聚焦高考解答题导数的七个应用.doc

聚焦高考解答题导数的七个应用我们知道，在高考中必有一道解答题是考查导数应用的，那么具体地说，我们常常利用导数知识解决哪些方面的问题呢？一、在解答应用题中利用导数求函数最值例1某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元(3a5)的管理费，预计当每件产品的售价为x元(9x11)时，一年的销售量为 (12x)2万件（）求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式；（）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q(a)分析 本题列出利润函数的关系式并不难，但由于函数是三次的，所以要求出最大的利润还需借助导数知识解 （）分公司一年的利润L(万元)与售价x的函数关系式为L(x)(x3a)(12x)2，x9，11（）L(x)(12x)22(x3a)(12x) (12x)(182a3x)令L(x)0得，或x12（不合题意，舍去）3a5，8（1）当89即3a时，在9，11上L(x)0，L(x)为减函数，所以LmaxL(9)(93a)(129)29(6a)（2）当9即a5时，在两侧L的值由正变负，L(x)由增函数变减函数，所以综上所述，最大利润答：若3a，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L最大，且最大值Q(a)9(6a)(万元)；若a5，则当每件售价为元时，分公司一年的利润L最大，且最大值(万元)点评 本题考查了函数、导数及其应用等知识，考查了运用数学知识分析和解决实际问题的能力，还体现了分类讨论的思想方法二、利用导数求不等式中参数的取值范围例2 (2007年高考全国卷理科20题)设函数（）证明：f (x)的导数f (x)2；（）若对所有x0都有f (x)ax，求a的取值范围分析 本题（）比较简单，用均值不等式可一步到位；（）需要先把不等式移项之后，构造新的函数，通过对新函数求导来研究其单调性从而确定参数的范围（）证明 f (x)的导数由于，故f (x)2（当且仅当x0时，等号成立）（）解 令g(x)f (x)ax，则g(x)f (x)a（）若a2，当x0时，故g(x)在(0，)上为增函数所以，对x0时，g(x)g(0)0，即f (x)ax（）若a2，方程g(x)0的正根为，此时，若x(0，x1)，则g(x)0，故g(x)在该区间为减函数所以，x(0，x1)时，g(x)g(0)0，即f (x)ax，与题设f (x)ax相矛盾综上，满足条件的a的取值范围是(，2点评 需要提醒大家的是，初步得出a的取值范围为a2还不完整，还需继续说明当a不在此范围内时，即当a2时为什么不行，等找到矛盾后才能彻底说明范围a2是原条件的充要条件三、利用导数判断函数的单调性以及证明不等式例3 (2007年高考安徽卷理科18题)设a0，f (x)x1ln2 x2aln x(x0)（）令F(x)x f (x)，讨论F(x)在(0，)内的单调性并求极值；（）求证：当x1时，恒有xln2 x2aln x1分析 利用导数研究函数的单调性、极值和证明不等式是近年来高考中的常考题型，解题时有一套完整的流程，我们必须十分熟练（）解 根据求导法则有，故F(x)x f (x)x2ln x2a(x0)，于是，列表如下：x(0，2)2(2，)F(x)0F(x)极小值F(2)故知F(x)在(0，2)内是减函数，在(2，)内是增函数，所以，在x2处取得极小值F(2)22ln22a（）证明 由a0知，F(x)的极小值F(2)22ln22a0于是由上表知，对一切x(0，)，恒有F(x)x f (x)0从而当x0时，恒有f (x)0，故f (x)在(0，)内单调增加所以当x1时，f (x)f (1)0，即x1ln2 x2aln x0故当x1时，恒有xln2 x2aln x1点评 本题主要考查函数导数的概念与计算，利用导数研究函数的单调性、极值和证明不等式的方法，考查综合运用有关知识解决问题的能力需要注意的是（）问中的不等式经移项后不必构造新的函数，因为这就是已知函数f (x)，并且f (x)的单调性也不用再求导研究，因为可以利用（）问中F(x)的单调性和极小值就可以找到f (x)0，从而得出f (x)的单调性四、利用导数求切线方程以及判断方程根的个数例4 (2007年高考全国卷理科22题)已知函数f (x)x3x（）求曲线yf (x)在点M(t，f (t)处的切线方程；（）设a0，如果过点(a，b)可作曲线yf (x)的三条切线，证明：abf (a)分析 （）问比较简单，f (x0)的几何意义是曲线f(x)在点(x0，f (x0)处的切线的斜率，利用这一几何意义就可以求切线方程（）问中条件“过点可作曲线yf (x)的三条切线”，可转化为该点代入切线方程后所得方程有三个相异的实根，而研究根的个数仍然需要借助导数解 （）求函数f (x)的导数：f (x)3x21曲线yf (x)在点M(t，f (t)处的切线方程为：yf (t)f (t)(xt)，即y(3t21)x2t3（）如果有一条切线过点(a，b)，则存在t，使b(3t21)a2t3于是，若过点(a，b)可作曲线yf (x)的三条切线，则方程2t33at2ab0有三个相异的实数根记g(t)2t33at2ab，则g(t)6t26at6t(ta)当t变化时，g(t)，g(t)变化情况如下表：t(，0)0(0，a)a(a，)g(t)00g(t)极大值ab极小值bf (a)由g(t)的单调性，当极大值ab0或极小值bf (a)0时，方程g(t)0最多有一个实数根；当ab0时，解方程g(t)0得，即方程g(t)0只有两个相异的实数根；当bf (a)0时，解方程g(t)0得，即方程g(t)0只有两个相异的实数根综上，如果过(a，b)可作曲线yf (x)三条切线，即g(t)0有三个相异的实数根，则即abf (a)点评 利用导数研究一个三次方程f (x)0根的个数