高中数学第一章导数及其应用1.3导数在研究函数中的应用1.3.2函数的极值与导数讲义新人教A版.docx

13.2函数的极值与导数1极值点与极值(1)极小值与极小值点如图，若a为极小值点，f(a)为极小值，则必须满足：f(a)f(x0)，f(x0)表示f(x)在xa附近的函数值；f(a)0；在xa附近的左侧，f(x)0，函数单调递增(2)极大值与极大值点如图，若b为极大值点，f(b)为极大值，则必须满足：f(b)f(x0)，f(x0)表示f(x)在xb附近的函数值；f(b)0；在xb附近的左侧，f(x)0，函数单调递增；在xb附近的右侧，f(x)0，右侧f(x)0，那么，f(x0)是极大值(2)如果在x0附近的左侧f(x)0，那么，f(x0)是极小值(3)如果f(x)在x0两侧的符号相同，则x0不是极值点函数极值点的两种情况(1)若点x0是可导函数f(x)的极值点，则f(x0)0，反过来不一定成立(2)函数的不可导点也可能是函数的极值点，如：y|x|在x0处不可导，但x0是函数的极小值点，因此，函数取极值点只可能为f(x)0的根或不可导点两种情况1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数f(x)x3ax2x1必有2个极值()(2)在可导函数的极值点处，切线与x轴平行或重合()(3)函数f(x)有极值()答案(1)(2)(3)2做一做(1)函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内极大值点的个数为_(2)函数f(x)ax3x1有极值的充要条件是_(3)已知函数f(x)x22ln x，则f(x)的极小值是_答案(1)2(2)a0)解(1)函数f(x)3ln x的定义域为(0，)，f(x)，令f(x)0得x1.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0,1)1(1，)f(x)0f(x)极小值3因此当x1时，f(x)有极小值，并且f(1)3.(2)由f(x)x33x22得f(x)3x(x2)，令f(x)0得x0或x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，0)0(0,2)2(2，)f(x)00f(x)极大值极小值由此可得：当0a1时，f(x)在(a1，a1)内有极大值f(0)2，无极小值；当a1时，f(x)在(a1，a1)内无极值；当1a3时，f(x)在(a1，a1)内有极小值f(2)6，无极大值；当a3时，f(x)在(a1，a1)内无极值综上得，当0a1时，f(x)有极大值2，无极小值；当1a0改为a0，结果会怎样？解由例1(2)中表可得：当1a0时，f(x)在(a1，a1)内有极大值f(0)2，无极小值当a1时，f(x)在(a1，a1)内无极值综上得，当1a0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值；(2)如果在x0附近的左侧f(x)0，那么f(x0)是极小值注意：如果在x0附近的两侧f(x)符号相同，则x0不是函数f(x)的极值点例如，对于函数f(x)x3，我们有f(x)3x2.虽然f(0)0，但由于无论是x0，还是x0，即函数f(x)x3是单调递增的，所以x0不是函数f(x)x3的极值点一般地，函数yf(x)在一点的导数值为0是函数yf(x)在这点取极值的必要条件，而非充分条件【跟踪训练1】求下列函数的极值(1)f(x)2；(2)f(x)x2ex.解(1)函数的定义域为R.f(x).令f(x)0，得x1或x1.当x变化时，f(x)，f(x)变化情况如下表：由上表可以看出，当x1时，函数有极小值，且极小值为f(1)3；当x1时，函数有极大值，且极大值为f(1)1.(2)函数的定义域为R.f(x)2xexx2exx(2x)ex.令f(x)0，得x0或x2.当x变化时，f(x)，f(x)变化情况如下表：由上表可以看出，当x0时，函数有极小值，且f(0)0；当x2时，函数有极大值，且f(2).探究已知函数的极值求参数例2已知f(x)x33ax2bxa2在x1时有极值0，求常数a，b的值解因为f(x)在x1时有极值0，且f(x)3x26axb，所以即解得或当a1，b3时，f(x)3x26x33(x1)20，所以f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去当a2，b9时，f(x)3x212x93(x1)(x3)，当x(，3)时，f(x)为增函数；当x(3，1)时，f(x)为减函数；当x(1，)时，f(x)为增函数；所以f(x)在x1时取得极小值所以a2，b9.拓展提升已知函数极值情况，逆向应用确定函数的解析式，研究函数性质时，应注意两点：(1)常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性【跟踪训练2】已知f(x)x3ax2bxc，f(x)在点x0处取得极值，并且在单调区间0,2和4,5上具有相反的单调性(1)求实数b的值；(2)求实数a的取值范围解(1)因为f(x)3x22axb，f(x)在点x0处取得极值，所以f(0)0，解得b0.(2)令f(x)0，即3x22ax0，解得x0或xa依题意有a0.又函数在单调区间0,2和4,5上具有相反的单调性，所以必有2a4，解得6a3.探究利用极值判断方程根的个数例3已知曲线f(x)x33x29xa与x轴只有一个交点，求实数a的取值范围解f(x)3x26x9.令f(x)0，解得x11，x23.列表：x(，1)1(1,3)3(3，)f(x)00f(x)极小值极大值所以当x1时，f(x)有极小值f(1)a5；当x3时，f(x)有极大值f(3)a27.画出大致图象，要使f(x)的图象与x轴只有一个交点，只需极大值小于0(如图1)或极小值大于0(如图2)所以a50或a275或a5或a或x0；当x时，f(x)0.所以f(x)的单调递增区间为(，)和(，)；单调减区间为(，)当x时，f(x)有极大值54；当x时，f(x)有极小值54.(2)由(1)的分析知yf(x)的图象的大致形状及走向如右图所示，当54a0，在(1,5)上f(x)0，所以f(x)极大值f(1)10，f(x)极小值f(5)98.4函数yxex在其极值点处的切线方程为_答案y解析由题知yexxex，令y0，解得x1，代入函数解析式可得极值点的坐标为，又极值点处的切线为平行于x轴的直线，故方程为y.5已知函数f(x)x33xa(a为实数)，若方程f(x)0有三个不同实根，求实数a的取值范围解令f(x)3x233(x1)(x1)0，解得x11，x21