不等式证明T.doc

教学内容【知识结构】对于不等式的证明我们经常会用到以下的几种方法：（一）、比较法在本章开始我们提到过如何比较两个实数的大小：通过对两实数作差得出的结果与零比较大小来判断两个数的大小，这种证明的方法就叫做作差比较法。例：设证明： 当且仅当作差法注意事项：1. 当不等号左右两半有公因式或者可以配方时用作差法；2. 步骤分三步：作差，变形，判断我们接着来看当，存在：所以当都为正数时，我们可以通过比较两数的商与1的大小来判断两个数的大小，这种证明的方法就叫做作商比较法例：比较证明： 作商法注意事项：1.两个实数都是正数。2.当不等式左右两边次数比较高或者不确定的时候用作商法。3.步骤分三步：作商，变形，判断（2） 、分析法从要求证的结论出发，经过适当的变形，分析出使这个结论成立的条件，把证明结论转化为判定这些条件是否成立的问题，如果能够判定这些条件成立，那么就可以判定原结论成立。这种证明方法叫做分析法。一般来说，分析法的证明过程就是寻找欲证不等式成立的充分条件的过程，所以要特别注意表述的逻辑性。例：已知：证明： 当且仅当（3） 、综合法 把某些已经证明过的不等式作为基础，再运用不等式的性质推导出所要求证的不等式，这种方法通常叫做综合法 综合法得特点在于：从“已知”得出“可知”，逐步推向“未知”，综合法属逻辑方法范畴，它的严谨体现在步步注明推理依据。例:已知证明：由 两边同时乘以正数 两边再同时加上 得 当且仅当时等号成立（4） 其他方法：缩放法，反证法，变量代换法，构造法 缩放法：若证“”,我们先证明“”，然后再证明“”，则“” 反证法：反证法是通过否定结论导致矛盾，从而肯定原结论的一种方法 变量代换法：对于一些结构比较复杂，变化比较多而关系不太清楚的不等式，可适当 地引入一些新的变量进行代换，以简化其结构。 构造法：主要是指通过引进合适的恒等式、数列、函数、图形及变量等辅助手段，以 促使命题转化，从而使不等式得证。 例：若 证明：设 【例题精讲】例1、已知02a1,若A=1+a2, B=, 则A与B的大小关系是 _ .解： 得例2、求证：.证明：因为，则要证成立，即证成立，即证成立.即证成立，即证成立，即证成立.因为成立，所以，.例3、 设，求证：.证明： 因为，又，当且仅当时等号成立，来源:Zxxk.Com所以，当且仅当时等号成立.故 .另证：因为，所以，则.当且仅当时等号成立.又，故 .当且仅当时等号成立.例4、已知、均为正数，求证：.证明： ，因为、均为正数，由基本不等式2和不等式性质得：即，.当且仅当时等号成立.所以，不等式成立.例5、求证：.证明：一方面， .当且仅当时等号成立.另一方面，.当且仅当时等号成立.所以，当且仅当等号同时成立.例6、设，求证：不可能同时大于证明：（反证法）假设同时大于则，故但，即 故命题成立。例7、已知：，求证：.证明：要证成立，即证成立即证成立，即证成立，由成立，且以上步步可逆，故有.例8、已知，且 ， 求证：分析1：依绝对值的性质，只需证明，可用综合法。证明1： 又 ，同理则 即证明2：分析法：要证，只需证即，两边展开即只需证即 故原不等式成立。例9、已知：例10、若，且，求证。分析：已知与要求证的不等式都是关于的轮换对称式，容易发现等号成立的条件是，故应拼凑，巧妙升次，迅速促成“等”与“不等”的辩证转化。证明：，当且仅当时，上述各式取“=”，故原不等式得证。例11、若，求证。分析：注意结构特征：要求证的不等式是关于的轮换对称式，当时，等式成立。此时，设，解得，所以应拼凑辅助式为拼凑的需要而添。当且仅当时，上述各式取“=”，故原不等式得证。例12、已知为三角形的三边，求证：。证明：由于a、b、c为正数，所以，所以，又a，b，c为三角形的边，故b+ca，则为真分数，则，同理，故.综合得。例13、已知、均为正数，求证：.证明： ，因为、均为正数，由基本不等式2和不等式性质得：即，.当且仅当时等号成立.所以，不等式成立.【巩固练习】1、设ab0，则下列关系式成立的是（ ）A.aabb B.aabbC.aabb= D.aabb与的大小不确定答案：A解析：aabb=,因ab0,故ab1,a-b0,1.2、设a,bR+，且ab-a-b1，则有（ ）A.a+b2(+1) B.a+b+1C.a+b+1 D.a+b2(+1)答案：A解析：由ab1+a+b()21+a+b,将a+b看作一整体即可.3、设a,b,c为ABC的3条边，且S=a2+b2+c2,P=ab+bc+ca,则( )A.S2P B.PS2P C.SP D.PS2P答案：D解析：2(S-P)=2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=(a-b)2+(b-c)2+(a-c)20,SP.2P=2ab+2bc+2ca=(ab+bc)+(bc+ca)+(ca+ab)=b(a+c)+c(a+b)+a(c+b)b2+c2+a2=S,2PS.4、若a,xyR+,且+a恒成立，则a的最小值是( )A.2 B. C.2 D.1答案：B解析：因()2=1+1+=2,故的最大值为.即amin=.5、若a、bR+且a+b=1,求证：2.证明：2a+b+1+241ab+1ab.ab()2=成立,原不等式成立.6、已知a、b、x、yR+且,xy.求证:.证法一：（作差比较法）, 又且，a、bR+,ba0.又xy0,bxay. 0，即.证法二：（分析法）x、y、a、bR+,要证,只需证明x(y+b)y(x+a),即证xbya,而同0,ba0.又xy0,知xbya显然成立，故原不等式成立.7、 若，且，求证：分析 这个不等式从形式上不易看出其规律性，与我们掌握的定理和重要的结论也没有什么直接的联系，所以可以采用分析的方法来寻找证明途径但用“分析”法证