小学奥数知识点梳理

精品文档 1欢迎下载 小学奥数知识点梳理小学奥数知识点梳理 前言前言 小学奥数知识点梳理 对于学而思的小学奥数大纲建设尤其必要 不过 对于知识点小学奥数知识点梳理 对于学而思的小学奥数大纲建设尤其必要 不过 对于知识点 的概括很可能出现以偏概全挂一漏万的现象 为此 本人参考了单尊主编的的概括很可能出现以偏概全挂一漏万的现象 为此 本人参考了单尊主编的 小学数学奥小学数学奥 林匹克林匹克 中国少年报社主编的 中国少年报社主编的 华杯赛教材华杯赛教材 华杯赛集训指南华杯赛集训指南 以及学而思的以及学而思的 寒假班寒假班 系列教材系列教材 和华罗庚学校的教材共五套教材 力图打破原有体系 重新整合划分 构建十和华罗庚学校的教材共五套教材 力图打破原有体系 重新整合划分 构建十 七块体系 其第十七为解题方法汇集 可补充相应杂题 七块体系 其第十七为解题方法汇集 可补充相应杂题 原则上简明扼要 努力刻画小学 原则上简明扼要 努力刻画小学 奥数知识的主树干 奥数知识的主树干 概述概述 一 一 计算计算 1 1 四则混合运算繁分数四则混合运算繁分数 1运算顺序运算顺序 2分数 小数混合运算技巧分数 小数混合运算技巧 一般而言 一般而言 加减运算中 能化成有限小数的统一以小数形式 加减运算中 能化成有限小数的统一以小数形式 乘除运算中 统一以分数形式 乘除运算中 统一以分数形式 带分数与假分数的互化带分数与假分数的互化 繁分数的化简繁分数的化简 2 2 简便计算简便计算 凑整思想凑整思想 基准数思想基准数思想 裂项与拆分裂项与拆分 提取公因数提取公因数 商不变性质商不变性质 改变运算顺序改变运算顺序 运算定律的综合运用运算定律的综合运用 连减的性质连减的性质 连除的性质连除的性质 同级运算移项的性质同级运算移项的性质 增减括号的性质增减括号的性质 变式提取公因数变式提取公因数 形如 形如 1212 nn abababaaab 3 3 估算估算 求某式的整数部分 扩缩法求某式的整数部分 扩缩法 4 4 比较大小比较大小 通分通分 a a 通分母通分母 b b 通分子通分子 精品文档 2欢迎下载 跟跟 中介中介 比比 利用倒数性质利用倒数性质 若若 则 则 c b a c b a 形如 形如 则 则 111 abc 312 123 mmm nnn 312 123 nnn mmm 5 5 定义新运算定义新运算 6 6 特殊数列求和特殊数列求和 运用相关公式 运用相关公式 2 1 321 nn n 6 121 21 222 nnn n 2 1 n an nnn 4 1 2121 2 2 2 333 nn nn 131171001 abcabcabcabc bababa 22 1 2 3 4 1 2 3 4 n 1n 1 n n n 1n 1 4 3 2 1 n 4 3 2 1 n 2 二 二 数论数论 1 1 奇偶性问题奇偶性问题 奇奇奇奇 偶偶 奇奇 奇奇 奇奇 奇奇偶偶 奇奇 奇奇 偶偶 偶偶 偶偶偶偶 偶偶 偶偶 偶偶 偶偶 2 2 位值原则位值原则 形如 形如 100a 10b c 100a 10b cabc 3 3 数的整除特征 数的整除特征 整除数整除数特特 征征 2 2 末尾是末尾是 0 0 2 2 4 4 6 6 8 8 3 3 各数位上数字的和是各数位上数字的和是 3 3 的倍数的倍数 5 5 末尾是末尾是 0 0 或或 5 5 9 9 各数位上数字的和是各数位上数字的和是 9 9 的倍数的倍数 1111 奇数位上数字的和与偶数位上数字的和 两者之差是奇数位上数字的和与偶数位上数字的和 两者之差是 1111 的倍数的倍数 4 4 和和 2525末两位数是末两位数是 4 4 或 或 2525 的倍数 的倍数 8 8 和和 125125末三位数是末三位数是 8 8 或 或 125125 的倍数 的倍数 7 7 1111 1313末三位数与前几位数的差是末三位数与前几位数的差是 7 7 或 或 1111 或或 1313 的倍数 的倍数 4 4 整除性质整除性质 如果如果 c ac a c bc b 那么 那么 c ac ab b 精品文档 3欢迎下载 如果如果 bc abc a 那么 那么 b ab a c ac a 如果如果 b ab a c ac a 且 且 b cb c 1 1 那么那么 bc abc a 如果如果 c b b a c b b a 那么那么 c a c a a a 个连续自然数中必恰有一个数能被个连续自然数中必恰有一个数能被 a a 整除 整除 5 5 带余除法带余除法 一般地 如果一般地 如果 a a 是整数 是整数 b b 是整数 是整数 b 0b 0 那么一定有另外两个整数那么一定有另外两个整数 q q 和和 r r 0 r0 r b b 使使 得得 a b q ra b q r 当当 r 0r 0 时 我们称时 我们称 a a 能被能被 b b 整除 整除 当当 r 0r 0 时 我们称时 我们称 a a 不能被不能被 b b 整除 整除 r r 为为 a a 除以除以 b b 的余数 的余数 q q 为为 a a 除以除以 b b 的不完的不完 全商 亦简称为商 全商 亦简称为商 用带余数除式又可以表示为 用带余数除式又可以表示为 a b qa b q r r 0 r0 r b b a b q ra b q r 6 6 唯一分解定理唯一分解定理 任何一个大于任何一个大于1 1的自然数的自然数n n都可以写成质数的连乘积 即都可以写成质数的连乘积 即 n n p1p1 p2p2 pkpk 1a2aak 7 7 约数个数与约数和定理约数个数与约数和定理 设自然数设自然数n n的质因子分解式如的质因子分解式如n n p1p1 p2p2 pkpk那么 那么 1a2aak n n的约数个数 的约数个数 d n a1 1 a2 1 ak 1 d n a1 1 a2 1 ak 1 n n的所有约数和 的所有约数和 1 P1 P11 P1 P1 p1p1 1 P2 P21 P2 P2 p2p2 1 Pk Pk1 Pk Pk pkpk 21a22a2ak 8 8 同余定理同余定理 同余定义 若两个整数同余定义 若两个整数 a a b b 被自然数被自然数 m m 除有相同的余数 那么称除有相同的余数 那么称 a a b b 对于模对于模 m m 同余 用式子表示为同余 用式子表示为 a b moda b mod m m 若两个数若两个数 a a b b 除以同一个数除以同一个数 c c 得到的余数相同 则得到的余数相同 则 a a b b 的差一定能被的差一定能被 c c 整除 整除 两数的和除以两数的和除以 m m 的余数等于这两个数分别除以的余数等于这两个数分别除以 m m 的余数和 的余数和 两数的差除以两数的差除以 m m 的余数等于这两个数分别除以的余数等于这两个数分别除以 m m 的余数差 的余数差 两数的积除以两数的积除以 m m 的余数等于这两个数分别除以的余数等于这两个数分别除以 m m 的余数积 的余数积 9 9 完全平方数性质 完全平方数性质 平方差平方差 A A B B A BA B A BA B 其中我们还得注意其中我们还得注意A BA B A BA B同奇偶性 同奇偶性 22 约数 约数个数为奇数个的是完全平方数 约数 约数个数为奇数个的是完全平方数 约数个数为约数个数为3 3的是质数的平方 的是质数的平方 质因数分解 把数字分解 使他满足积是平方数 质因数分解 把数字分解 使他满足积是平方数 平方和 平方和 1010 孙子定理 中国剩余定理 孙子定理 中国剩余定理 1111 辗转相除法 辗转相除法 1212 数论解题的常用方法 数论解题的常用方法 枚举 归纳 反证 构造 配对 估计枚举 归纳 反证 构造 配对 估计 三 三 几何图形几何图形 1 1 平面图形平面图形 多边形的内角和多边形的内角和 N N 边形的内角和边形的内角和 N 2 180 N 2 180 等积变形 位移 割补 等积变形 位移 割补 三角形内等底等高的三角形三角形内等底等高的三角形 平行线内等底等高的三角形平行线内等底等高的三角形 公共部分的传递性公共部分的传递性 精品文档 4欢迎下载 极值原理 变与不变 极值原理 变与不变 三角形面积与底的正比关系三角形面积与底的正比关系 S S1 1 S S2 2 a b a b S S1 1 S S2 2 S S4 4 S S3 3 或者或者 S S1 1 S S3 3 S S2 2 S S4 4 相似三角形性质 份数 比例 相似三角形性质 份数 比例 S S1 1 S S2 2 a a2 2 A A2 2 abch ABCH S S1 1 S S3 3 S S2 2 S S4 4 a a2 2 b b2 2 ab ab ab ab S S a ba b 2 2 燕尾定理燕尾定理 S ABGS ABG S AGCS AGC S BGES BGE S GECS GEC BEBE ECEC S BGAS BGA S BGCS BGC S AGFS AGF S GFCS GFC AFAF FCFC S AGCS AGC S BCGS BCG S ADGS ADG S DGBS DGB ADAD DBDB 差不变原理差不变原理 知知 5 2 35 2 3 则圆点比方点多 则圆点比方点多 3 3 隐含条件的等价代换隐含条件的等价代换 例如弦图中长短边长的关系 例如弦图中长短边长的关系 组合图形的思考方法组合图形的思考方法 化整为零化整为零 BC A F D G E 精品文档 5欢迎下载 先补后去先补后去 正反结合正反结合 2 2 立体图形立体图形 规则立体图形的表面积和体积公式规则立体图形的表面积和体积公式 不规则立体图形的表面积不规则立体图形的表面积 整体观照法整体观照法 体积的等积变形体积的等积变形 水中浸放物体 水中浸放物体 V V升水 升水 V V物 物 测啤酒瓶容积 测啤酒瓶容积 V VV V空气 空气 V V水 水 三视图与展开图三视图与展开图 最短线路与展开图形状问题最短线路与展开图形状问题 染色问题染色问题 几面染色的块数与几面染色的块数与 芯芯 棱长 顶点 面数的关系 棱长 顶点 面数的关系 四 四 典型应用题典型应用题 1 1 植树问题植树问题 开放型与封闭型开放型与封闭型 间隔与株数的关系间隔与株数的关系 2 2 方阵问题方阵问题 外层边长数外层边长数 2 2 内层边长数内层边长数 外层边长数 外层边长数 1 1 4 4 外周长数外周长数 外层边长数外层边长数 2 2 中空边长数 中空边长数 2 2 实面积数 实面积数 3 3 列车过桥问题列车过桥问题 车长车长 桥长桥长 速度速度 时间时间 车长车长甲 甲 车长 车长乙 乙 速度和 速度和 相遇时间相遇时间 车长车长甲 甲 车长 车长乙 乙 速度差 速度差 追及时间追及时间 列车与人或骑车人或另一列车上的司机的相遇及追及问题列车与人或骑车人或另一列车上的司机的相遇及追及问题 车长车长 速度和速度和 相遇时间相遇时间 车长车长 速度差速度差 追及时间追及时间 4 4 年龄问题年龄问题 差不变原理差不变原理 5 5 鸡兔同笼鸡兔同笼 假设法的解题思想假设法的解题思想 6 6 牛吃草问题牛吃草问题 原有草量原有草量 牛吃速度 牛吃速度 草长速度 草长速度 时间时间 7 7 平均数问题平均数问题 8 8 盈亏问题盈亏问题 分析差量关系分析差量关系 9 9 和差问题和差问题 1010 和倍问题和倍问题 1111 差倍问题差倍问题 1212 逆推问题逆推问题 还原法 从结果入手还原法 从结果入手 精品文档 6欢迎下载 1313 代换问题代换问题 列表消元法列表消元法 等价条件代换等价条件代换 五 五 行程问题行程问题 1 1 相遇问题相遇问题 路程和路程和 速度和速度和 相遇时间相遇时间 2 2 追及问题追及问题 路程差路程差 速度差速度差 追及时间追及时间 3 3 流水行船流水行船 顺水速度顺水速度 船速船速 水速水速 逆水速度逆水速度 船速船速 水速水速 船速船速 顺水速度 顺水速度 逆水速度 逆水速度 2 2 水速水速 顺水速度 顺水速度 逆水速度 逆水速度 2 2 4 4 多次相遇多次相遇 线型路程 线型路程 甲乙共行全程数甲乙共行全程数 相遇次数相遇次数 2 1 2 1 环型路程 环型路程 甲乙共行全程数甲乙共行全程数 相遇次数相遇次数 其中甲共行路程其中甲共行路程 单在单个全程所行路程单在单个全程所行路程 共行全程数共行全程数 5 5 环形跑道环形跑道 6 6 行程问题中正反比例关系的应用行程问题中正反比例关系的应用 路程一定 速度和时间成反比 路程一定 速度和时间成反比 速度一定 路程和时间成正比 速度一定 路程和时间成正比 时间一定 路程和速度成正比 时间一定 路程和速度成正比 7 7 钟面上的追及问题 钟面上的追及问题 时针和分针成直线 时针和分针成直线 时针和分针成直角 时针和分针成直角 8 8 结合分数 工程 和差问题的一些类型 结合分数 工程 和差问题的一些类型 9 9 行程问题时常运用行程问题时常运用 时光倒流时光倒流 和和 假定看成假定看成 的思考方法 的思考方法 六 六 计数问题计数问题 1 1 加法原理 分类枚举加法原理 分类枚举 2 2 乘法原理 排列组合乘法原理 排列组合 3 3 容斥原理 容斥原理 总数量总数量 A B C AB AC BC ABC A B C AB AC BC ABC 常用 总数量常用 总数量 A B AB A B AB 4 抽屉原理 至多至少问题至多至少问题 5 5 握手问题握手问题 在图形计数中应用广泛在图形计数中应用广泛 角 线段 三角形 角 线段 三角形 长方形 梯形 平行四边形长方形 梯形 平行四边形 正方形正方形 精品文档 7欢迎下载 七 七 分数问题分数问题 1 1 量率对应量率对应 2 2 以不变量为以不变量为 1 1 3 3 利润问题利润问题 4 4 浓度问题浓度问题 倒三角原理倒三角原理 例 例 5 5 工程问题工程问题 合作问题合作问题 水池进出水问题水池进出水问题 6 6 按比例分配按比例分配 八 八 方程解题方程解题 1 1 等量关系等量关系 相关联量的表示法相关联量的表示法 例 例 甲甲 乙乙 100 100 甲甲 乙乙 3 3 x x 100 x100 x 3x3x x x 解方程技巧解方程技巧 恒等变形恒等变形 2 2 二元一次方程组的求解二元一次方程组的求解 代入法 消元法代入法 消元法 3 3 不定方程的分析求解不定方程的分析求解 以系数大者为试值角度以系数大者为试值角度 4 4 不等方程的分析求解不等方程的分析求解 九 九 找规律找规律 周期性问题周期性问题 年月日 星期几问题年月日 星期几问题 余数的应用余数的应用 数列问题数列问题 等差数列等差数列 通项公式通项公式 a an n a a1 1 n 1 d n 1 d 求项数 求项数 n n 1 1 n aa d 精品文档 8欢迎下载 求和 求和 S S 1 2 n aa n 等比数列等比数列 求和 求和 S S 1 1 1 n a q q 裴波那契数列裴波那契数列 策略问题策略问题 抢报抢报 3030 放硬币放硬币 最值问题最值问题 最短线路最短线路 a a 一个字符阵组的分线读法一个字符阵组的分线读法 b b 在格子路线上的最短走法数在格子路线上的最短走法数 最优化问题最优化问题 a a 统筹方法统筹方法 b b 烙饼问题烙饼问题 十 十 算式谜算式谜 1 1 填充型填充型 2 2 替代型替代型 3 3 填运算符号填运算符号 4 4 横式变竖式横式变竖式 5 5 结合数论知识点结合数论知识点 十一 十一 数阵问题数阵问题 1 1 相等和值问题相等和值问题 2 2 数列分组数列分组 知行列数 求某数知行列数 求某数 知某数 求行列数知某数 求行列数 3 3 幻方幻方 奇阶幻方问题 奇阶幻方问题 杨辉法杨辉法 罗伯法罗伯法 偶阶幻方问题 偶阶幻方问题 双偶阶 对称交换法双偶阶 对称交换法 单偶阶 同心方阵法单偶阶 同心方阵法 十二 十二 二进制二进制 1 1 二进制计数法二进制计数法 二进制位值原则二进制位值原则 二进制数与十进制数的互相转化二进制数与十进制数的互相转化 精品文档 9欢迎下载 二进制的运算二进制的运算 2 2 其它进制 十六进制 其它进制 十六进制 十三 十三 一笔画一笔画 1 1 一笔画定理 一笔画定理 一笔画图形中只能有一笔画图形中