2020届重庆市高三上学期期末测试数学（理）试题（ 一诊康德卷）（解析版）

2020届重庆市高三上学期期末测试数学（理）试题（ 一诊康德卷）一、单选题1设复数z满足，则（ ）ABCD【答案】A【解析】由已知得，根据复数的除法法则，求出的实部和虚部，即可求解.【详解】，.故选:A.【点睛】本题考查复数的代数运算以及复数模长，属于基础题.2已知集合，则B中元素个数为（ ）A4B5C6D7【答案】A【解析】化简集合，根据集合的元素特征，即可求解【详解】，中元素个数为4个.故选:A.【点睛】本题考查集合的化简，注意集合元素的满足的条件，属于基础题.3函数的图象大致是（ ）ABCD【答案】D【解析】运用对数的运算法则将函数化简为，即可求解.【详解】 ，为偶函数，图像关于轴对称，当.故选:D.【点睛】本题考查用对数的运算法则化简函数解析式，将问题转化为熟悉函数的图像，属于基础题.4已知，则“”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解不等式，求出的充要条件，与对比，即可求解.【详解】，“”是“”的必要不充分条件.故选:B.【点睛】本题考查充分必要条件，等价转化是解题的关键，属于基础题.5为了更好地支持“中小型企业”的发展，某市决定对部分企业的税收进行适当的减免，某机构调查了当地的中小型企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，下面三个结论： 样本数据落在区间的频率为0.45；如果规定年收入在500万元以内的企业才能享受减免税政策，估计有55%的当地中小型企业能享受到减免税政策；样本的中位数为480万元.其中正确结论的个数为（ ）A0B1C2D3【答案】D【解析】根据直方图求出，求出的频率，可判断；求出的频率，可判断；根据中位数是从左到右频率为的分界点，先确定在哪个区间，再求出占该区间的比例，求出中位数，判断.【详解】由，的频率为，正确；的频率为，正确；的频率为，的频率为，中位数在且占该组的，故中位数为，正确.故选:D.【点睛】本题考查补全直方图，由直方图求频率和平均数，属于基础题6某班举行了由甲、乙、丙、丁、戊5名学生参加的“弘扬中华文化”的演讲比赛，决出第1名到第5名的名次.甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说，“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说，“你当然不会是最差的”从这个回答分析，5人的名次排列情况可能有（ ）A36种B54种C58种D72种【答案】B【解析】先考虑乙有种可能，接着考虑甲，除了冠军和乙名次外，甲名次有种可能，其他3名同学名次有种，根据乘法原理，即可求解.【详解】根据题意5人的名次排列情况可能有.故选:B.【点睛】本题考查排列组合混合应用问题，限制条件元素优先考虑，属于基础题7已知平面非零向量满足：，在方向上的投影为，则与夹角的余弦值为（ ）ABCD【答案】D【解析】设两向量夹角为，在方向上的投影为，从而有，再由，得出，根据向量的夹角公式，即可求解.【详解】设两向量夹角为，则有，所以.故选:D.【点睛】本题考查向量的数量积以及向量数量积的几何意义，考查向量的夹角，属于中档题.8已知非零实数a，b满足，则下列不等关系不一定成立的是（ ）ABCD【答案】D【解析】两边平方，结合绝对值的性质，可判断选项A成立；，再由指数函数的单调性，可判断选项B正确；由，结合选项A，判断选项C正确；令，满足，不成立.【详解】，A一定成立；，B一定成立；又，故，C一定成立；令，即可推得D不一定成立.故选:D.【点睛】本题考查不等式与不等关系，注意绝对值性质的应用，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法，属于中档题.9孙子定理在世界古代数学史上具有相当高的地位，它给出了寻找共同余数的整数问题的一般解法.右图是某同学为寻找共同余数为2的整数n而设计的程序框图，若执行该程序框图，则输出的结果为（ ）A29B30C31D32【答案】D【解析】根据循环体的结构特征从初始值运行，直至满足均为整数，输出.【详解】为整数，则除以的余数均为，.故选:D.【点睛】本题考查循环结构输出的结果，关键要理解程序框图，属于基础题.10已知AB是圆的任意一条直径，点P在直线上运动，若的最小值为4，则实数a的值为（ ）A2B4C5D6【答案】C【解析】将代入，结合是相反向量且模长为1，可得，由已知条件得出，的最小值为，转化为点O到直线的距离为，即可求解.【详解】，由题得的最小值为，即点O到直线的距离为.故选:C.【点睛】本题考查向量的线性关系以及向量的数量积，解题的关键要把最值转化为点到直线的距离，属于中档题.11已知双曲线的左焦点为，过点F且斜率为1的直线与双曲线C交于A，B两点，若线段AB的垂直平分线与x轴交于点，则双曲线C的离心率为（ ）ABCD2【答案】D【解析】设线段AB的中点坐标为，根据 求出线段的中点坐标，用点差法求出关系，即可求解【详解】设线段AB的中点坐标为，则有，设，代入双曲线方程有，两式相减得， 可得，即，.故选:D.【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系，解题的关键要把问题转为相交弦的中点，利用点差法求出参数关系式，属于中档题.12关于函数有下述四个结论：的图象关于点对称的最大值为在区间上单调递增是周期函数且最小正周期为其中所有正确结论的编号是（ ）ABCD【答案】D【解析】可证明，故正确；由于，是的一个周期，设，则，换元令，设，求导，求单调区间，极值，得最大值为，故不正确；由得，在区间上没有单调性，故不正确；由得，是的一个周期，用反证法证明最小正周期为，故正确.【详解】，所以成立.因为，所以是的一个周期， 不妨设，则， 令，令，则有，令，则递增区间是递减区间是，的极大值为，所以最大值不为.当时，由知，在该区间内有增有减，故不单调.，故该函数为周期函数，若，则，故该函数最小正周期为.故选:D.【点睛】本题考查三角函数的性质，解题的关键用换元法，将问题转化为用导数的方法研究函数的性质，考查用反证法证明命题，属于较难题.二、填空题13甲乙两队正在角逐排球联赛的冠军，在刚刚结束的前三局比赛中，甲队2胜1负暂时领先，若规定先胜三局者即为本次联赛冠军，已知两队在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，则甲队最终成为本次排球联赛冠军的概率为_.【答案】【解析】甲队胜包含两种情况，第四场胜；或第四场负，第五场胜，分别求出概率相加，即可求解【详解】甲得冠军则有：甲第四场胜，概率为；或第四场负，第五场胜，概率为，甲队最终成为本次排球联赛冠军的概率为.故答案为:.【点睛】本题考查互斥事件与相互独立同时发生的概率，属于基础题.14已知，若，则实数_.【答案】【解析】根据展开式的通项公式，求出系数，由条件得出关于的关系式，即可得出结论.【详解】.故答案为:.【点睛】本题考查二项展开式项的系数，熟练掌握展开式的通项是解题关键，属于基础题.15已知，则_.【答案】【解析】化切为弦得到，由已知展开，可求得的值，进而求出结论.【详解】.又，则.故答案为:.【点睛】本题考查三角函数求值，考查两角和差的正弦公式应用，化切为弦是解题的关键，属于中档题.16已知数列满足，则数列的前40项和为_.【答案】1260【解析】，相邻两个奇数项之和为3，分组并项求和，可得结果.【详解】研究奇数项有：，相邻两个奇数项之和为3；研究偶数项有：，相邻两个偶数项之和构成等差数列；所以前40项的和为.故答案为:1260.【点睛】本题考查数列分组并项求和，解题的关键是从递推公式找到数列项的特征，属于较难题.三、解答题17已知函数.（1）求的最小正周期和单调递增区间；（2）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，M为BC边上一点，若，求AM.【答案】（1）最小正周期为；增区间为（2）【解析】（1）用二倍角公式、降幂公式、辅助角公式，化简，即可求出周期，利用整体思想结合正弦函数的递增区间，即可求出函数递增区间；（2）求出，以为基底，将表示为，转化为求向量的模长，即可得出结论.【详解】解：（1）.令，所以增区间为；（2）， ，所以.【点睛】本题考查三角函数化简，以及三角函数的性质，考查用向量的方法求边长，属于中档题.18某地区在“精准扶贫”工作中切实贯彻习近平总书记提出的“因地制宜”的指导思想，扶贫工作小组经过多方调研，综合该地区的气候、地质、地理位置等特点，决定向当地农户推行某类景观树苗的种植.工作小组根据市场前景重点考察了A，B，C三种景观树苗，经引种试验后发现，引种树苗A的自然成活率为0.8，引种树苗B、C的自然成活率均为0.75.（1）若引种树苗A，B，C各一棵，求至少自然成活2棵的概率；（2）已知引种一棵树苗B需花费100元，引种后没有自然成活的树苗B中有80%的树苗可经过人工栽培技术处理，每棵需花费50元，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活.引种后自然成活的树苗B及经人工栽培技术处理后成活的树苗B在后期（成活后至长成可出售的小树）的培养过程中每棵均需再花费200元，记引种一棵树苗B的总花费为X元，求随机变量X的分布列及数学期望.【答案】（1）（2）详见解析【解析】（1）分别求出两颗成活一颗不成活的概率和三颗均成活的概率，相加即可求解；（2）X的可能取值为：100，150，300，350.分别求出，写出分布列，按照期望公式，即可求解.【详解】解：（1）设事件D为：引种三种树苗，至少自然成活2棵；则；（2）X的可能取值为：100，150，300，350.则有：，9，所以其分布列如下X100150300350P0.050.040.750.16.【点睛】本题考查相互独立同时发生的概率，以及互斥事件的概率，考查离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题.19已知数列的前n项和为，且.（1）证明：数列是等比数列；（2）设，证明：.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】（1）由已知当时，可得，整理为，根据等比数列的定义，即可证明结论；（2）由（1）求出，进而求出，根据取等号），要证成立，转化为证等比数列前项和小于或等于，即可证明结论.【详解】解：（1）当时，由，令，则， 故为等比数列；（2）由（1）得，时，取等号），所以原式，所以成立.【点睛】本题考查数列前项和与通项的关系，考查用定义证明数列是等比数列，考查证明数列和的不等号，将通项放缩是解题的关键点也是难点，属于中档题.20已知圆与x轴的正半轴交于点A，过圆O上任意一点P作x轴的垂线，垂足为Q，线段PQ的中点的轨迹记为曲线，设过原点O且异于两坐标轴的直线与曲线交于B，C两点，直线AB与圆O的另一个交点为M，直线AC与圆O的另一个交点为N，设直线AB，AC的斜率分别为.（1）求的值；（2）判断是否为定值？若是，求出此定值；否则，请说明理由.【答案】（1）（2）是定值，定值为【解析】（1）设线段中点为，则，将点代入圆方程，求出曲线方程，设，则，求出，结合点在椭圆上，即可得出结论；（2）设，分别设直线AB，AC为，且，将直线方程分别与圆、椭圆联立，求出，即可求出结果.【详解】解：（1）设线段PQ中点为，则，代入圆方程即得D点轨迹方程为，设，则，且，则；（2）分别设直线AB，AC为，且，同理可得：，所以，所以.【点睛】本题考查求曲线的轨迹方程，考查直线与圆锥曲线的位置关系，合理应用两点间的距离公式是解题的关键，属于中档题.21已知函数.（1）求函数的最小值；（2）设函数，讨论函数的零点个数.【答案】（1）（2）当时，有0个零点；当或时，有1个零点；当时，有2个零点.【解析】（1）令求导，令，求出的值，进而求出单调区间，极小值，求出最小值；（2）求，求出单调区间和极值，得出，等价转化为，转化为求直线与函数的图像交点个数，通过求导数的方法，研究函数的单调区间，极值和图像变化趋势，即可求解.【详解】解：（1）令，令，所以的单调递增区间是，单调递减区间是，所以时，取得极小值，也是最小值，所以；（2），令， 的递减区间是，递增区间是，所以的极小值为，也是最小值，.所以，因为，令，令， 的递减区间是，递增区间是，所以的极小值为，也是最小值，所以，所以的递减区间是，递增区间是，又因为，且，所以，当时，有0个零点；当或时，有1个零点；当时，有2个零点.【点睛】本题考查导数的综合应用，利用导数求函数的单调区间、极值、最值、图像；考查函数零点个数，分离常数是解题的关键，属于较难题.22在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l的参数方程为，（t为参数，），点，直线l交曲线C于A，B两点，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）将代入极坐标方程，即可求出曲线的直角坐标方程；（2）将直线参数方程代入曲线方程，得到关于的一元二次方程，记其两根为，由韦达定理，得出关系式，根据参数的几何意义，将表示为的函数，求其最值，即可求出结论.【详解】解：（1）化为 ；（2）将直线参数方程与圆C方程联立得：，记其两根为，则，所以，又，其中，取到最大值12，时取到最小值.【点睛】本题考查极坐标方程化为直角坐标方程，考查直线参数方程几何意义的运用，属于中档题.23已知不等式对任意