2024年全国初中生数学素养与创新能力竞赛初二组决赛试题答案

2024年全国初中生数学素养与创新能力竞赛件的情况下将OE绕点。旋转，旋转过程中以下保持定值的有(B)个.

①CE-CG；②NAFO+NOQ5③四边形CFOO的面积；@45OCE-S^OCG.

(初二组)决赛试题A

(考试时间：120分钟满分：140分)A.1B.2C.3D.4

一、选择题(本题满分42分，每小题7分)

二、填空题(本题满分28分，每小题7分)

1若实数a,b满足。+人=1一百，则(D)

7.警犬日常训练中在跑一段山坡，上山速速是80米分，到达山顶后再下山，下山的速度是上山速度的3

A.a,。都是有理数B.a-b的结果必定为无理数

倍，如果上、下山的路程相同，那么警犬跑这段山路的平均速度是120米/分

C.a,b都是无理数D.的结果可能为有理数8.已知{%}=尤-㈤(㈤表示不超过％的最大整数),设方程4^—2014%={1}的两个不同实数解为了1,

2.小霞同学定义了两种新运算：D(x)=%+1,R(%)=x-2(%为实数)，例如：D(2)=2+1=3,R(3)

处则20152X(xi+x2)=-807209

=3-2=1.若。为实数，则下列运算正确的是(D)

—401

A.2D(Q)=R(2。)B.2R(D(a))=R(D(2a))

9.如果一个各数位上的数字均不为0的四位自然数〃友/(cWd),满足2(a-匕)=c+d,则称这个四位

C.R(2D(a))=2D(R(a))D.R(D(2a))=D(R(2a))

数为“倍差等和数”.例如：四位数5171,•.,7WL2X(5-1)=7+1,，5171是“倍差等和数”；

3.已知等式----------+------------+------------=1成立，则％,y,z中可能为0的数有几个？又如：四位数6321,•••2X(6-3)=2+1,A6321不是“倍差等和数”.最大的“倍差等和数”为9731；

(z+%)(z+y)(x+y)(%+z)(y+x)(y+z)

将“倍差等和数"M=abed的个位数字去掉后得到一个三位数，该三位数和M的个位数之差能被7整

(C)

1?

A.0,1B.0,1,2C.1D.0除，令G(M)=d-a-屋+b,若------为整数，则满足条件的数M的最小值为5331.

G(M)

4.柯桥区某学校开设了5个STEAM课程，分别为S1、52、S3、54、55,有A、B、C、D.£共5人一起去

10.在aABC中，AB=10,BC=6,AC=8,点D在线段BC上从点C向B移动，同时，点E在线段AB上由

报名STEAM课程，每人至少报一个课程.已知5、C、。、E分别报名了4、3、3、2个课程，而51、

点B移动，当点D与点B重合时运动停止，已知它们的运动速度相同，连结AD,CE,则AD+CE的最小

S2、53、S4四个课程中在这5人中分别有1、2、2、3人报名，则这5人中报名参加S5课程的人数有(A)

值为受.

A.5人B.4人C.3人D.6人

三、(本大题20分)

5.如图，ZVIBC为等腰直角三角形，ZACB=9Q°.若NAO5=45°,则04、OB、OC之间满足(D)

11.由浅入深是学习数学的重要方法.已知权方和不等式为《+上2丝土生，当且仅当q=2时，等号

A.OA2+OB2=OC2B.OA2+OB2=2OC2C.O^+OB^OA-OB=2OC2D.0^+0^+41OA>08=20(^xyx+yxy

成立.那么：若正实数x,y,Z满足x+3y+2z=l,试求卫生+二一的最小值.

2y+4zx+2y

解•・，%+3y+2z=l,

•*.(x+2y)+(y+2z)=1,

原式J-(y+2x)+—=」+*a+2行尸=4+20

2(y+2x)x+2y22(y+2%)+%+2y

•••卫生+’一的最小值4+272.

2y+4zx+2y

6.如图，在△ABC中，ZACB=90°,AC=BC,CO是△ABC的角平分线.过点O的直线交线段CB于点

D,交线段C4的延长线于点£,作OGLOE,交的延长线于点G,交线段CA于R在满足以上条

AZACH=30°,

四、(本大题满分25分)

,等边△ABC,

12.如图1,在四边形A8CO中，DA=DC,ZADC=9G°,AMC是等边三角形，点上是直线A5上(异

：.ZCAB=60°,

于点A、B)的动点，点E绕着点。逆时针旋转90°至点尸处，连接CF.

AZAHC=90°,

(1)ZDAB=____°；

：.HA=HB.

(2)当点£在线段AB上时，如图2,连接AF.

在RtACHB中，CH=6HB,

①求证：AE=CF；

在RtzMH/中，AF2-AH1=FHZ,

②在线段A8上一定存在一个定点H,满足A尸2—Hg2=(JWHg+AE)2,请说明理由.

：.AF2-HB2=(FC+CH)2=«HB+AE)2；

(3)当点E在直线上时，②中的结论还成立吗？说明理由.

(1)解：'：DA=DC,ZADC=90°,(3)解：不一定成立.

当点在射线上时，如图如图同理尸-序=/

ZDAC=45°,EAB1,2,4442,

:△ABC是等边三角形，得出A厂2一"32=(/c+cH)2=(J§Hg+AE)2成立；

AZBAC=60°,

AZDAB=ZDAC+ZBAC=\Q5°,

当点后在5A延长线上时，如图3,R®AF2-AH2=F/72,得出A/2_Hg2=(百明一人石产；

故答案为：105；

(2)①证明：:•点E绕着点。逆时针旋转90°至点厂处,

同理尸-川尸”得出；

当点£在BA延长线上时，如图4,A2=2,AF2_HB?=EHB—AE?

；・NEDF=90°,DE=DF,

VZADC=90°,

ZADE=ZCDF,

'：DA=DC,

：./\DAE^/\DCF(SAS),

；.AE=CF；

②理由：延长尸。交AB于点”.

,?ADAE^ADCF,

：.ZDCF=ZDAE=105°.

VZADC=90°,DA=DC,

：.ZDCA=45°,

：.ZFCA=150°,

2024年全国初中生数学素养与创新能力竞赛(初二组)决赛试题2024年全国初中生数学素养与创新能力竞赛(初二组)决赛试题

.EGCEBnEG_1_V3

五、(本大题满分25分)FGBFFGV33

在RtZ\A3C中，AC=BC,ZACB=90°,以为斜边作Rt△研C,ZBEC=90°,再将BE绕点5逆时

•$ABEG_73

针旋转90°得至IJB凡连接成分别交BC,于点G,点。.••--------,

a^BFG，

(1)如图1,△BEC在右侧，NEBC=30°,AC=2,求△5FG的面积；

._3_9-3V3

S-

(2)如图2,ZXBEC在右侧，点。是AB的中点，求证：DE=CE+DF-,,,BFG_3+°4；

(3)如图3,△5EC在5C左侧，尸石的延长线过A3的中点。，当点E在8。的中垂线上时，CE交A5(2)证明：在上截取Z)M=DF,连接AM,CM,

于点H,直接写出阻皿的值.'.'AB,EF交于点D,

S&BDF

：.ZADM=ZBDF,

•：DM=DF,AD=BD,

：.AADM^ABDF(SAS),

：,AM=BF=BE,ZMAD=ZFBD,

,：ZCAM+ZMAD=45°,ZCBE+ZFBD=45°,

图1图2图3：.ZCAM=ZCBE,

*：AC=BC,AM=BE,

⑴解,"：AC=BC,.,.△CAM^ACBE(SAS),

•**BC=2,：.CM=CE,ZACM=ZBCE,

VZBEC=90°,ZEBC=30°,VZACM+ZBCM=90°,

：.CE=-BC=1,：./MCE=/BCE+NBCM=90°,

2

/.AMCE是等腰直角三角形，

：.BE=YIBC2-CE2=V3,

：.ME=y/2CE,

,•'BE绕点B逆时针旋转90°得至ljBF,

.'.△BE尸是等腰直角三角形，NEBF=90°,BE=BF=6：.DE=DM+ME=DF+41CE；

13

SAFBF=—BF=—,

皿22

VZBEC=ZEBF=90°,

：.CE//BF,

.ACEGsABFG,

(3)解：作/£CN=90°,交加延长线于点N,

•:BE绕点B逆时针旋转90°得到BF,HErr

：.CE=~i=-=(yl2+I)a,

・•・4BEF是等腰直角三角形，

：.BE=BF,NBEF=NBFE=45°,VZBEC=ZEBF=90°,

VZBEC=90°,：.HE//BF,

/.ZCEN=45°,：.4DHEs丛DBF,

•；NECN=90°,.HEDE由HEa

・•・△CEN是等腰直角三角形,BFEFa(1+V2)a

：.CN=CE,NCEN=/CNE=45°,得“E=(&-l)a,

VZECN=ZACB=90°,

：.CH=CE-HE=2a,

：.ZACN=ZBCE,

过点5作ER垂足为点尸，

'：AC=BC,CN=CE,

VZBFE=45°,

：.Rt/\ACN^RtABCE(HL),

・•・ABFP是等腰直角三角形，

：.AN=BE=BF,/CNA=NCEB=9U0,

,