平面几何基本定理.doc

一平面几何1 勾股定理（毕达哥拉斯定理）（广义勾股定理）(1)锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍(2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍2 射影定理（欧几里得定理）3 中线定理（巴布斯定理）设ABC的边BC的中点为P，则有；中线长：4 垂线定理：高线长：5 角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例如ABC中，AD平分BAC，则；（外角平分线定理）角平分线长：（其中为周长一半）6 正弦定理：，（其中为三角形外接圆半径）7 余弦定理：8 张角定理：9 斯特瓦尔特(Stewart)定理：设已知ABC及其底边上B、C两点间的一点D，则有AB2DC+AC2BDAD2BCBCDCBD10 圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，等于圆心角的一半（圆外角如何转化？）11 弦切角定理：弦切角等于夹弧所对的圆周角12 圆幂定理：（相交弦定理：垂径定理：切割线定理（割线定理）：切线长定理：）13 布拉美古塔（Brahmagupta）定理： 在圆内接四边形ABCD中，ACBD，自对角线的交点P向一边作垂线，其延长线必平分对边14 点到圆的幂：设P为O所在平面上任意一点，PO=d，O的半径为r，则d2r2就是点P对于O的幂过P任作一直线与O交于点A、B，则PAPB= |d2r2|“到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线，如果此二圆相交，则该轨迹是此二圆的公共弦所在直线”这个结论这条直线称为两圆的“根轴”三个圆两两的根轴如果不互相平行，则它们交于一点，这一点称为三圆的“根心”三个圆的根心对于三个圆等幂当三个圆两两相交时，三条公共弦(就是两两的根轴)所在直线交于一点15 托勒密（Ptolemy）定理：圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和，即ACBD=ABCD+ADBC，(逆命题成立) （广义托勒密定理）ABCD+ADBCACBD16 蝴蝶定理：AB是O的弦，M是其中点，弦CD、EF经过点M，CF、DE交AB于P、Q，求证：MP=QM 17 费马点：定理1等边三角形外接圆上一点，到该三角形较近两顶点距离之和等于到另一顶点的距离；不在等边三角形外接圆上的点，到该三角形两顶点距离之和大于到另一点的距离定理2 三角形每一内角都小于120时，在三角形内必存在一点，它对三条边所张的角都是120，该点到三顶点距离和达到最小，称为“费马点”，当三角形有一内角不小于120时，此角的顶点即为费马点18 拿破仑三角形：在任意ABC的外侧，分别作等边ABD、BCE、CAF，则AE、AB、CD三线共点，并且AEBFCD，这个命题称为拿破仑定理 以ABC的三条边分别向外作等边ABD、BCE、CAF，它们的外接圆C1 、A1 、B1的圆心构成的外拿破仑的三角形，C1 、A1 、B1三圆共点，外拿破仑三角形是一个等边三角形；ABC的三条边分别向ABC的内侧作等边ABD、BCE、CAF，它们的外接圆C2 、A2 、B2的圆心构成的内拿破仑三角形，C2 、A2 、B2三圆共点，内拿破仑三角形也是一个等边三角形这两个拿破仑三角形还具有相同的中心 19 九点圆（Nine point round或欧拉圆或费尔巴赫圆）：三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，九点圆具有许多有趣的性质,例如: （1）三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半（2）九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点 （3）三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切费尔巴哈定理20 欧拉（Euler）线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上21 欧拉（Euler）公式：设三角形的外接圆半径为R，内切圆半径为r，外心与内心的距离为d，则d2=R22Rr22 锐角三角形的外接圆半径与内切圆半径的和等于外心到各边距离的和23 重心：三角形的三条中线交于一点，并且各中线被这个点分成2：1的两部分；重心性质：（1）设G为ABC的重心，连结AG并延长交BC于D，则D为BC的中点，则；（2）设G为ABC的重心，则（3）设G为ABC的重心，过G作DEBC交AB于D，交AC于E，过G作PFAC交AB于P，交BC于F，过G作HKAB交AC于K，交BC于H，则（4）设G为ABC的重心，则（P为ABC内任意一点）；到三角形三顶点距离的平方和最小的点是重心，即最小； 三角形内到三边距离之积最大的点是重心；反之亦然（即满足上述条件之一，则G为ABC的重心）24 垂心：三角形的三条高线的交点；垂心性质：（1）三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍（2）垂心H关于ABC的三边的对称点，均在ABC的外接圆上；（3）ABC的垂心为H，则ABC，ABH，BCH，ACH的外接圆是等圆；（4）设O，H分别为ABC的外心和垂心， 25 内心：三角形的三条角分线的交点内接圆圆心，即内心到三角形各边距离相等 内心性质：（1）设I为ABC的内心，则I到ABC三边的距离相等，反之亦然（2）设I为ABC的内心，则（3）三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心的距离相等；反之，若平分线交ABC外接圆于点K，I为线段AK上的点且满足KI=KB，则I为ABC的内心（4）设I为ABC的内心， 平分线交BC于D，交ABC外接圆于点K，则（5）设I为ABC的内心，I在上的射影分别为，内切圆半径为，令；26 外心：三角形的三条中垂线的交点外接圆圆心，即外心到三角形各顶点距离相等；外心性质：（1）外心到三角形各顶点距离相等（2）设O为ABC的外心，则或（3）；（4）锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和27 旁心：一内角平分线与两外角平分线交点旁切圆圆心；设ABC的三边令，分别与外侧相切的旁切圆圆心记为，其半径分别记为旁心性质：（1）（对于顶角B，C也有类似的式子）（2）（3）设的连线交ABC的外接圆于D，则（对于有同样的结论）（4）ABC是IAIBIC的垂足三角形，且IAIBIC的外接圆半径等于ABC的直径为2R28 三角形面积公式，其中表示边上的高，为外接圆半径，为内切圆半径，29 三角形中内切圆，旁切圆和外接圆半径的相互关系 30 梅涅劳斯（Menelaus）定理：设ABC的三边BC、CA、AB或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P、Q、R则有 （逆定理也成立）31 梅涅劳斯定理的应用定理1：设ABC的A的外角平分线交边CA于Q，C的平分线交边AB于R，B的平分线交边CA于Q，则P、Q、R三点共线32 梅涅劳斯定理的应用定理2：过任意ABC的三个顶点A、B、C作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、AB的延长线交于点P、Q、R，则P、Q、R三点共线33 塞瓦(Ceva)定理：设X、Y、Z分别为ABC的边BC、CA、AB上的一点，则AX、BY、CZ所在直线交于一点的充要条件是=134 塞瓦定理的应用定理：设平行于ABC的边BC的直线与两边AB、AC的交点分别是D、E，又设BE和CD交于S，则AS一定过边BC的中点M35 塞瓦定理的逆定理：（略）36 塞瓦定理的逆定理的应用定理1：三角形的三条中线交于一点，三角形的三条高线交于一点，三角形的三条角分线交于一点37 塞瓦定理的逆定理的应用定理2：设ABC的内切圆和边BC、CA、AB分别相切于点R、S、T，则AR、BS、CT交于一点38 西摩松（Simson）定理：从ABC的外接圆上任意一点P向三边BC、CA、AB或其延长线作垂线，设其垂足分别是D、E、R，则D、E、R共线，（这条直线叫西摩松线Simson line）39 西摩松定理的逆定理：（略）40 关于西摩松线的定理1：ABC的外接圆的两个端点P、Q关于该三角形的西摩松线互相垂直，其交点在九点圆上41 关于西摩松线的定理2（安宁定理）：在一个圆周上有4点，以其中任三点作三角形，再作其余一点的关于该三角形的西摩松线，这些西摩松线交于一点42 史坦纳定理：设ABC的垂心为H，其外接圆的任意点P，这时关于ABC的点P的西摩松线通过线段PH的中心43 史坦纳定理的应用定理：ABC的外接圆上的一点P的关于边BC、CA、AB的对称点和ABC的垂心H同在一条（与西摩松线平行的）直线上这条直线被叫做点P关于ABC的镜象线44 牛顿定理1：四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三点共线这条直线叫做这个四边形的牛顿线 45 牛顿定理2：圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线46 笛沙格定理1：平面上有两个三角形ABC、DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线47 笛沙格定理2：相异平面上有两个三角形ABC、DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线48 波朗杰、腾下定理：设ABC的外接圆上的三点为P、Q、R，则P、Q、R关于ABC交于一点的充要条件是：弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2) 49 波朗杰、腾下定理推论1：设P、Q、R为ABC的外接圆上的三点，若P、Q、R关于ABC的西摩松线交于一点，则A、B、C三点关于PQR的的西摩松线交于与前相同的一点50 波朗杰、腾下定理推论2：在推论1中，三条西摩松线的交点是A、B、C、P、Q、R六点任取三点所作的三角形的垂心和其余三点所作的三角形的垂心的连线段的中点51 波朗杰、腾下定理推论3：考查ABC的外接圆上的一点P的关于ABC的西摩松线，如设QR为垂直于这条西摩松线该外接圆的弦，则三点P、Q、R的关于ABC的西摩松线交于一点52 波朗杰、腾下定理推论4：从ABC的顶点向边BC、CA、AB引垂线，设垂足分别是D、E、F，且设边BC、CA、AB的中点分别是L、M、N，则D、E、F、L、M、N六点在同一个圆上，这时L、M、N点关于关于ABC的西摩松线交于一点53 卡诺定理：通过ABC的外接圆的一点P，引与ABC的三边BC、CA、AB分别成同向的等角的直线PD、PE、PF，与三边的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线54 奥倍尔定理：通过ABC的三个顶点引互相平行的三条直线，设它们与ABC的外接圆的交点分别是L、M、N，在ABC的外接圆上取一点P，则PL、PM、PN与ABC的三边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线55 清宫定理：设P、Q为ABC的外接圆的异于A、B、C的两点，P点的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，这时，QU、QV、QW和边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线56 他拿定理：设P、Q为关于ABC的外接圆的一对反点，点P的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，这时，如果QU、QV、QW和边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线（反点：P、Q分别为圆O的半径OC和其延长线的两点，如果OC2=OQOP 则称P、Q两点关于圆O互为反点）57 朗古来定理：在同一圆周上有A1、B1、C1、D1四点，以其中任三点作三角形，在圆周取一点P，作P点的关于这4个三角形的西摩松线，再从P向这4条西摩松线引垂线，则四个垂足在同一条直线上 58 从三角形各边的中点，向这条边所对的顶点处的外接圆的切线引垂线，这些垂线交于该三角形的九点圆的圆心59 一个圆周上有n个点，从其中任意n1个点的重心，向该圆周的在其余一点处的切线所引的垂线都交于一点60 康托尔定理1：一个圆周上有n个点，从其中任意n2个点的重心向余下两点的连线所引的垂线共点61 康托尔定理2：一个圆周上有A、B、C、D四点及M、N两点，则M和N点关于四个三角形BCD、CDA、DAB、ABC中的每一个的两条西摩松线的交点在同一直线上这条直线叫做M、N两点关于四边形ABCD的康托尔线62 康托尔定理3：一个圆周上有A、B、C、D四点及M、N、L三点，则M、N两点的关于四边形ABCD的康托尔线、L、N两点的关于四边形ABCD的康托尔线、M、L两点的关于四边形ABCD的康托尔线交于一点这个点叫做M、N、L三点关于四边形ABCD的康托尔点63 康托尔定理4：一个圆周上有A、B、C、D、E五点及M、N、L三点，则M、N、L三点关于四边形BCDE、CDEA、DEAB、EABC中的每一个康托尔点在一条直线上这条直线叫做M、N、L三点关于五边形A、B、C、D、E的康托尔线64 费尔巴赫定理：三角形的九点圆与内切圆和旁切圆相切 65 莫利定理：将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形这个三角形常被称作莫利正三角形66 布利安松定理：连结外切于圆的六边形ABCDEF相对的顶点A和D、B和E、C和F，则这三线共点67 帕斯卡（Paskal）定理：圆内接六边形ABCDEF相对的边AB和DE、BC和EF、CD和FA的（或延长线的）交点共线68 阿波罗尼斯（Apollonius）定理：到两定点A、B的距离之比为定比m：n（值不为1）的点P，位于将线段AB分成m：n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上这个圆称为阿波罗尼斯圆69 库立奇*大上定理：（圆内接四边形的九点圆）圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆70 密格尔（Miquel）点： 若AE、AF、ED、FB四条直线相交于A、B、C、D、E、F六点，构成四个三角形，它们是ABF、AED、BCE、DCF，则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点71 葛尔刚（Gergonne）点：ABC的内切圆分别切边AB、BC、CA于点D、E、F，则AE、BF、CD三线共点，这个点称为葛尔刚点 72 欧拉关于垂足三角形的面积公式：O是三角形的外心，M是三角形中的任意一点，过M向三边作垂线，三个垂足形成的三角形的面积，其公式： 二集合 1.元素与集合的关系,.2.德摩根公式3.包含关系4.集合的子集个数共有 个；真子集有1个；非空子集有 1个；非空的真子集有2个.5.集合A中有M个元素，集合B中有N个元素，则可以构造M*N个从集合A到集合B的映射；6.容斥原理20第 页 共 21 页2020-1-2.三二次函数，二次方程1二次函数的解析式的三种形式(1)一般式;(2)顶点式;(3)零点式.2解连不等式常有以下转化形式.3方程在上有且只有一个实根,与不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程有且只有一个实根在内,等价于,或且,或且.4闭区间上的二次函数的最值 二次函数在闭区间上的最值只能在处及区间的两端点处取得，具体如下：(1)当a0时，若，则；，.(2)当a0)（1），则的周期T=a；（2），或，或,或,则的周期T=2a；(3)，则的周期T=3a；(4)且，则的周期T=4a；(5),则的周期T=5a；(6)，则的周期T=6a.六 指数与对数1分数指数幂 (1)（，且）.(2)（，且）.2根式的性质（1）.（2）当为奇数时，；当为偶数时，.3有理指数幂的运算性质(1) .(2) .(3).注： 若a0，p是一个无理数，则ap表示一个确定的实数上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.4指数式与对数式的互化式 .5对数的换底公式 (,且,且, ).推论 (,且,且, ).6对数的四则运算法则若a0，a1，M0，N0，则(1);(2) ;(3).7设函数,记.若的定义域为,则，且;若的值域为,则，且.对于的情形,需要单独检验.8对数换底不等式及其推广 若,则函数 (1)当时,在和上为增函数.， (2)当时,在和上为减函数.推论:设，且，则（1）.（2）.9平均增长率的问题如果原来产值的基础数为N，平均增长率为，则对于时间的总产值，有.39.数列的同项公式与前n项的和的关系( 数列的前n项的和为).七 数列1等差数列的通项公式；其前n项和公式为.2等比数列的通项公式；其前n项的和公式为或.3等比差数列:的通项公式为；其前n项和公式为.4分期付款(按揭贷款) 每次还款元(贷款元,次还清,每期利率为).八 三角函数1常见三角不等式（1）若，则.(2) 若，则.(3) .2同角三角函数的基本关系式 ，=，.3正弦、余弦的诱导公式(n为偶数)(n为奇数)(n为偶数)(n为奇数) 4和角与差角公式 ;.(平方正弦公式);.=(辅助角所在象限由点的象限决定, ).5半角正余切公式：6二倍角公式 .7最简单的三角不等式及其解集 角的变形：8三倍角公式 9三角函数的周期公式 函数，xR及函数，xR(A,为常数，且A0，0)的周期；函数，(A,为常数，且A0，0)的周期.10正弦定理.11余弦定理;.12面积定理（1）（分别表示a、b、c边上的高）.（2）.(3).13在三角形中有下列恒等式： 14简单的三角方程的通解 . .特别地,有. .15三角形内角和定理 在ABC中，有八 向量1实数与向量的积的运算律设、为实数，那么(1) 结合律：(a)=()a;(2)第一分配律：(+)a=a+a;(3)第二分配律：(a+b)=a+b.2向量的数量积的运算律：(1) ab= ba （交换律）;(2)（a）b= （ab）=ab= a（b）;(3)（a+b）c= a c +bc.3平面向量基本定理 如果e1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1、2，使得a=1e1+2e2不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底4向量平行的坐标表示 设a=,b=，且b0，则ab(b0).5a与b的数量积(或内积)ab=|a|b|cos6ab的几何意义数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos的乘积7平面向量的坐标运算(1)设a=,b=，则a+b=.(2)设a=,b=，则a-b=. (3)设A，B,则.(4)设a=，则a=.(5)设a=,b=，则ab=.8两向量的夹角公式(a=,b=).9平面两点间的距离公式 =(A，B).10向量的平行与垂直 设a=,b=，且b0，则A|bb=a .ab(a0)ab=0.11线段的定比分公式 设，是线段的分点,是实数，且，则（）.12三角形的重心坐标公式 ABC三个顶点的坐标分别为、,则ABC的重心的坐标是.13点的平移公式 .注:图形F上的任意一点P(x，y)在平移后图形上的对应点为，且的坐标为.14“按向量平移”的几个结论（1）点按向量a=平移后得到点.(2) 函数的图象按向量a=平移后得到图象,则的函数解析式为.(3) 图象按向量a=平移后得到图象,若的解析式,则的函数解析式为.(4)曲线:按向量a=平移后得到图象,则的方程为.(5) 向量m=按向量a=平移后得到的向量仍然为m=.15三角形五“心”向量形式的充要条件设为所在平面上一点，角所对边长分别为，则（1）为的外心.（2）为的重心.（3）为的垂心.（4）为的内心.（5）为的的旁心.九 不等式1常用不等式：（1）(当且仅当ab时取“=”号)（2）(当且仅当ab时取“=”号)（3）（4）柯西不等式（5） .2极值定理已知都是正数，则有（1）若积是定值，则当时和有最小值；（2）若和是定值，则当时积有最大值.推广 已知，则有（1）若积是定值,则当最大时,最大；当最小时,最小.（2）若和是定值,则当最大时, 最小；当最小时, 最大.3一元二次不等式，如果与同号，则其解集在两根之外；如果与异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.；.4含有绝对值的不等式 当a 0时，有.或.75.无理不等式（1） .（2）.（3）.5指数不等式与对数不等式 (1)当时,; .(2)当时,;十 直线方程1斜率公式 （、）. k=tan(为直线倾斜角）2直线的五种方程 （1）点斜式 (直线过点，且斜率为)（2）斜截式 (b为直线在y轴上的截距).（3）两点式 ()(、 ().(4)截距式 (分别为直线的横、纵截距，)（5）一般式 (其中A、B不同时为0).5两条直线的平行和垂直 (1)若，;.(2)若,且A1、A2、B1、B2都不为零,；两直线垂直的充要条件是 ；即：6夹角公式 (1).(，,)(2).(,).直线时，直线l1与l2的夹角是.7到的角公式 (1).(，,)(2).(,).直线时，直线l1到l2的角是.8四种常用直线系方程 (1)定点直线系方程：经过定点的直线系方程为(除直线),其中是待定的系数; 经过定点的直线系方程为,其中是待定的系数(2)共点直线系方程：经过两直线,的交点的直线系方程为(除)，其中是待定的系数(3)平行直线系方程：直线中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程与直线平行的直线系方程是()，是参变量(4)垂直直线系方程：与直线 (A0，B0)垂直的直线系方程是,是参变量9点到直线的距离 (点,直线：).10或所表示的平面区域设直线，若A0,则在坐标平面内从左至右的区域依次表示 ，若A0,则在坐标平面内从左至右的区域依次表示 ，可记为“x 为正开口对，X为负背靠背“。（正负指X的系数A，开口对指”，背靠背指0)的焦点F的直线与抛物线相交于十五 圆锥曲线共性问题1两个常见的曲线系方程(1)过曲线,的交点的曲线系方程是(为参数).(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程,其中.当时,表示椭圆; 当时,表示双曲线.5直线与圆锥曲线相交的弦长公式 或（弦端点A由方程 消去y得到，,为直线的倾斜角，为直线的斜率）. 2涉及到曲线上的 点A，B及线段AB的中点M的关系时，可以利用“点差法：，比如在椭圆中：3圆锥曲线的两类对称问题（1）曲线关于点成中心对称的曲线是.（2）曲线关于直线成轴对称的曲线是.4“四线”一方程 对于一般的二次曲线，用代，用代，用代，用代，用代即得方程，曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中点方程均是此方程得到.十六 立体几何1证明直线与直线的平行的思考途径（1）转化为判定共面二直线无交点；（2）转化为二直线同与第三条直线平行；（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行.2证明直线与平面的平行的思考途径（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行.3证明平面与平面平行的思考途径（1）转化为判定二平面无公共点；（2）转化为线面平行；（3）转化为线面垂直.4证明直线与直线的垂直的思考途径（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的射影垂直；（4）转化为线与形成射影的斜线垂直.5证明直线与平面垂直的思考途径（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.6证明平面与平面的垂直的思考途径（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直.115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律(1)加法交换律：ab=ba(2)加法结合律：(ab)c=a(bc)(3)数乘分配律：(ab)=ab7.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量.8.共线向量定理对空间任意两个向量a、b(b0 )，ab存在实数使a=b三点共线.、共线且不共线且不共线.9.共面向量定理 向量p与两个不共线的向量a、b共面的存在实数对,使推论 空间一点P位于平面MAB内的存在有序实数对,使，或对空间任一定点O，有序实数对，使.10.对空间任一点和不共线的三点A、B、C，满足（），则当时，对于空间任一点，总有P、A、B、C四点共面；当时，若平面ABC，则P、A、B、C四点共面；若平面ABC，则P、A、B、C四点不共面四点共面与、共面（平面ABC）.11.空间向量基本定理 如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使pxaybzc推论 设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使.121.射影公式已知向量=a和轴，e是上与同方向的单位向量.作A点在上的射影，作B点在上的射影，则a，e=ae12.向量的直角坐标运算设a，b则(1)ab；(2)ab；(3)a (R)；(4)ab；123.设A，B，则= .13空间的线线平行或垂直设，则；.125.夹角公式 设a，b，则cosa，b=.推论 ，此即三维柯西不等式.14. 四面体的对棱所成的角四面体中, 与所成的角为,则.127异面直线所成角=（其中（）为异面直线所成角，分别表示异面直线的方向向量）15.直线与平面所成角(为平面的法向量).16.若所在平面若与过若的平面成的角,另两边,与平面成的角分别是、,为的两个内角，则.特别地,当时,有.17.若所在平面若与过若的平面成的角,另两边,与平面成的角分别是、,为的两个内角，则.特别地,当时,有.18.二面角的平面角或（，为平面，的法向量）.19.三余弦定理设AC是内的任一条直线，且BCAC，垂足为C，又设AO与AB所成的角为，AB与AC所成的角为，AO与AC所成的角为则.20. 三射线定理若夹在平面角为的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是,与二面角的棱所成的角是，则有 ;(当且仅当时等号成立).21.空间两点间的距离公式 若A，B，则 =.135.点到直线距离(点在直线上，直线的方向向量a=，向量b=).22.异面直线间的距离 (是两异面直线，其公垂向量为，分别是上任一点，为间的距离).137.点到平面的距离 （为平面的法向量，是经过面的一条斜线，）.23.异面直线上两点距离公式 .（）. (两条异面直线a、b所成的角为，其公垂线段的长度为h.在直线a、b上分别取两点E、F，,). 139.三个向量和的平方公式 24. 长度为的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为，夹角分别为,则有.（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.25. 面积射影定理 .(平面多边形及其射影的面积分别是、，它们所在平面所成锐二面角的为).26. 斜棱柱的直截面已知斜棱柱的侧棱长是,侧面积和体积分别是和,它的直截面的周长和面积分别是和,则.27作截面的依据三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行.28棱锥的平行截面的性质如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比29.欧拉定理(欧拉公式) (简单多面体的顶点数V、棱数E和面数F).（1）=各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为的多边形，则面数F与棱数E的关系：；（2）若每个顶点引出的棱数为，则顶点数V与棱数E的关系：.30.球的半径是R，则其体积,其表面积31.球的组合体 (1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3) 球与正四面体的组合体: 棱长为的正四面体的内切球的半径为,外接球的半径为.32柱体、锥体的体积（是柱体的底面积、是柱体的高）.（是锥体的底面积、是锥体的高）.十七 排列组合1分类计数原理（加法原理）.2分步计数原理（乘法原理）.3排列数公式 =.(，N*，且)注:规定.4排列恒等式 (1）;（2）;（3）; （4）;（5）.(6) .5组合数公式 =(N*，且).6组合数的两个性质(1)= ;(2) +=.注:规定.7组合恒等式（1）;（2）;（3）; （4）=;（5）.(6).(7). (8).(9).（）.8排列数与组合数的关系 .9单条件排列以下各条的大前提是从个元素中取个元素的排列.（1）“在位”与“不在位”某（特）元必在某位有种；某（特）元不在某位有（补集思想）（着眼位置）（着眼元素）种.（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）定位紧贴：个元在固定位的排列有种.浮动紧贴：个元素的全排列把k个元排在一起的排法有种.注：此类问题常用捆绑法；插空：两组元素分别有k、h个（），把它们合在一起来作全排列，k个的一组互不能挨近的所有排列数有种.（3）两组元素各相同的插空 个大球个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？当时，无解；当时，有种排法.（4）两组相同元素的排列：两组元素有m个和n个，各组元素分别相同的排列数为.10分配问题（1）(平均分组有归属问题)将相异的、个物件等分给个人，各得件，其分配方法数共有.（2）(平均分组无归属问题)将相异的个物体等分为无记号或无顺序的堆，其分配方法数共有.（3）(非平均分组有归属问题)将相异的个物体分给个人，物件必须被分完，分别得到，件，且，这个数彼此不相等，则其分配方法数共有.（4）(非完全平均分组有归属问题)将相异的个物体分给个人，物件必须被分完，分别得到，件，且，这个数中分别有a、b、c、个相等，则其分配方法数有 .（5）(非平均分组无归属问题)将相异的个物体分为任意的，件无记号的堆，且，这个数彼此不相等，则其分配方法数有.（6）(非完全平均分组无归属问题)将相异的个物体分为任意的，件无记号的堆，且，这个数中分别有a、b、c、个相等，则其分配方法数有.（7）(限定分组有归属问题)将相异的（）个物体分给甲、乙、丙，等个人，物体必须被分完，如果指定甲得件，乙得件，丙得件，时，则无论，等个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有.11 “错位问题”及其推广贝努利装错笺问题:信封信与个信封全部错位的组合数为.推广: 个元素与个位置