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文档简介

楚雄师范学院数学系课程教案(数学分析(二),周学时6节)周 次第12周 (2008.5.12-2008.5.18)课 题第十二章 数项级数12.1 级数的敛散性学 时2学时教学内容（主要）一.背景问题二.级数收敛与发散的定义三.将无限循环小数化为分数教 学 目 标1.深刻理解级数的背景问题2.深刻理解并掌握级数收敛与发散的定义3.熟练掌握将无限循环小数化为分数的基本方法教学重点1.级数的背景问题2.级数收敛与发散的定义3.将无限循环小数化为分数的基本方法教学难点1.级数的背景问题2.级数收敛与发散的定义3.将无限循环小数化为分数的基本方法教学方法与手段 分析教学方法、探索式的教学方法、讲练结合以练为主教学方法(借助多媒体辅助教学)教 学 进 程(教学设计)第十二章 数项级数12.1 级数的敛散性 一.背景问题问题1.根据数的加法的结合律及交换律,将有限个数相加,可以定义为将这有限个数依次相加,即.问题2.古人语:一尺之棰,日取其半,万世不竭.把每天截下的那一部分的长度依次相加起来,即为尺子之长.即.问题3.一般地,将无限个数相加,是否可以定义为将这无限个数依次相加,即.这样定义的合理性是,数满足加法的结合律及交换律.我们说数满足加法的结合律及交换律,是指,.对于无限个数相加,它要进行无限次的结合及交换,其结果的存在性及唯一性都难于确定.如 将无限个数相加,按上述办法定义,则.这是矛盾的.故不能按上述办法定义无限个数相加. 探究: ().关于尺子之长问题,可以理解为(1) .先将有限个数相加.(2).再取极限.(). ,可以定义为(1).先将有限个数相加.(2).再取极限,若此极限存在,则将其定义为的和.二.级数收敛与发散的定义定义1.设有数列,将它的各项依此用加号连接起来的表达式叫做级数,记为.即,其中叫做的通项.定义2.设有级数,令,称它为的项,数列叫的数列.若极限存在,则称收敛,其极限叫做的和,记为.即.若极限不存在,则称发散.例1. 判定下列级数的敛散性.(1)., (2)., (3).解: (1).因为.故,因此收敛,且.(2).因为.故,因此发散.(3).因为.故,因此收敛,且.例2. 讨论(几何 级数)的敛散性.解: (1).当时, 因为.故,因此发散.(2).当时, 因为.故,故不存在,因此发散.(3).当时, 因为.故,因此收敛.(4).当时, 因为.故,因此发散. 故例3.判定下列级数的敛散性.(1)., (2). , (3)., (4). .例4.判定(调和级数)的敛散性.证明:因为.故,于是由数列的准则,发散.于是发散.三.将无限循环小数化为分数任何一个分数均可化为无限循环小数,或.反回来,.即 .例1.将下列车无限循环小数化为分数(1). (2).,
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