函数的单调性与奇偶性.doc

函数的单调性和奇偶性一、目标与策略 明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！学习目标：l 理解函数的单调性、奇偶性定义；l 会判断函数的单调区间、证明函数在给定区间上的单调性；l 会利用图象和定义判断函数的奇偶性；l 掌握利用函数性质在解决有关综合问题方面的应用.重点难点：l 对于函数单调性的理解；l 函数性质的应用.学习策略：l 判断、证明函数的单调性、奇偶性常常要综合运用不等式、因式分解、配方法及数形结合的思想方法。二、学习与应用“凡事预则立，不预则废”。科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记。知识回顾复习学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？（一）函数的定义及构成函数的三要素为 、 、 。（二）函数的三种表示方法分别为 、 、 。知识要点预习和课堂学习知识点一：函数的单调性（一）增函数、减函数的概念一般地，设函数f(x)的定义域为A，区间如果对于M内的任意两个自变量的值x1、x2，当x1x2时，都有 ，那么就说f(x)在区间M上是增函数；如果对于M内的任意两个自变量的值x1、x2，当x1x2时，都有 ，那么就说f(x)在区间M上是减函数.如果函数f(x)在区间M上是增函数或减函数，那么就说函数f(x)在区间M上具有 ，M称为函数f(x)的 .要点诠释：（1）“任意”和“都”；（2）单调区间与定义域的关系局部性质；（3）单调性是通过函数值变化与自变量的变化方向是否一致来描述函数性质的；（4）不能随意合并两个单调区间.（二）已知解析式，如何判断一个函数在所给区间上的单调性？基本方法：观察图形或依据定义.知识点二：函数的奇偶性偶函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)= ，那么f(x)称为偶函数.奇函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)= ，那么f(x)称为奇函数.要点诠释：（1）奇偶性是整体性质；（2）x在定义域中，那么-x在定义域中吗？-具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于 对称的；（3）f(-x)=f(x)的等价形式为：， f(-x)=-f(x)的等价形式为：；（4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有f(0)= ；（5）若f(x)既是奇函数又是偶函数，则必有f(x)= ；（6）函数f(x)为奇函数图像关于 对称； 函数f(x)为偶函数图像关于 对称.经典例题-自主学习类型一：函数的单调性的证明例1、证明函数上的单调性.总结升华： 举一反三：【变式1】用定义证明函数上是减函数.思路点拨：本题考查对单调性定义的理解，在现阶段，定义是证明单调性的唯一途径.总结升华： 类型二：求函数的单调区间例2、判断下列函数的单调区间；（1）y=x2-3|x|+2； （2）举一反三：【变式1】求下列函数的单调区间：（1）y=|x+1|； （2）（3）.总结升华： 类型三：单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值)例3、已知函数f(x)在(0，+)上是减函数，比较f(a2-a+1)与的大小.例4、求下列函数值域：（1）；x5，10； x(-3，-2)(-2，1)；（2）y=x2-2x+3；x-1，1； x-2，2.思路点拨：（1）可应用函数的单调性；（2）数形结合.举一反三：【变式1】已知函数.（1）判断函数f(x)的单调区间；（2）当x1，3时，求函数f(x)的值域.思路点拨：这个函数直接观察恐怕不容易看出它的单调区间，但对解析式稍作处理，即可得到我们相对熟悉的形式.，第二问即是利用单调性求函数值域.例5、已知二次函数f(x)=x2-(a-1)x+5在区间上是增函数，求：（1）实数a的取值范围；（2）f(2)的取值范围.举一反三：【变式1】（2011 北京理13）已知函数，若关于x的方程有两个不同的实根，则实数k的取值范围是_.类型四：判断函数的奇偶性例6、判断下列函数的奇偶性：（1） （2）（3）f(x)=x2-4|x|+3 （4）f(x)=|x+3|-|x-3| （5）（6） （7）思路点拨：根据函数的奇偶性的定义进行判断.举一反三：【变式1】判断下列函数的奇偶性：（1）；（2）f(x)=|x+1|-|x-1|；（3）f(x)=x2+x+1；（4）.思路点拨：利用函数奇偶性的定义进行判断.【变式2】已知f(x)，g(x)均为奇函数，且定义域相同，求证：f(x)+g(x)为奇函数，f(x)g(x)为偶函数.类型五：函数奇偶性的应用(求值，求解析式，与单调性结合)例7、已知f(x)=x5+ax3-bx-8，且f(-2)=10，求f(2).解：法一：法二：举一反三：【变式1】（2011 湖南文12）已知为奇函数，则为（ ）例8、f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)=x2-x，求当x0时，f(x)的解析式，并画出函数图象.例9、设定义在-3，3上的偶函数f(x)在0，3上是单调递增，当f(a-1)b0，给出下列不等式，其中成立的是 .（1）f(b)-f(-a)g(a)-g(-b)； （2）f(b)-f(-a)g(b)-g(-a)； （4）f(a)-f(-b)g(b)-g(-a).答案：例11、求下列函数的值域：（1） （2） （3）思路点拨：（1）中函数为二次函数开方，可先求出二次函数值域；（2）由单调性求值域，此题也可换元解决；（3）单调性无法确定，经换元后将之转化为熟悉二次函数情形，问题得到解决，需注意此时t范围.例12、已知函数f(x)=x2-2ax+a2-1.（1）若函数f(x)在区间0，2上是单调的，求实数a的取值范围；（2）当x-1，1时，求函数f(x)的最小值g(a)，并画出最小值函数y=g(a)的图象.例13、已知函数f(x)在定义域(0，+)上为增函数，f(2)=1，且定义域上任意x、y都满足f(xy)=f(x)+f(y)，解不等式：f(x)+f(x-2)3.例14、判断函数上的单调性，并证明.难点：x1x2-1的符号的确定，如何分段.例15、设a为实数，函数f(x)=x2+|x-a|+1，xR，试讨论f(x)的奇偶性，并求f(x)的最小值.三、总结与测评要想学习成绩好，总结测评少不了！课后复习是学习不可或缺的环节，它可以帮助我们巩固学习效果，弥补知识缺漏，提高学习能力。（一）证明函数单调性的步骤：（1）取值.设是定义域内一个区间上的任意两个量，且；（2）变形.作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；（3）定号.判断差的正负或商与1的大小关系；（4）得出结论.（二）函数单调性的判断方法：（1）定义法；（2）图象法；（3）对于复合函数，若在区间上是单调函数，则在区间或者上是单调函数；若与单调性相同（同时为增或同时为减），则为 ；若与单调性相反，则为 .（三）常见结论：（1）若是