九年级数学上《圆周角》专项练习

1 垂径定理和垂径定理和圆周角专题圆周角专题 一 知识梳理一 知识梳理 1 1 圆心角与圆周角的关系圆心角与圆周角的关系 同圆或等圆中 同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的国心角 的一半 例 1 如图 A 是 O 的圆周角 且 A 35 则 OBC 例 2 如图 圆心角 AOB 100 则 ACB 例 3 2007 威海 如图 是 O 的直径 点都在 O 上 若ABCDE 则 CDE AB 例 4 2007 常德 如图 2 O 的直径过弦的中点 则CDEFG40EOD DCF 2 2 圆周角定理圆周角定理 直径所对的圆周角是直角 反过来 90 的圆周角所对的弦是直径 例 5 已知 如图 AD 是 O 的直径 ABC 30 则 CAD D C B A O 例 6 2007 南京 已知 O 中 则 O 的半径为 30C 2cmAB cm B O C A O A B C 例 4 AB C DE O EF C D G O 例 5 B O C A 2 例 7 2006 青岛 某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂 维修人员为更换管道 需确 定管道圆形截面的半径 下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面 1 请你补全这个输水管道的圆形截面 2 若这个输水管道有水部分的水面宽 AB 16cm 水面最深地方的高度为 4cm 求这个圆形 截面的半径 二 巩固练习二 巩固练习 1 2007 浙江温州 如图 已知是 O 的圆周角 则圆心角ACB 50ACB 是 AOB A B C D 40 50 80 100 2 2007 四川宜宾 已知 如图 四边形 ABCD 是 O 的内接正方形 点 P 是劣弧上不同 CD 于点 C 的任意一点 则 BPC 的度数是 A 45 B 60 C 75 D 90 3 2006 陕西省 ABC 中 A 30 B 60 AC 6 则 ABC 外接圆的半径为 A B C D 332333 4 圆的弦长与它的半径相等 那么这条弦所对的圆周角的度数是 A 30 B 150 C 30 或 150 D 60 5 2007 上海 小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了 其中四块碎片如图 5 所示 为配到与原 来大小一样的圆形玻璃 小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是 A 第 块B 第 块 C 第 块D 第 块 6 2008 山东德州 如图所示 AB 是 O 的直径 AD DE AE 与 BD 交于点 C 则图 中与 BCE 相等的角有 A 2 个 B 3 个 C 4 个 D 5 个 7 2008 浙江台州 下列命题中 正确的是 P O D C B A B E D A C O 3 顶点在圆周上的角是圆周角 圆周角的度数等于圆心角度数的一半 的圆周角90 所对的弦是直径 不在同一条直线上的三个点确定一个圆 同弧所对的圆周角相等 A B C D 8 2008 南京 如图 O 是等边三角形的外接圆 O 的半径为 2 ABC 则等边三角形的边长为 ABC A B C D 352 32 5 9 2006 盐城市 已知四边形 ABCD 内接于 O 且 A C 1 2 则 BOD 10 2007 山东枣庄 如图 ABC内接于 O BAC 120 AB AC BD为 O的直径 AD 6 则BC 11 2008 南京 如图 有一圆形展厅 在其圆形边缘上的点处安装了一台监视器 它A 的监控角度是 为了监控整个展厅 最少需在圆形边缘上共安装这样的监视器 65 台 12 2008 龙岩 如图 量角器外沿上有 A B 两点 它们的读数分别是 70 40 则 1 的度数为 13 2008 海南 如图 AB 是 O 的直径 点 C 在 O 上 BAC 30 点 P 在线段 OB 上运动 设 ACP x 则 x 的取值范围是 14 2008 庆阳 图中外接圆的圆心坐标是 ABC 15 2007 山东济宁 如图所示 小华从一个圆形场地的 A 点出发 沿着与半径 OA 夹角 为 的方向行走 走到场地边缘 B 后 再沿着与半径 OB 夹角为 的方向折向行走 按照 这种方式 小华第五次走到场地边缘时处于弧 AB 上 此时 AOE 56 则 的度数是 16 2007 沈阳 如图 已知 A B C D 是 O 上的四个点 AB BC BD 交 AC 于点 E 连接 CD AD 第 8 题 A BC O 第 11 题 A 65 O AB O C x P 4 1 求证 DB 平分 ADC 2 若 BE 3 ED 6 求 AB 的长 第 16 题图 17 2008 广东湛江 如图所示 已知 AB 为 O 的直径 CD 是弦 且 AB CD 于点 E 连接 AC OC BC 1 求证 ACO BCD 2 若 EB 8cm CD 24cm 求 O 的直径 18 2008 陕西 如图 在 Rt ABC 中 ACB 90 AC 5 CB 12 AD 是 ABC 的角 平分线 过 A C D 三点的圆与斜边 AB 交于点 E 连接 DE 1 求证 AC AE 2 求 ACD 外接圆的半径 1 2011 牡丹江 已知 0 的直径 AB 40 弦 CD AB 于点 E 且 CD 32 则 AE 的长为 A 12B 8 C 12 或 28D 8 或 32 2 2011 绍兴 如图 AB 为 O 的直径 点 C 在 O 上 若 C 16 则 BOC 的度数 是 A 74 B 48 C 32 D 16 1 如图 1 O 的直径为 10 圆心 O 到弦 AB 的距离 OM 的长为 3 那么弦 AB 的长是 E D B A O C A C B D E 5 A 4 B 6 C 7 D 8 答案 D 2 如图 O 的半径为 5 弦 AB 的长为 8 M 是弦 AB 上的一个动点 则线段 OM 长的 最小值为 A 2 B 3 C 4 D 5 答案 B 3 过 O 内一点 M 的最长弦为 10 cm 最短弦长为 8cm 则 OM 的长为 A 9cm B 6cm C 3cm D cm41 答案 C 4 如图 小明同学设计了一个测量圆直径的工具 标有刻度的尺子 OA OB 在 O 点钉 在一起 并使它们保持垂直 在测直径时 把 O 点靠在圆周上 读得刻度 OE 8 个单位 OF 6 个单位 则圆的直径为 A 12 个单位 B 10 个单位 C 1 个单位 D 15 个单位 答案 B 5 如图 的直径垂直弦于 且是半径的中点 O ABCDPPOB6cmCD 则直径的长是 AB A B C D 2 3cm3 2cm4 2cm4 3cm 答案 D 6 下列命题中 正确的是 A 平分一条直径的弦必垂直于这条直径 6 B 平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C 弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心 D 在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心 答案 D 7 如图 某公园的一座石拱桥是圆弧形 劣弧 其跨度为 24 米 拱的半径为 13 米 则拱高为 A 5 米 B 8 米 C 7 米 D 5米 3 答案 B 8 O 的半径为 5cm 弦 AB CD 且 AB 8cm CD 6cm 则 AB 与 CD 之间的距离为 A 1 cm B 7cm C 3 cm 或 4 cm D 1cm 或 7cm 答案 D 9 已知等腰 ABC 的三个顶点都在半径为 5 的 O 上 如果底边 BC 的长为 8 那么 BC 边上的高为 A 2 B 8 C 2 或 8 D 3 答案 C 二 填空题 1 已知 AB 是 O 的弦 AB 8cm OC AB 与 C OC 3cm 则 O 的半径为 cm 答案 5 cm 2 在直径为 10cm 的圆中 弦AB的长为 8cm 则它的弦心距为 cm 答案 3 cm 3 在半径为 10 的圆中有一条长为 16 的弦 那么这条弦的弦心距等于 答案 6 4 已知 AB 是 O 的弦 AB 8cm OC AB 与 C OC 3cm 则 O 的半径为 cm 答案 5 cm 5 如图 O 的直径 AB 垂直于弦 CD 垂足为 E 若 COD 120 OE 3 厘米 则 CD 厘米 O 图 4 E DC B A 答案 cm6 3 7 6 半径为 6cm 的圆中 垂直平分半径 OA 的弦长为 cm 答案 cm6 3 7 过 O 内一点 M 的最长的弦长为 最短的弦长为 则 OM 的长等于 cm 6cm4cm 答案 5 8 已知 AB 是 O 的直径 弦 CD AB E 为垂足 CD 8 OE 1 则 AB 答案 2 17 9 如图 AB 为 O 的弦 O 的半径为 5 OC AB 于点 D 交 O 于点 C 且 CD l 则弦 AB 的长是 答案 6 10 某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示 已知 AB 16m 半径 OA 10m 则 中间柱 CD 的高度为 m 答案 4 11 如图 在直角坐标系中 以点 P 为圆心的圆弧与轴交于 A B 两点 已知 P 4 2 和 A 2 0 则点 B 的坐标是 B A P O y x 答案 6 0 12 如图 AB 是 O 的直径 OD AC 于点 D BC 6cm 则 OD cm 答案 3 13 如图 矩形 ABCD 与圆心在 AB 上的圆 O 交于点 G B F E GB 10 EF 8 那么 8 AD 答案 3 14 如图 O 的半径是 5cm P 是 O 外一点 PO 8cm P 30 则 AB cm P B A O 答案 6 15 O 的半径为 13 cm 弦 AB CD AB 24cm CD 10cm 那么 AB 和 CD 的距离 是 Cm 答案 7cm 或 17cm 16 已知 AB 是圆 O 的弦 半径 OC 垂直 AB 交 AB 于 D 若 AB 8 CD 2 则圆的半 径为 答案 5 17 一个圆弧形门拱的拱高为 1 米 跨度为 4 米 那么这个门拱的半径为 米 答案 5 2 18 在直径为 10 厘米的圆中 两条分别为 6 厘米和 8 厘米的平行弦之间的距离是 厘米 答案 7 或 1 19 如图 是一个隧道的截面 如果路面宽为 8 米 净高为 8 米 那么这ABCD 个 隧道所在圆的半径是 米OA 9 O D AB C 答案 5 20 如图 AB 为半圆直径 O 为圆心 C 为半圆上一点 E 是弧 AC 的中点 OE 交弦 AC 于点 D 若 AC 8cm DE 2cm 则 OD 的长为 cm 答案 3 21 已知等腰 ABC 的三个顶点都在半径为 5 的 O 上 如果底边 BC 的长为 8 那 么 BC 边上的高为 答案 8 或 2 22 如图 将半径为的圆形纸片折叠后 圆弧恰好经过圆心 则折痕2cmO 的长为 AB 答案 2 3 23 如图 O 的的半径为 5 直径 AB 弦 CD 垂足为 E CD 6 那么 B 的余切 值 为 答案 3 三 解答题 1 已知 O 的弦 AB 长为 10 半径长 R 为 7 OC 是弦 AB 的弦心距 求 OC 的长 答案 2 6 2 已知 O 的半径长为 50cm 弦 AB 长 50cm 求 1 点 O 到 AB 的距离 2 AOB 的大小 10 答案 1 2 25 3 0 60 3 如图 直径是 50cm 圆柱形油槽装入油后 油深 CD 为 15cm 求油面宽度 AB D O B C A 答案 40 4 如图 已知 O 的半径长为 R 5 弦 AB 与弦 CD 平行 他们之间距离为 7 AB 6 求 弦 CD 的长 O C A D B 答案 8 5 如图 已知 AB 是 O 的直径 CD AB 垂足为点 E 如果 BE OE AB 12m 求 ACD 的周长 O C D AB E 答案 18 3 6 如图 已知 C 是弧 AB 的中点 OC 交弦 AB 于点 D AOB 120 AD 8 求 OA 的 长 O D A C B 11 答案 16 3 3 7 已知 如图 AD 是 O 的直径 BC 是 O 的弦 AD BC 垂足为点 E BC 8 AD 10 求 1 OE 的长 2 B 的正弦值 A BC D E O 答案 1 3 2 2 5 5 8 如图所示 破残的圆形轮片上 弦 AB 的垂直平分线交弧 AB 于点 C 交弦 AB 于 点 D 已知 AB 24cm CD 8cm 1 求作此残片所在的圆 不写作法 保留作图痕迹 2 求 1 中所作圆的半径 A C D B 答案 1 略 2 13 9 如图 O 是 ABC 的外接圆 圆心 O 在这个三角形的高 AD 上 AB 10 BC 12 求 O 的半径 答案 25 4 10 如图 已知 O 的半径长为 25 弦 AB 长为 48 C 是弧 AB 的中点 求 AC 的长 12 C A B O 答案 30 11 1300 多年前 我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形 它的跨度 弧所对 的弦长 为 37 4 米 拱高 弧的中点到弦的距离 也叫拱形高 为 7 2 米 求桥拱的半径 精确到 0 1 米 答案 27 9 12 已知 在 ABC 中 AB AC 10 BC 16 求 ABC 的外接圆的半径 答案 25 3 13 本市新建的滴水湖是圆形人工湖 为测量该湖的半径 小杰和小丽沿湖边选取 A B C 三根木柱 使得 A B 之间的距离与 A C 之间的距离相等 并测得 BC 长为 240 米 A 到 BC 的距离为 5 米 如图 5 所示 请你帮他们求出滴水湖的半径 答案 1442 5 13 14 如图是地下排水管的截面图 圆形 小敏为了计算地下排水管的直径 在圆形 弧上取了 两点并连接 在劣弧上取中点连接 经测量米 A BABABCCB 4 5 BC 根据这些数据请你计算出地下排水管的直径 87 36 ABC 87 36sin60 0 87 36cos80 0 87 36tan75 0 C A B 答案 25 12 15 一根横截面为圆形的下水管道的直径为 1 米 管内有少量的污水 如图 此时 的水面宽 AB 为 0 6 米 1 求此时的水深 即阴影部分的弓形高 2 当水位上升到水面宽为 0 8 米时 求水面上升的高度 AB O 答案 1 0 1 2 0 1 或 0 7 16 已知 如图 是的直径 是上一点 CD AB 垂足为点 ABOACOAD 是 的中点 与相交于点 8 cm cm F A ACOFACEAC 2EF 1 求的长 AO 2 求的值 sinC A BC D O E F 14 答案 1 5 2 4 5 17 如图 在半径为 1 米 圆心角为 60 的扇形中有一内接正方形 CDEF 求正方 形 CDEF 面积 答案 23 四 证明题 1 如图 AB 是 O 的弦 非直径 C D 是 AB 上的两点 并且 AC BD 求证 OC OD 答案 略 2 如图 是 的弦 点 D 是弧 AB 中点 过 B 作 AB 的垂线交 AD 的延长线于ABO C 求证 AD DC B A D C O 答案 略 3 已知 如图所示 是两个同心圆 大圆的弦 AB 交小圆于 CD 求证 AC BD 答案 略 4 如图 AB CD 是 O 的弦 且 AB CD OM AB ON CD 垂足分别是点 M N 15 BA DC 的延长线交于点 P 求证 PA PC 答案 略 5 已知 如图 点 P 是 O 外的一点 PB 与 O 相交于点 A B PD 与 O 相交于 C D AB CD 求证 1 PO 平分 BPD 2 PA PC O P B A C D 答案 略 6 已知 如图所示 点 P 是 O 外的一点 PB 与 O 相交于点 A B PD 与 O 相 交于 C D AB CD 求证 1 PA PC 2 A A AEEC O D C P A B 答案 略 五 作图题 1 已知弧 AB 用直尺和圆规平分这条弧 AB 16 九上专项练习参考答案 圆周角 一 知识梳理一 知识梳理 例 1 例 2 55 例 3 130 例 4 135 例 5 20 例 6 60 例 7 2 例 8 例 9 5 2 例 10 17 二 巩固练习二 巩固练习 1 D 2 A 3 A 4 C 5 B 6 D 7 B 8 C 9 120 10 6 11 3 12 15 13 30 x 90 14 5 2 15 52 16 1 证明 AB BC AA ABBC BDC ADB DB 平分 ADC 2 解 由 1 可知 BAC ADB AA ABBC AB