随机过程_课件---第二章.doc

第二章 概率空间2.1 概率空间与随机变量1、域定义2-1 若是中一些子集组成的集类，且满足：（1）；（2）若，则；（3）若，则，则称为上的一个域或代数。并称二元组为可测空间。 注：设是某一随机试验的基本事件空间或样本空间，中的元素就是描述该试验的基本事件，即试验的可能结果。样本空间的子集称为事件。2、定理2-1设是中一些子集组成的集类，则存在唯一的的代数，它包含而且被包含的任一代数所包含。称为由生成的代数，或包含的最小代数。3、Borel集设，则集类是的子集类，式中的，。则域称为d维Borel域（代数），其元素称为Borel集。3、概率空间对于可测空间，在上定义一个非负集函数，以度量中事件发生可能性大小，它满足非负性：，对于任何事件；规范性：；可列可加性：若，且两两不交，则称为事件A的概率，称为概率空间。4、随机变量设是一可测空间，若函数使得对任意，有则称函数是关于（或上）的可测函数。在概率空间上定义的可测函数称为随机变量。5、分布函数设是定义在上的一个随机变量，令，称为随机变量的分布函数。6、定义2-2设是概率空间上的一个随机变量，对Borel集B，定义把称为的分布。7、两个重要的离散型分布（1）二项分布设，若的分布为称随机变量服从参数为的二项分布。（2）泊松分布设，若的分布为称随机变量服从参数为的泊松分布。8、三个重要的连续型分布（1）均匀分布如果连续型随机变量的分布密度为则称在区间上服从均匀分布，记为。（2）指数分布如果连续型随机变量的分布密度为则称服从参数为的指数分布。注：指数分布具有无记忆性，即若服从指数分布，则对于任意，有 。反过来，如果一个非负连续型随机变量的分布函数具有无记忆性，则它一定是指数分布。（3）正态分布如果连续型随机变量的分布密度为式中，则称服从参数为的正态分布或高斯分布，记为。2.2 随机变量的数字特征1、离散型随机变量数字特征设离散型随机变量的分布率为，则称为随机变量数学期望或均值。令 称为随机变量的方差。令 称为随机变量的阶矩。令 称为函数的数学期望。2、连续型随机变量数字特征设连续型随机变量的分布密度为，则称为随机变量数学期望或均值。令 称为随机变量的方差。令 称为随机变量的阶矩。令 称为函数的数学期望。 注：数学期望反映了随机变量取值的平均水平。方差和标准方差体现了随机变量与期望值得偏离程度。3、Chebyshev不等式设随机变量的均值为，方差为，则对于任意，不等式称为切比雪夫（Chebyshev）不等式。例2-5 对于非负值随机变量, 可以证明 式中或者有限, 或者等于.证 由分部积分公式, 有 当时, 由上式可知, 只需证明第一项等于. 事实上, 于是原式成立.当时, 由于于是原式成立2.3 随机向量及其联合分布1、n维随机变量及其数学特征设，如果其中每一个分量是一维的、取值为实数的随机变量，则称为n维随机向量。定义2-2 设为n维随机向量，则的联合概率分布定义为其中。又简称为的分布函数。设x为上非负可积函数，使得对任意，有则称为连续型随机变量，为的联合概率密度。设为随机变量的概率密度，那么其中任意分量组都存在概率密度，把它们称为的边缘密度。随机变量的协方差定义为随机变量的相关系数定义为随机变量的数学期望定义为随机变量的协方差矩阵定义为其中，2、随机事件独立和相关的定义定义2-4随机变量称为是相互独立的，如果有即事件与是互相独立的。定义2-5如果随机变量，对于任意,满足则称随机变量是相互独立的，即事件是相互独立的。3、相互独立的随机变量的性质定理2-3如果相互独立且它们的数学期望存在，则对于任何实函数，有定理2-4设为n维随机向量，设为其概率密度函数。现有n元函数，且存在唯一反函数。如果有连续偏导数，则由分量所给定的n维随机向量的概率密度函数为其中，。而且J为坐标变换的雅可比矩阵为坐标变换的雅可比行列式。2.4 条件数学期望1、离散型随机变量的条件数学期望设为离散型随机变量，对一切使成立的，给定时，随机变量的条件分布函数定义为设随机变量可能的取值为，离散型条件数学期望定义为2、连续型随机变量的条件数学期望设为连续型随机变量，对一切使成立的，给定时，随机变量的条件概率密度定义为给定时，随机变量的条件分布函数定义为连续型条件数学期望定义为用表示随机变量的函数，它在时，取值为.下面介绍随机变量的基本性质.（1）和是两个随机变量，是常数，则（2）随机变量和的数学期望相等，即 （2-21）（3）当和相互独立时， （2-22） 下面仅对，为离散型随机变量的情况给出式（2-21）和式（2-22）的证明.若可能的取值为， ，此时式（2-21）可写成 （2-23）证 设，为离散随机变量，再根据式（2-19），式（2-23）右边可写成所以式（2-23）成立.2.5 矩母函数和特征函数1、矩母函数定义2-6设是上实随机变量，的矩母函数（概率母函数）定义为：对于任意，且当时，有， 2、特征函数定义2-7设是上实随机变量，的特征函数定义为：对于任意，式中，是虚数单位，3、特征函数性质（1），对任意；（2）在上一致连续，即当时，有（3），对任意；（4），对任意；（5）若互相独立，则，对任意4、常见分布的特征函数两点分布 二项分布 泊松分布 均匀分