2006年重庆高考文科数学解析版

2006 年普通高等学校招生全国统一考试 重庆卷 年普通高等学校招生全国统一考试 重庆卷 数学试题卷 文史类 数学试题 文史类 共 5 页 满分 150 分 考试时间 120 分钟 注意事项 1 答题前 务必将自己的姓名 准考证号填写在答题卡规定的位置上 2 答选择题时 必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡 皮檫擦干净后 在选涂其他答案标号 3 答非选择题时 必须用 0 5mm 黑色签字笔 将答案书写在答题卡规定的位置上 4 所有题目必须在答题卡上作答 在试卷上答题无效 5 考试结束后 将试题卷和答题卡一并交回 参考公式 如果事件互斥 那么AB P ABP AP B 如果事件相互独立 那么AB P A BP A P B 如果事件在一次试验中发生的概率是 那么次独立重复试验中恰好发生次的概率 Apnk 1 kkn k nn P kC pp 一 选择题 本大题共 10 小题 每小题 5 分 共 50 分 在每小题给出的四个备选项中 只有一项是符合题目要求的 1 已知集合 则 1 2 3 4 5 6 7 U 2 4 5 7 A 3 4 5 B AB UU A B C D 1 6 4 5 2 3 4 5 7 1 2 3 6 7 2 在等差数列中 若且 的值为 n a0 n a 37 64a a 5 a A 2 B 4 C 6 D 8 3 以点 2 1 为圆心且与直线相切的圆的方程为3450 xy A B 22 2 1 3xy 22 2 1 3xy C D 22 2 1 9xy 22 2 1 3xy 4 若是平面外一点 则下列命题正确的是P A 过只能作一条直线与平面相交 B 过可作无数条直线与平面垂直P P C 过只能作一条直线与平面平行 D 过可作无数条直线与平面平行P P 5 的展开式中的系数为 5 23x 2 x A 2160 B 1080 C 1080 D 2160 6 设函数的反函数为 且的图像过点 则 yf x 1 yfx 21 yfx 1 1 2 的图像必过 1 yfx A B C D 1 1 2 1 1 2 1 0 0 1 7 某地区有 300 家商店 其中大型商店有 30 家 中型商店有 75 家 小型商店有 195 家 为了掌握各商店的营业情况 要从中抽取一个容量为 20 的样本 若采用分层抽样的方法 抽取的中型商店数是 A 2 B 3 C 5 D 13 8 已知三点 其中为常数 若 则与 2 3 1 1 6 ABCk kABAC AB 的夹角为AC A B 或 24 arccos 25 2 24 arccos 25 C D 或 24 arccos 252 24 arccos 25 9 高三 一 班学要安排毕业晚会的 4 各音乐节目 2 个舞蹈节目和 1 个曲艺节目的演 出顺序 要求两个舞蹈节目不连排 则不同排法的种数是 A 1800 B 3600 C 4320 D 5040 10 若 则的值等于 0 2 3 cos 22 1 sin 22 cos A B C D 3 2 1 2 1 2 3 2 11 设是右焦点为的椭圆上三个不同的点 1122 9 4 5 A x yBC xyF 22 1 259 xy 则 成等差数列 是 的 AFBFCF 12 8xx A 充要条件 B 必要不充分条件 C 充分不必要条件 D 既非充分也非必要 12 若且 则的最小值是 0a b c 2 22412aabacbc abc A B 3 C 2 D 2 33 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 4 分 共 24 分 把答案填写在答题卡相应位置上 13 已知 则 2 5 sin 5 2 tan 14 在数列中 若 则该数列的通项 n a 1 1a 1 2 1 nn aan n a 15 设 函数有最小值 则不等式0 1aa 2 log 23 a f xxx 的解集为 log 1 0 a x 16 已知变量 满足约束条件 若目标函数 其中 xy 230 330 10 xy xy y zaxy 0a 仅在点处取得最大值 则的取值范围为 3 0 a 三 解答题 本大题共 6 小题 共 76 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 13 分 甲 乙 丙三人在同一办公室工作 办公室只有一部电话机 设经过该机打进的电话是打 给甲 乙 丙的概率依次为 若在一段时间内打进三个电话 且各个电话相互 1 6 1 3 1 2 独立 求 这三个电话是打给同一个人的概率 这三个电话中恰有两个是打给甲的概率 18 本小题满分 13 分 设函数 其中 且的图像在 2 3cossincosf xxxxa 0 aR f x 轴右侧的第一个最高点的横坐标是 y 6 求的值 如果在区间上的最小值为 求的值 f x 5 36 3a 19 本小题满分 12 分 设函数的图像与直线相切于点 32 33f xxaxbx 1210 xy 1 11 求的值 a b 讨论函数的单调性 f x 20 本小题满分 12 分 如图 在增四棱柱中 1111 ABCDABC D 为上使的点 1 1 31ABBB E 1 BB 1 1B E 平面交于 交的延长线于 1 AEC 1 DDF 11 ADG 求 异面直线与所成角的大小 AD 1 C G 二面角的正切值 11 AC GA 21 本小题满分 12 分 已知定义域为的函数是奇函数 R 1 2 2 x x b f x a 求的值 a b 若对任意的 不等式恒成立 求的取值范围 tR 22 2 2 0f ttftk k 22 本小题满分 12 分 如图 对每个正整数 是抛物n nnn A xy 线上的点 过焦点的直线角 2 4xy F n FA 抛物线于另一点 nnn B s t 试证 4 1 nn x sn 取 并记为抛物线上分别2n n x n C 以与为切点的两条切线的交点 试证 n A n B 1 12 221 nn n FCFCFC 2006 年普通高等学校招生全国统一考试 重庆卷 数学 文史类 参考答案参考答案 1 12 DDCDB CCDBB AA 13 2 14 2n 1 15 1 216 2 a 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题 共小题 共 7676 分 解答应写出文字说明 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 13 分 甲 乙 丙三人在同一办公室工作 办公室只有一部电话机 设经过该机打进的电话是打给甲 乙 丙的概率依次为 若在一段时 1 6 1 3 1 2 间内打进三个电话 且各个电话相互独立 求 这三个电话是打给同一个人的概率 这三个电话中恰有两个是打给甲的概率 解 由互斥事件有一个发生的概率公式和独立事件同时发生的概率公式 所求概率为 333 1111 6326 p 这是 n 3 p 的独立重复试验 故所求概率为 1 6 22 33 155 2 6672 PC 18 本小题满分 13 分 设函数 2 3cossincosf xxxxa 其中 且的图像在轴右侧的第一个最高点的横坐标是 0 aR f xy 6 求的值 如果在区间上的最小值为 求的值 f x 5 36 3a 解 I 3133 cos2sin2sin 2 22232 f xxxxa 依题意得 1 2 6322 II 由 I 知 又当时 3 sin 32 f xx 5 36 x 故 从而在区间 7 0 36 x 1 sin 1 23 x f x 5 36 上的最小值为 故 13 3 22 a 31 2 a 19 本小题满分 12 分 设函数的图像与直线相切于点 32 33f xxaxbx 1210 xy 1 11 求的值 a b 讨论函数的单调性 f x 解 求导得 2 363fxxaxb 由于 的图像与直线相切于点 f x1210 xy 1 11 所以 即 1 11 1 12ff 1 3a 3b 11 解得 1 3ab 3 6a 3b 12 由得 1 3ab 22 3633 23 3 1 3 fxxaxbxxxx 令 f x 0 解得 x 1 或 x 3 又令 f x 1 故 2 320ttk 上式对一切均成立 从而判别式tR 1 4 120 3 kk 22 本小题满分 12 分 如图 对每个正整数 是抛物线上的点 n nnn A xy 2 4xy 过焦点的直线交抛物线于另一点 F n FA nnn B s t 试证 4 1 nn x sn 取 并记为抛物线上分别以与为切点的两条切线的交点 2n n x n C n A n B 试证 1 12 221 nn n FCFCFC 证明 对任意固定的因为焦点 F 0 1 所以可设直线的方程为1 n nn A B 将它与抛物线方程联立得 1 n yk x 2 4xy 由一元二次方程根与系数的关系得 2 440 n xk x 4 1 nn x sn 对任意固定的利用导数知识易得抛物线在处1 n 2 4xy n A 的切线的斜率故在处的切线的方程为 2 n n A x k 2 4xy n A 2 n nn x yyxx 类似地 可求得在处的切线的方程为 2 4xy n B 2 n nn s ytxs 由 得 2222 2244 nnnnnn nn xsxsxs ytx 22 242 nnnnnn xsxsxs xx 将 代入 并注意得交点的坐标为 4 nn x s n C 1 2 nn xs 由两点间的距离公式得 22 2 2 42 244 nnnn n xsxs FC 2 2 2 422 2 422 n nn n nnn xxx FC xxx 现在 利用上述已证结论并由等比数列求和公式得 2n n x 1212 12 211 2 1111 2 2 1111 222 2 21 22 221 2222 nn n nnnnn n FCFCFCxxx xxx 2006 年普通高等学校招生全国统一考试 重庆卷 数学 文史类 编辑 ahuazi 参考公式 如果事件互斥 那么AB P ABP AP B 如果事件相互独立 那么AB P A BP AP B 如果事件在一次试验中发生的概率是 那么次独立重复试验中恰好发生次的概率 Apnk 1 kkn k nn P kC pp 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1010 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 5050 分 在每小题分 在每小题 给出的四个备选项中 只有一项是符合题目要求的 给出的四个备选项中 只有一项是符合题目要求的 1 已知集合 U 1 2 3 4 5 6 7 A 2 4 5 7 B 3 4 5 则 D AB UU A B C D 1 6 4 5 2 3 4 5 7 1 2 3 6 7 解 1 3 6 1 2 6 7 1 2 3 6 7 故选 D AB UU 2 在等差数列中 若且 的值为 D n a0 n a 37 64a a 5 a A 2 B 4 C 6 D 8 解 a3a7 a52 64 又 所以的值为 8 故选 D0 n a 5 a 3 以点 2 1 为圆心且与直线相切的圆的方程为 C 3450 xy A B 22 2 1 3xy 22 2 1 3xy C D 22 2 1 9xy 22 2 1 3xy 解 r 3 故选 C 22 3 2415 34 4 若是平面外一点 则下列命题正确的是 D P A 过只能作一条直线与平面相交 B 过可作无数条直线与平面垂直P P C 过只能作一条直线与平面平行 D 过可作无数条直线与平面平行P P 解 过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行 且这个平面内的任一条直线都与 已知平面平行 故选 D 5 的展开式中的系数为 B 5 23x 2 x A 2160 B 1080 C 1080 D 2160 解 由 5 r 2 解得 r 3 故所求 555 155 2332 rrrrrrr r TCxC x 系数为 1080 故选 B 322 5 32C 6 设函数的反函数为 且的图像过点 yf x 1 yfx 21 yfx 1 1 2 则的图像必过 C 1 yfx 1 2 A B C D 1 1 2 1 1 2 1 0 0 1 解 当 x 时 2x 1 0 即 y f x 的图象过点 0 1 所以的 1 2 1 yfx 图像必过 1 0 故选 C 7 某地区有 300 家商店 其中大型商店有 30 家 中型商店有 75 家 小型商店 有 195 家 为了掌握各商店的营业情况 要从中抽取一个容量为 20 的样本 若采用分层抽样的方法 抽取的中型商店数是 C A 2 B 3 C 5 D 13 解 各层次之比为 30 75 195 2 5 13 所抽取的中型商店数是 5 故选 C 8 已知三点 其中为常数 2 3 1 1 6 ABCk k 若 则与的夹角为 D ABAC AB AC A B 或 24 arccos 25 2 24 arccos 25 C D 或 24 arccos 252 24 arccos 25 解 由解得 k 0 或 6 当 k 0 时 与的夹角为 当ABAC AB AC 2 k 6 时 与的夹角为 故选 DAB AC 24 arccos 25 9 高三 一 班学生要安排毕业晚会的 4 个音乐节目 2 个舞蹈节目和 1 个曲艺节目 的演出顺序 要求两个舞蹈节目不连排 则不同排法的种数是 B A 1800 B 3600 C 4320 D 5040 解 不同排法的种数为 3600 故选 B 52 56 A A 10 若 则的值等于 0 2 3 cos 22 1 sin 22 cos B A B C D 3 2 1 2 1 2 3 2 解 由 则 又 0 2 24 2 22 4 所以 3 cos 22 1 sin 22 26 26 解得 所以 故选 B 3 cos 1 2 11 设是右焦点为的椭圆上三个不同的点 1122 9 4 5 A x yBC xyF 22 1 259 xy 则 成等差数列 是 的 A AFBFCF 12 8xx A 充要条件 B 必要不充分条件 C 充分不必要条件 D 既非充分也非必要 解 a 5 b 3 c 4 e F 4 0 由焦半径公式可得 AF 5 x1 4 5 4 5 BF 5 4 CF 5 x2 故成等差数列 4 5 9 5 4 5 AFBFCF 5 x1 5 x2 2 故选 A 4 5 4 5 9 5 12 8xx 12 若且 则的最小值是 A 0a b c 2 22412aabacbc abc A B 3 C 2 D 2 33 解 a b c 2 a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc 12 b c 2 12 当且仅当 b c 时取等号 故选 A 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 4 小题 每小题小题 每小题 4 4 分 共分 共 2424 分 分 把答案填写在答题卡相应位置上 把答案填写在答题卡相应位置上 13 已知 则 2 2 5 sin 5 2 tan 解 由 cos 所以 2 2 5 sin 5 2 5 5 tan 14 在数列中 若 则该数列的通项 2n 1 n a 1 1a 1 2 1 nn aan n a 解 由可得数列为公差为 2 的等差数列 又 所以 1 2 1 nn aan n a 1 1a 2n 1 n a 15 设 函数有最小值 0 1aa 2 log 23 a f xxx 则不等式的解集为 log 1 0 a x 2 解 由 函数有最小值可知 a 1 所以0 1aa 2 log 23 a f xxx 不等式可化为 x 1 1 即 x 2 log 1 0 a x 16 已知变量 满足约束条件 若目标函数 其中 xy 230 330 10 xy xy y zaxy 0a 仅在点处取得最大值 则的取值范围为 3 0 a 1 2 解 画出可行域如图所示 其中 B 3 0 C 1 1 D 0 1 若目标函数取zaxy 得最大值 必在 B C D 三点处取得 故有 3a a 1 且 3a 1 解得 a 1 2 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题 共小题 共 7676 分 解答应写出文字说明 分 解答应写出文字说明 x y x 2y 3 0 x 3y 3 0 y 1 0 D B C O 证明过程或演算步骤 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 13 分 甲 乙 丙三人在同一办公室工作 办公室只有一部电话机 设经过该机打进的电话是打给甲 乙 丙的概率依次为 若在一段时 1 6 1 3 1 2 间内打进三个电话 且各个电话相互独立 求 这三个电话是打给同一个人的概率 这三个电话中恰有两个是打给甲的概率 解 由互斥事件有一个发生的概率公式和独立事件同时发生的概率公式 所求概率为 333 1111 6326 p 这是 n 3 p 的独立重复试验 故所求概率为 1 6 22 33 155 2 6672 PC 18 本小题满分 13 分 设函数 2 3cossincosf xxxxa 其中 且的图像在轴右侧的第一个最高点的横坐标是 0 aR f xy 6 求的值 如果在区间上的最小值为 求的值 f x 5 36 3a 解 I 3133 cos2sin2sin 2 22232 f xxxxa 依题意得 1 2 6322 II 由 I 知 又当时 3 sin 32 f xx 5 36 x 故 从而在区间 7 0 36 x 1 sin 1 23 x f x 5 36 上的最小值为 故 13 3 22 a 31 2 a 19 本小题满分 12 分 设函数的图像与直线相切于点 32 33f xxaxbx 1210 xy 1 11 求的值 a b 讨论函数的单调性 f x 解 求导得 2 363fxxaxb 由于 的图像与直线相切于点 f x1210 xy 1 11 所以 即 1 11 1