2017_18学年高中数学第二章2.3空间直角坐标系学案北师大版必修.docx

3空间直角坐标系3.1空间直角坐标系的建立3.2空间直角坐标系中点的坐标1.了解空间直角坐标系的建立方法及有关概念.2.会在空间直角坐标系中用三元有序数组刻画点的位置.(重点、难点)基础初探教材整理空间直角坐标系阅读教材P89至P91“例3”以上部分，完成下列问题.1.空间直角坐标系的建立：(1)空间直角坐标系建立的流程图：(2)空间直角坐标系的建系原则右手螺旋法则：伸出右手，让四指与大拇指垂直；四指先指向x轴正方向；让四指沿握拳方向旋转90指向y轴正方向；大拇指的指向即为z轴正方向.(3)有关名称：如图231所示，图231O叫作原点；x，y，z轴统称为坐标轴；由坐标轴确定的平面叫作坐标平面，由x，y轴确定的平面记作xOy平面，由y，z轴确定的平面记作yOz平面，由x，z轴确定的平面记作xOz平面.2.空间直角坐标系中点的坐标：(1)空间直角坐标系中任意一点P的位置，可用一个三元有序数组来刻画.(2)空间任意一点P的坐标记为(x，y，z)，第一个是x坐标，第二个是y坐标，第三个是z坐标.(3)空间直角坐标系中，点一一对应三元有序数组.(4)对于空间中点P坐标的确定方法是：过点P分别向坐标轴作垂面，构造一个以O，P为顶点的长方体，如果长方体在三条坐标轴上的顶点P1，P2，P3的坐标分别为(x,0,0)，(0，y,0)，(0,0，z)，则点P的坐标为(x，y，z).判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)给定空间直角坐标系，空间任意一点与有序实数组(x，y，z)之间存在唯一的对应关系.()(2)点P(1,0,2)在空间直角坐标系中的xOy坐标平面上.()(3)空间直角坐标系中，y轴上的点的坐标为(0，y,0).()(4)在不同的空间直角坐标系中，同一点的坐标可能不同.()【答案】(1)(2)(3)(4)小组合作型求空间中点的坐标如图232，棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E是AB的中点，F是BB1的中点，G是AB1的中点，试建立适当的坐标系，并确定E，F，G三点的坐标.图232【精彩点拨】取D为空间坐标系的原点，过D点的三条棱所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，按定义确定E，F，G坐标.【自主解答】如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系，E点在平面xDy中，且|EA|.E点的坐标为.B点和B1点的坐标分别为(1,1,0)和(1,1,1)，故F点坐标为.同理可得G点坐标为.1.题目若未给出坐标系，建立空间直角坐标系时应遵循以下原则：(1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内；(2)充分利用几何图形的对称性.2.求某点的坐标时，一般先找这一点在某一坐标平面上的射影，确定其两个坐标，再找出它在另一轴上的投影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)，确定第三个坐标.再练一题1.在长方体ABCDA1B1C1D1中，AD3，AB5，AA14，建立适当的坐标系写出此长方体各顶点的坐标. 【导学号：39292118】【解】如图，以DA所在直线为x轴，以DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系O xyz.长方体的棱长AD3，DCAB5，DD1AA14，显然D(0,0,0)，A在x轴上，A(3,0,0)；C在y轴上，C(0,5,0)；D1在z轴上，D1(0,0,4)；B在xOy平面内，B(3,5,0)；A1在xOz平面内，A1(3,0,4)；C1在yOz平面内，C1(0,5,4).由B1在xOy平面内的射影为B(3,5,0)，B1的横坐标为3，纵坐标为5，B1在z轴上的射影为D1(0,0,4)，B1的竖坐标为4，B1(3,5,4).已知点的坐标，确定点的位置在空间直角坐标系中，作出点M(4，2,5).【精彩点拨】解答本题可有三种思路：利用平移点的方法，将原点按坐标轴的方向三次平移得点M；构造适合条件的长方体，使三条棱长分别为4,2,5，通过和原点相对的顶点确定M的位置；通过作三个分别与坐标轴垂直的平面，由平面的交点确定点M. 【自主解答】法一：将原点沿x轴正方向平移4个单位得点M1(4,0,0)，再把M1沿与y轴平行的直线且与y轴相反方向平移2个单位，得到点M2(4，2,0)，最后把M2沿与z轴平行的直线且与z轴相同方向平移5个单位即得点M.法二：以O为顶点构造长方体，使这个长方体在点O处的三条棱分别在x轴正半轴、y轴负半轴、z轴正半轴上，且棱长分别为4,2,5，则长方体与顶点O相对的顶点即为所求的点M. 法三：在x轴上找到坐标为4的点，过此点作与x轴垂直的平面；在y轴上找到坐标为2的点，过此点作与y轴垂直的平面；在z轴上找到坐标为5的点，过此点作与z轴垂直的平面，则，交于一点，此交点即为所求的点M.已知点M的坐标(x0，y0，z0)，确定它的位置的方法有：(1)先在x轴上取横坐标为x0的点M1；再将M1在xOy平面内沿与y轴平行的方向的负向(y00)或正向(y00)平移|y0|个单位，得到点M2；再将点M2沿与z轴平行的方向的正向(z00)或负向(z00)平移|z0|个单位，就可得到点M(x0，y0，z0).(2)以原点O为一个顶点，构造棱长分别为|x0|，|y0|，|z0|的长方体(三条棱的位置要与x0，y0，z0的符号一致)，则长方体与O相对的顶点即为所求的点M.(3)先在x轴上找到点M1(x0,0,0)，过M1作x轴的垂直平面；再在y轴上找到点M2(0，y0,0)，过M2作y轴的垂直平面；在z轴上找到点M3(0,0，z0)，过M3作z轴的垂直平面，三个平面，交于一点，此交点即为所求点M.再练一题2.在空间直角坐标系中，作出点P(5,4,6). 【解】法一：第一步从原点出发沿x轴正方向移动5个单位，第二步沿与y轴平行的方向向右移动4个单位，第三步沿与z轴平行的方向向上移动6个单位(如图所示)，即得点P.法二：以O为顶点构造长方体，使这个长方体在点O处的三条棱分别在x轴、y轴、z轴的正半轴上，且棱长分别为5,4,6，则长方体与顶点O相对的顶点即为所求点P.探究共研型空间中点的对称探究1平面中，两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的中点坐标是什么？类比平面中两点的中点坐标，空间中两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)的中点坐标是什么？【提示】平面上两点P1，P2的中点坐标为；空间中两点P1，P2中点的坐标为.探究2在空间直角坐标系中，关于一个平面对称的点有什么特点？关于一条坐标轴对称的点有什么特点？【提示】关于哪个平面的对称点在这个平面上的坐标不变，另外的坐标变成原来的相反数.关于一条坐标轴的对称点这个坐标不变，另两个坐标变为原来的相反数.探究3在空间直角坐标系中，关于原点对称的点的坐标有什么特点？【提示】三个坐标分别互为相反数.求点A(1,2，1)关于坐标平面xOy及x轴对称的点的坐标.【精彩点拨】解答本题可先作出点A的坐标，然后借助于图形，分析其对称点的情况. 【自主解答】如图所示，过A作AMxOy交平面于M，并延长到C，使|AM|CM|，则A与C关于坐标平面xOy对称点C(1,2,1).过A作ANx轴于N，并延长到点B，使|AN|NB|，则A与B关于x轴对称且B(1，2,1)，A(1,2，1)关于坐标平面xOy对称的点的坐标为(1,2,1)；A(1,2，1)关于x轴对称的点的坐标为(1，2,1). 点关于原点、坐标轴及坐标平面的对称点有如下特点：(1)P(x，y，z)P1(x，y，z)；(2)P(x，y，z)P2(x，y，z)；P(x，y，z)P3(x，y，z)；P(x，y，z)P4(x，y，z).记忆口诀：“关于谁对称谁不变，其余相反”.(3)P(x，y，z)P5(x，y，z)；P(x，y，z)P6(x，y，z)；P(x，y，z)P7(x，y，z).再练一题3.写出点P(2,1,4)关于y轴，z轴，yOz面，xOz面的对称点的坐标.【解】(1)点P关于y轴的对称点坐标为P1(2,1，4)，(2)点P关于z轴的对称点坐标为P2(2，1,4)，(3)点P关于面yOz的对称点为P3(2,1,4)，(4)点P关于面xOz对称的点为P4(2，1,4).1.点M所在的位置是()A.x轴上B.xOz平面内C.xOy平面内D.yOz平面内【解析】M点的坐标为，x0，点M在平面yOz内.【答案】D2.在空间直角坐标系中，点M(2,1,0)关于原点的对称点M的坐标是()A.(2，1,0)B.(2，1,0)C.(2,1,0)D.(0，2,1)【解析】很明显点M和M的中点是原点，所以点M的坐标是(2，1,0).【答案】A3.在空间直角坐标系中，已知点A(1,2，3)，则点A在yOz平面内射影的点的坐标是_.【解析】由空间直角坐标系中点的坐标的确定可知，点A在yOz平面内的射影的点的坐标是(0,2，3).【答案】(0,2，3)4.已知A(3,2，4)，B(5，2,2)，则线段AB中点的坐标为_.【解析】设中点坐标为(x0，y0，z0)，则x04，y00，z01，中点坐标为(4,0，1).【答案】(4,0，1)5.如