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13.2函数的极值与导数1极值点与极值(1)极小值与极小值点如图,若a为极小值点,f(a)为极小值,则必须满足:f(a)f(x0),f(x0)表示f(x)在xa附近的函数值;f(a)0;在xa附近的左侧,f(x)0,函数单调递增(2)极大值与极大值点如图,若b为极大值点,f(b)为极大值,则必须满足:f(b)f(x0),f(x0)表示f(x)在xb附近的函数值;f(b)0;在xb附近的左侧,f(x)0,函数单调递增;在xb附近的右侧,f(x)0,右侧f(x)0,那么,f(x0)是极大值(2)如果在x0附近的左侧f(x)0,那么,f(x0)是极小值(3)如果f(x)在x0两侧的符号相同,则x0不是极值点函数极值点的两种情况(1)若点x0是可导函数f(x)的极值点,则f(x0)0,反过来不一定成立(2)函数的不可导点也可能是函数的极值点,如:y|x|在x0处不可导,但x0是函数的极小值点,因此,函数取极值点只可能为f(x)0的根或不可导点两种情况1判一判(正确的打“”,错误的打“”)(1)函数f(x)x3ax2x1必有2个极值()(2)在可导函数的极值点处,切线与x轴平行或重合()(3)函数f(x)有极值()答案(1)(2)(3)2做一做(1)函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内极大值点的个数为_(2)函数f(x)ax3x1有极值的充要条件是_(3)已知函数f(x)x22ln x,则f(x)的极小值是_答案(1)2(2)a0)解(1)函数f(x)3ln x的定义域为(0,),f(x),令f(x)0得x1.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x(0,1)1(1,)f(x)0f(x)极小值3因此当x1时,f(x)有极小值,并且f(1)3.(2)由f(x)x33x22得f(x)3x(x2),令f(x)0得x0或x2.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x(,0)0(0,2)2(2,)f(x)00f(x)极大值极小值由此可得:当0a1时,f(x)在(a1,a1)内有极大值f(0)2,无极小值;当a1时,f(x)在(a1,a1)内无极值;当1a3时,f(x)在(a1,a1)内有极小值f(2)6,无极大值;当a3时,f(x)在(a1,a1)内无极值综上得,当0a1时,f(x)有极大值2,无极小值;当1a0改为a0,结果会怎样?解由例1(2)中表可得:当1a0时,f(x)在(a1,a1)内有极大值f(0)2,无极小值当a1时,f(x)在(a1,a1)内无极值综上得,当1a0,右侧f(x)0,那么f(x0)是极大值;(2)如果在x0附近的左侧f(x)0,那么f(x0)是极小值注意:如果在x0附近的两侧f(x)符号相同,则x0不是函数f(x)的极值点例如,对于函数f(x)x3,我们有f(x)3x2.虽然f(0)0,但由于无论是x0,还是x0,即函数f(x)x3是单调递增的,所以x0不是函数f(x)x3的极值点一般地,函数yf(x)在一点的导数值为0是函数yf(x)在这点取极值的必要条件,而非充分条件【跟踪训练1】求下列函数的极值(1)f(x)2;(2)f(x)x2ex.解(1)函数的定义域为R.f(x).令f(x)0,得x1或x1.当x变化时,f(x),f(x)变化情况如下表:由上表可以看出,当x1时,函数有极小值,且极小值为f(1)3;当x1时,函数有极大值,且极大值为f(1)1.(2)函数的定义域为R.f(x)2xexx2exx(2x)ex.令f(x)0,得x0或x2.当x变化时,f(x),f(x)变化情况如下表:由上表可以看出,当x0时,函数有极小值,且f(0)0;当x2时,函数有极大值,且f(2).探究已知函数的极值求参数例2已知f(x)x33ax2bxa2在x1时有极值0,求常数a,b的值解因为f(x)在x1时有极值0,且f(x)3x26axb,所以即解得或当a1,b3时,f(x)3x26x33(x1)20,所以f(x)在R上为增函数,无极值,故舍去当a2,b9时,f(x)3x212x93(x1)(x3),当x(,3)时,f(x)为增函数;当x(3,1)时,f(x)为减函数;当x(1,)时,f(x)为增函数;所以f(x)在x1时取得极小值所以a2,b9.拓展提升已知函数极值情况,逆向应用确定函数的解析式,研究函数性质时,应注意两点:(1)常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组,利用待定系数法求解(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性【跟踪训练2】已知f(x)x3ax2bxc,f(x)在点x0处取得极值,并且在单调区间0,2和4,5上具有相反的单调性(1)求实数b的值;(2)求实数a的取值范围解(1)因为f(x)3x22axb,f(x)在点x0处取得极值,所以f(0)0,解得b0.(2)令f(x)0,即3x22ax0,解得x0或xa依题意有a0.又函数在单调区间0,2和4,5上具有相反的单调性,所以必有2a4,解得6a3.探究利用极值判断方程根的个数例3已知曲线f(x)x33x29xa与x轴只有一个交点,求实数a的取值范围解f(x)3x26x9.令f(x)0,解得x11,x23.列表:x(,1)1(1,3)3(3,)f(x)00f(x)极小值极大值所以当x1时,f(x)有极小值f(1)a5;当x3时,f(x)有极大值f(3)a27.画出大致图象,要使f(x)的图象与x轴只有一个交点,只需极大值小于0(如图1)或极小值大于0(如图2)所以a50或a275或a5或a或x0;当x时,f(x)0.所以f(x)的单调递增区间为(,)和(,);单调减区间为(,)当x时,f(x)有极大值54;当x时,f(x)有极小值54.(2)由(1)的分析知yf(x)的图象的大致形状及走向如右图所示,当54a0,在(1,5)上f(x)0,所以f(x)极大值f(1)10,f(x)极小值f(5)98.4函数yxex在其极值点处的切线方程为_答案y解析由题知yexxex,令y0,解得x1,代入函数解析式可得极值点的坐标为,又极值点处的切线为平行于x轴的直线,故方程为y.5已知函数f(x)x33xa(a为实数),若方程f(x)0有三个不同实根,求实数a的取值范围解令f(x)3x233(x1)(x1)0,解得x11,x21
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