次函数图象的关系式.,5、如图，某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8m，两侧距地面4m高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6m，则校门的高为多少m？（精确到0.1m，水泥建筑物厚度忽略不计）.,归纳小结：,1、用待定系数法求二次函数解析式的一般步骤：,（1）根据条件设出合理的表达式；（2）将已知条件转化为方程或方程组，求出待定系数的值；（3）写出函数解析式。,2、二次函数的三种表达式：,（1）一般式： ；（2）顶点式： ；（3）交点式： 。,Y=ax2+bx+c(a0),Y=a(x-h)2+k (a0),Y=a(x-x1)(x-x2) (a0),课后训练：,1、求出下列对应的二次函数的关系式（1）已知抛物线的对称轴为直线x=2,且通过点（1，4）和（5，0）（2）已知抛物线的顶点为（3，-2），且与x轴两交点间的距离为4,2、已知二次函数的图象与一次函数的图象有两个公共点P（2，m）、Q（n，-8），如果抛物线的对称轴是x= -1，求该二次函数的关系式,课后训练：,4抛物线y=x2+2mx+n过点（2，4），且其顶点在直线y=2x+1上，求此二次函数的关系式。,3已知二次函数，当x=3时，函数取得最大值10，且它的图象在x轴上截得的弦长为4，试求二次函数的关系式,5、如图抛物线与直线都经过坐标轴的正半轴上A(4,0)，B两点，该抛物线的对称轴x=1，与x轴交于点C,且ABC=90,求：(1)直线AB的解析式；(2)抛物线的解析式。,课后训练：,6、已知二次函数y=(m22)x24mx+n的图象关于直线x=2对称，且它的最高点在直线y=x+1上.（1）求此二次函数的解析式；（2）若此抛物线的开口方向不变，顶点在直线y=x+1上移动到点M时，图象与x轴交于A 、B两点，且SABM=8，求此时的二次函数的解析式.,课后训练：,7、如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A点坐标为(8, 0)，B点坐标为(2, 0)，以AB的中点P为圆心，AB为直径作P与y轴的负半轴交于点C.(1)求图象经过A、B、C三点的抛物线的解析式；(2)设M点为(1)中抛物线的顶点，求出顶点M的坐标和直线MC的解析式；(3)判定(2)中的直线MC与P的位置关系，并说明理由.,课后训练：,四、二次函数的应用,二 次 函 数,某市近年来经济发展速度很快，根据统计：该市国内生产总值1990年为8.6亿元人民币，1995年为10.4亿元人民币，2000年为12.9亿元人民币.经论证：上述数据适合一个二次函数关系，请你根据这个函数关系，预测2005年该市国内生产总值将达到多少？,引例,函数应用题的解题模型,二 次 函 数,例1、如图所示，某建筑工地准备利用一面旧墙建一个长方形储料场，新建墙的总长为30米。（1）如图，设长方形的一条边长为x米，则另一条边长为多少米？（2）设长方形的面积为y平方米，写出 y与x之间的关系式。（3）若要使长方形的面积为72平方米，x应取多少米？,x,例2、国家对某种产品的税收标准原定每销售元需缴税元（即税率为），台洲经济开发区某工厂计划销售这种产品吨，每吨元。国家为了减轻工人负担，将税收调整为每元缴税（）元（即税率为（），这样工厂扩大了生产，实际销售比原计划增加。(1)写出调整后税款（元）与的函数关系式，指出的取值范围；(2)要使调整后税款等于原计划税款（销售吨，税率为）的，求的值,某旅社有100张床位，每床每晚收费10元时，客床可全部租出若每床每晚收费提高2元，则减少10张床位租出；若每床每晚收费再提高2元，则再减少10张床位租出以每次提高2元的这种方法变化下去为了投资少而获利大，每床每晚应提高 （ ）A、4元或6元 B、4元 C、6元 D、8元,练习1,某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元。为了扩大销售，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出2件。问每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？最大盈利为多少？,练习2,o,（1）求拱顶离桥面的高度。,（2）若拱顶离水面的高度为27米，求桥的跨度。,例3、有一个抛物线形的拱形桥，建立如图所示的直角坐标系后，抛物线的解析式为 y x21。,例4.,改革开放后，不少农村用上自动喷灌设备，如图所示，设水管AB高出地面1.5m，在B处有一个自动旋转的喷头。一瞬间，喷出水流呈抛物线状，喷头B与水流最高点C的连线与水平面成45角，水流最高点C比喷头高出2m，在所建的坐标系中，求水流的落地点D到A点的距离是多少米。,作CFAD于F，作BECF于E，连结BC，易知OF=BE=CE=2，EF=OB=1.5，CF=2+1.5=3.5， B(0, 1.5)，C(2, 3.5).,设所求抛物线的解析式为：y=a(x2)2+3.5,当x=0时，y=1.5，即a(02)2+3.5=1.5,，,(舍)，,二 次 函 数,某幢建筑物，从10米高的窗口A用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状（抛物线所在平面与墙面垂直，如图建立平面直角坐标系）如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面 米，求水流落地点B离墙的距离OB是多少米？,O,x,y,A,B,M,顶点坐标（1， ）,过点（0，10）,解析式：,令y=0,x=-1,x=3,OB=3米,练习3,O,y,A,B,某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线，在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面米，入水处距池边的距离为5米，同时，运动员在距水面5米以前，必须完成规定的翻腾动作并调整好入水姿势，否则就会出现失误。,（1）求这条抛物线的解析式；,（2在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为米，问此次跳水会不会失误？并能过计算说明理由？,10m,3m,跳台支柱,练习4,某瓜果基地市场部为指导该基地某种蔬菜的生产和销售，对今年这种蔬菜上市后的市场售价和生产成本进行了预测