北师大版高中数学必修1第四章《函数应用》用函数模型解决实际问题

1 用函数模型解决实际问题 北师大版高中数学必修1第四章函数应用 乐安一中数学备课组 2 函数模型是应用最广泛的数学模型之一 许多实际问题一旦认定是函数关系 就可以通过研究函数的性质把握问题 使问题得到解决 教学目的及重点理解解决应用题的步骤及思维方式 能利用信息技术帮助理解应用问题 教学难点 建立恰当的数学模型 3 常见的函数模型有 一次函数模型 二次函数模型 正比例函数模型 反比例函数模型 分段函数模型 指数函数模型 对数函数模型 幂函数模型 4 例 某公司一年需要一种计算机元件 个 每天需同样多的元件用于组装整机 该元件每年分n次进货 每次购买元件的数量均为x 购一次货需要手续费 元 已购进而未使用的元件要付库存费 可以认为平均库存量为x 2件 每个元件的库存费是一年 元 请核算一下 每年进货几次花费最小 5 分析 每次进货量x与进货次数n有什么关系 2 进货次数为 3 全年的手续费是 4 一年的总库存费为 5 其它费用 6 解决应用问题的基本步骤 实际应用题 明确题意 找出题设与结论的数学关系 数量关系和空间位置关系 在分析联想的基础上 转化为数学问题 抽象构建成一个或几个数学模型来解 阅读 分析 联想 转化 抽象 建立数学模型 运用数学知识作为工具 解答数学问题 再翻译成具体应用问题的结论 7 例2 已知某商品的价格每上涨x 销售的数量就减少kx 其中k为正常数 1 当时 该商品的价格上涨多少 就能使销售的总金额最大 2 如果适当的涨价 能使销售总金额增加 求k的取值范围 8 解 1 设商品现在定价a元 卖出的数量为b个 由题设 当价格上涨x 时 销售总额为即取得 当x 50时 即该商品的价格上涨50 时 销售总金额最大 9 2 二次函数在上递增 在上递减 适当地涨价 即x 0 即就是0 k 1 能使销售总金额增加 10 例3某乡镇现在人均一年占有粮食360千克 如果该乡镇人口平均每年增长1 2 粮食总产量平均每年增长4 那么x年后若人均一年占有y千克粮食 求出函数y关于x的解析式 解 设该乡镇现在人口量为M 则该乡镇现在一年的粮食总产量360M 经过1年后 该乡镇粮食总产量为360M 1 4 人口量为M 1 1 2 11 则人均占有粮食为经过2年后 人均占有粮食为 经过x年后 人均占有粮食y 即所求函数式为 y 360 x 12 例 本例 电器材厂在生产扬声器的过程中 有一道重要的工序 使用 胶粘合扬声器中的钢与夹板 长期以来 由于对 胶的用量没有一个确定的标准 经常出现用胶过多 脱水外溢 或用胶过少 产生脱胶 影响了产品质量 经过实验 已有一些恰当用胶量的具体数据 见表4 3 现在需要提出一个既科学又简便的方法来确定磁钢面积与用胶量的关系 13 例5某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表 1 根据表提供的的数据 能否建立一个恰当的函数模型 使它能比较近似地反映这个地区一体化未成年男性体重ykg与身高xcm的函数关系 试写出这个函数模型的关系式 14 2 若体重超过相同身高男性体重的平均值的1 2倍为偏胖 低于0 8倍为偏瘦 那么这个地区一名身高为175cm 体重为78kg的在校男生的体重是否正常 解 1 以身高为横坐标 体重为纵坐标 画出散点图 根据图的分布特点 设y a bx这一函数来近似刻画其关系 15 取两点 70 7 90 160 47 25 代入y a bx得 用计算器得 a 2 b 1 02这样就得到函数模型 y 2 1 02x为所求解析式 16 将x 175代入y 2 1 02x 得y 2 1 02175 用计算器得 y 63 98