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2012年江苏高考数学14题的解答江苏省常熟市中学 査正开 215500题目： 已知正数 满足：， 则 的取值范围是_ （2012年江苏高考数学试题第14题）解法1 条件可化为： 设，则题目转化为：已知满足()，求的取值范围。 作出点（）所在平面区域（如上图），设过原点与切于点的切线方程为， 则所以 ，得到，而此时点适合() 的最小值是在处与原点所连斜率为；同时，当（）对应点时， 由 ， 的最大值是在处与原点所连斜率为7， 的取值范围为，即的取值范围是。解法2：由 知 得 所以 故 另一方面 由 得 再由 得 所以 故设 ， 则 ， 代入已知不等式得， 即 考察函数 ， 有 令 得当 时 ， ；当 时，所以在上单调递减 ，在 上单调递增，知 在 上的最小值为所以 即 ， 综合 得结论 解法3：主变元视角由题设整理可得 （），将视为常数作出可行域（如右图），可知是以为顶点的曲边三角形区域，因此，的范围即为曲边三角形区域内的点与原点所连直线斜率的范围，显然，最大值为；设过原点作函数的图像的切线（为切点）的斜率为，则由 知 ，又 ，所以有 得 ，此时，因为适合不等式组（），所以，在曲边上，又，故函数的图像均在切线上方，从而
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