二元一次方程组与几何图形问题.doc

七年级数学（人教版）第八章第三节再探实际问题与二元一次方程组第四课时二元一次方程组与几何图形问题授课人：陈 辉一、教学目标1、知识与技能目标（1）、使学生会列二元一次方程组解有关“长方形拼图”类的应用题；（2）、够找出实际问题中的已知数与未知数，分析它们之间的数量关系，列出方程组；(3)、能够了解一元一次方程与二元一次方程的区别和联系，体会二元一次方程组的优越性.2、过程与方法目标（1）、用方程组解决实际问题的过程，体会方程组是刻画显示世界中喊有多个未知数的问题的有效数学模型，培养学生应用数学的意识；（2）、加强列方程组的技能训练，初步体会列方程解决实际问题的一般步骤.3、情感态度与价值观（1）、培养学生分析、解决问题能力的同时，体会二元一次方程组的应用价值，从而感受数学文化及其实用性，提高学生学习数学的兴趣和热情；（2）、在探讨解决问题的过程中，敢于发表个人见解，学会与他人平等交流沟通，学会倾听和理解他人的看法.二、教学重点阅读理解，让学生经历和体验把实际问题转化为二元一次方程组的过程，以方程组为工具分析解决含有多个未知数的实际问题三、教学难点寻找图形中的隐含信息，把实际问题转化为二元一次方程组，确定解题的策略四、教具准备投影片3张，长方形卡片若干，纸制无盖长方体两个.五、课时安排此为第八章第三节再探实际问题与二元一次方程组共安排四课时中的第四课时（拓展探索专题活动课）六、教学过程（一）、复习回顾，创设问题情境，导入新课师：以前我们主要学习了二元一次方程、二元一次方程组的定义，二元一次方程组的解法：代入消元法和加减消元法，这两种方法都是利用消元的思想，都算消元法.今天我们就来学习怎么用二元一次方程组来解决实际问题.大家都有看到过装修工人铺瓷砖，如果你细心观察就会发现其中蕴含的数学知识.比如：用4块大小相同的长方形瓷砖正好能铺成完整的一个大长方形（如图），如果告诉你大长方形的宽为40cm,你能用所学过的知识求出小长方形的长与宽吗？(学生通过四人小组活动，观察分析，仔细审题，纷纷讲述了自己的方法) 教师可以启发学生思考下面的问题：(1) 这个铺瓷砖问题中，要我们求的量有几个?(2)这个实际问题中有哪些等量关系?(3)怎样设未知数?可以列出几个方程?通过师生共同归纳得出：图1长+宽=40cm， 长=3倍的宽.教师引导学生用列一元一次方程和列二元一次方程组两种不同方法求解，并比较两种解法的繁简.学生可得出下列方法：方法：可以设宽为cm，则长为cm，可根据长+宽=40cm，得方程+=40，解得10,所以30.方法：可以设长为，则宽为，可根据长+宽=40cm，得方程+=40，解得y=30 所以10.方法：设宽为cm，长为cm，由题意可列方程组解得(4)列二元一次方程组求解，有什么优点?师生共同总结：当问题中所求的未知数有两个时，用两个字母来表示未知数往往比较容易列出方程.注意的是必须寻找两个等量关系，列出两个不同的方程，组成二元一次方程组(这里不同的方程的真实含义是不等价的方程，但对学生不讲述不等价的概念)如果当两个未知量之间的数量关系比较复杂隐蔽时，直接列一元次方程就比较困难，这时列方程组解就显得优越.变式一：若将图中的条件40cm改为大长方形的周长为140cm呢？（要求学生动手列方程组）变式二：若将图中条件40cm改为大长方形的面积为48，求每小块小长方形的长与宽分别为多少.（要求列方程组 ,解法不要求）（二）、试一试师：甲同学从一堆同规格的小长形卡片中拿出块恰好拼出如图那样的大长方形，乙同学从另一堆同规格的小长方形中也拿出块拼出了如图那样的大长方形.问甲乙两位同学拼图所用的小长方形大小一样吗？图3图2（老师分析后，由第一、二组学生完成图，第三、四组学生完成图，并派学生板书，讲解.）图的解：设小长方形的宽为，长为，由图可列得方程组为：，解得.由图可列得方程组为：，解得从而可知，甲乙两位同学拼图所用的小长方形大小不一样.（三）、延伸若用长为，宽为的相同的8块小长方形拼成一个大正方形（如图4），且图中阴影部分为边长为2cm的小正方形.则可列关于的二元一次方程组为：.分析提问： 1）、大正方形的边长为cm. ( 用表示)2）、小正方形的边长等于 cm.( 用表示)（老师分析完题意后，由学生动手找等量关系，图4列方程组）.（四）、由二维的拼图问题向三维的拼图问题拓展例：现有100张大长形和150张小长方形两种纸板，并且大长形可以从中间某处折出一个正方形，而且剩下的部分正好是一个与小长方形纸板相同规格的长方形（如图4）.用这两种纸板做成如图5的竖式和横式两种无盖纸盒（纸板不能重叠），问两种纸盒各做多少个，恰好将纸板用完？图4图5师：这里有做好的竖式纸盒与横式纸盒模型以及它们的展开图各一个，请大家观察，小组讨论，并填写下表：x只竖式纸盒y只横式纸盒合计大长方形纸板的张数100小长方形纸板的张数150通过学生观察、思考、我们可以得到什么等量关系？两种纸盒所用大长方形纸板的张数的和100(张)，两种纸盒所用小方形纸板的张数的和150(张)解：设做竖式纸盒x个，横式纸盒y个根据题意， 解得 经检验，这个解满足方程组，且符合题意答：做竖式纸盒40个，横式纸盒30个，恰好将库存的纸板用完引申：如果有大长方形纸板101张，小长方形纸板150张，那么能否做成若干只两种纸盒后，恰好把纸板用完?说明理由解：设做竖式纸盒x个，横式纸盒y个，根据题意，得解得可见x，y不是自然数，不符合题意所以不能做成若干只纸盒，恰好把纸板用完.这里提醒学生注意：必须检验所求出的未知量的值是否符合实际意义通过上面的例题，师生共同归纳应用二元一次方程组解决实际问题的基本步骤：(1)理解问题(审题，搞清已知和未知，分析数量关系)这时要明确问题中的已知量是什么，未知量是什么根据问题的不同，用“列表”“图示”“语言式子”揭示出问题中已知量和未知量之间的直接关系或间接的等量关系(2)制订计划(考虑如何根据等量关系设元，列出方程组)设未知数的方法有两种：一种是设直接未知数，就是把问题中要求的未知量用x，y等表示；另一种是间接设未知数，就是把与问题中要求的未知量相关的另一些未知量用x，y的代数式表示哪一种设法便于列出方程组就选用哪一种在列方程组时，根据所设的未知数、已知量和未知量之间的等量关系列出方程组要注意的是：方程组中每个方程之间应不等价；方程的个数和未知数的个数相等；方程两边所表示的量相同（3）执行计划(列出方程组并求解，得到答案)解方程组时，应根据所列方程的特点选择最简便的方法求出方程组的解（4）回顾(检查和反思解题过程，检验答案的正确性以及是否符合题意)所设的未知数常常受到某些条件的限制，因此，要检验并判断方程的解是否符合题意，最后写出答案思考题：如果例题中不是用折，而是把正方形剪出来，做这两种纸盒，情况又如何？（五）、小结要求学生通过这节课题的学习，谈谈自己的体会和收获学生回答，教师整理、在求解问题时所列方程越简单越好、如果题中有两个未知数，两个未知量之间的数量关系比较复杂隐蔽时，直接列一元次方程就比较困难，这时找两个等量关系列二元一次方程组解就显得比较简单.、解复杂的应用题时，可以列表帮助理清各个数量以便于找等量关系.、应用二元一次方程组解决实际问题的基本步骤有：审题、解设未知数、找等量关系、列方程组、解方程组、检验并作答.七、作业布置、一个长方形，它的长减少4cm，宽增加2cm，所得的是一个正方形，它的面积与长方形的面积相等，求原长方形的长与宽.、六个一样大小的矩形如图所示，如果大矩形的周长为32cm，阴影部分的周长为8cm，那么小矩形的周长是多少？3、课本P102 第4题第题图八、板书设计二元一次方程组与几何图形问题一、利用二元一次方程组解拼图中小长方形的长和宽二、动手试一试三、拓展范例四、小结五、作业布置教学反思： 本教案本来打算在新课引入之前稍微复习一下二元一次方程组的相关内容，但考虑到这些内容已复习强调多次，再加上本课时排在本章最后面，故实际实施过程中省去了复习回顾节，增加了实际生活中拍摄回来的小长方形拼图图案的欣赏环节，直接调动起学生学习的兴趣和积极性，更培养了学生对数学的人文修养，也更加认识到数学与实际生活的紧密联系。在刚引入的情境问题中，考虑到问题比较简单，故不采用四人小组讨论，而取之以师生互探，共同解决，增强了课程的高效和紧凑。在对用一元一次方程进行另解的活动中，如果时间充裕的话，可以对“试一试”和“延伸”环节也进行用一元一次方程法来解决的探讨，沿着这条线，可以让学生更好的体验到二元一次方程组解实际问题的优越性。但由于本班学生的生源特点和课时的限制，只能后期探讨。在“试一试”环节中本来是分两个方块进行解题对照的，实施过程当中采用同桌每人一图解题对照，有效的提高了效果。在“向三维拓展”环节中考虑到本堂课的容量比较充足，于是实际授课过程中把本环节设置成课后思考题，让学生的学习活动向课后延伸。可以培养学生的自主学习的习惯和思维品质。教学过程中确实应该根据学生实际情况，在不影响教学目标的情况下，随机应变，进行灵活的调整，更符合学生的学习特点。指导老师点评：本教案设计最大的特点是用方程组解有趣的长方形拼图问题，结合图形找等量关系，充分让学生体会数学在实际生活中的应用。从“情景问题”和“试一试”两环节开始，就引导学生寻找图形中的隐性信息，逐步提高学生分析问题和解决问题的能力，初步培养学生数形结合思想。在后面“拓展”中，让学生由原来二维思维向三维思维过渡。从全篇教案看，设计者在教学手段方面形式多样，创设情景，动手操作，多媒体演示等这些环节激发学生的兴趣，并体验到学习的乐趣，从而达到主动探究，积极建构。教学感悟：在教学的实践过程中会发现学生有各种各样的意想不到的对新知的消化和吸收的障碍。故而备课过程中不光要备好教材，更是要备好学生，充分了解到学生的学习接受情况和思维能力层次，预测学习可以产生的困惑和易犯的错误等。教学过程中要注意设置平缓的梯度，让学生很顺畅的接受新知，还要为学生的思路搭尽量多的桥，培养他们的发散性思维。提高思维广度、深度、灵活性和牵移力等等。现在的课改，教材版本是五花八门，编写者是教育理念的专家，但不一定是一线教育的行家