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2007-2008学年第一学期期末数学分析(1)考试试题(A卷)参考答案及评分标准一、判断题（本题共10小题，每小题2分，共20分）1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 二、填空题（本题共8小题，每空2分，共20分）1. 12. 3. 4. 5. .6. 7. , 8. , .三、计算题（本题共5小题，第14小题每题5分，第5小题10分，共30分）1. 设, 试求.解 基本初等函数导数公式，有, 3分应用莱布尼兹公式（）得. 2分2. 试求由摆线方程 所确定的函数的二阶导数.解 3分 2分3. 试求到项的带佩亚诺型余项的麦克劳林公式.解 因为, 3分所以到项的带佩亚诺型余项的麦克劳林公式为. 2分4. 试求极限 .解 通分后连续使用两次洛必达法则，得 3分. 2分5. 试求函数在上的最值和极值.解 在闭区间上连续, 故必存在最大最小值. 3分 2分令,得稳定点为. 又因 故在处不可导. 列表如下不存在00递减极小值递增极大值递减极小值递增所以和为极小值点, 极小值分别为和,为极大值点, 极大值为. 3分又在端点处有, 所以函数在处取最小值,在处取最大值. 2分四、 证明题(本题共3小题，每小题10分, 共30分).1. 证明不等式证 令, ,且 3分 当时有，所以严格递增，又在处连续，所以, 3分所以严格递增, 又在处连续,所以, , 3分即 . 1分2. 设为上的连续函数，对所有，且，证明必能取到最大值. 证 由题设, 取, 由, . 4分又在上连续, 由闭区间上连续函数的最大、最小值定理知, 在能取到最大值, 4分且此最大值为在上的最大值. 2分3. 若函数在上二阶可导, 且，则存在使得.证法一： , 把在0, 1两点处分别进行泰勒展开到二阶余项, 有 , 4分上两式相减, 有.记,则有, 4分即存在使得. 2分证法二： 在上对应用拉格朗日中值定理有 ，. 3分当时，在上对应用拉格朗日中值定理有，. 3分当时，
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